对几个数学问题的思考

2020-04-13张承宇

数学通报 2020年2期

关键词：空瓶汽水纸片

张承宇

(深圳市中小学学科竞赛学会 518001)

有几个常见的数学问题流传很广，长期以来，有些老师以及某些数学参考资料对这些问题的分析与解答有的有误，有的分析片面，对学生造成很不好的影响.笔者认为，现在有必要对这几个问题予以澄清，以正视听.下面谈谈笔者对这几个问题的思考.

1.不久前，笔者看到一道有趣的“字谜”测试题：

(a+c+e+g)×(b+d+f+h)

的值是.

答案是280.

原标准解答是：如果有一个十位数字大于4，至少是5，则十位数字之和不小于1+2+3+5=11，因此个位数字之和将不超过18. 此时4个个位数最小和为4+6+7+8=25 ，矛盾！因此十位数字不能大于4，故4个不同的十位数字只能是1,2,3,4. 进而可知个位数字只能是5,6,8,9. 故

(a+c+e+g)(b+d+f+h)=(1+2+3+4)×(5+6+8+9)=10×28=280.

笔者认为，上述解答不够完整，它只说明了必要条件，对这种解答，我们提出二个问题：一. 是否存在四个二位数，其和为128? 二. 符合条件的四个数，是唯一存在的吗？

对学生进行问题讲解时，必须讲清楚上述两个问题.

如果能举出一个例子，这两个问题都解决了.如：19+28+36+45=128.

这里举出实例“19+28+36+45=128”很重要，因为，前面所述的推理只能说明答案有可能是280，但是，不代表一定存在结果等于128的算式.当然，作为填空题，我们看不到考生的解答过程.

2.小卖部规定4个汽水瓶可以换1瓶汽水，鹏程幼儿园大班小张阿姨买了21瓶汽水，喝完后再用空瓶去换……结果班上每位小朋友刚好每人一瓶，那么该班有______名小朋友.

笔者看到的解答是：先将21瓶汽水喝完，用其中20个空瓶换5瓶汽水，喝完；现在有6个空瓶，再用其中4个空瓶又可以换1瓶汽水，喝完；此时还有3个空瓶，然后借1瓶汽水喝完，将四个空瓶抵1瓶汽水还给店主.故班上共有21+5+1+1=28(人).

当下流行的这种解答，甚至上了电视娱乐节目，当主持人说道“先借一瓶汽水，喝完后还店主4个空瓶”，场下掌声雷动.殊不知，这不应该是一个真正的数学老师的解法.

下面笔者给出一种更为合理，更有数学味的解答：

解： 4个空瓶换1瓶汽水，等价于3个空瓶可以喝1瓶汽水(不要店主的瓶)，那么，21个空瓶可以喝到7瓶汽水， 21+7=28，因此，班上共有28人.

3.笔者本人1996年原创的一道题目，发表在《数学通报》1996年第10期“数学问题解答”栏目，答案发表在第11期上. 即以下

题1038在正方形纸片上有1996个点，加上正方形的顶点共2000个点，且这些点中任意三点都不在一条直线上，现在以这2000个点为顶点，将正方形纸片剪开，问最多能剪成多少个三角形纸片？

题目慢慢传开后，就出现了一种错误的解法(以下解法一)，大多数老师和学生都是这样做的：

解法一：如图，纸上有一个点，最多可剪4个小三角形，如果增加一个，则这个点必在某个三角形内部，不会在边上，因为没有三点共线，这样，就把该三角形一分为三，增加了2个三角形，……，如此推知，最多可以剪出

4+2×(1996-1)=3994

个三角形.

为什么这个解答是错的(尽管最后答案是正确的)？因为这种剪法只是千千万万种剪法中的一种，你怎么能证明别的剪法不会剪出更多的小三角形？若纸片上有两个点，就会出现以下不同的剪法：

正确的解法应该是：

解法二： (刊于《数学通报》1996年第11期“数学问题解答”栏目)

易知，在剪成的三角形纸片上不应该再有点，否则三角形个数不是最多.现在计算所有这些三角形内角和.为此将它们重新拼成正方形，发现这些角分为两类：一是以正方形的4个顶点为顶点的，再是以1996个内点为顶点的，对于前者，这些角拼成了4个直角，对于后者，这些角拼成1996个周角.所以总和为90°×4+360°×1996.因此三角形个数为

解法三：设正方形纸片上有n个点时，最多可以剪出an个小三角形，则a1=4，an+1=an+2.从而有

a1=4，a2=a1+2，a3=a2+2，……，an=an-1+2，

将上述n个式子左右两边分别相加，得到

an+1=2n+2，

于是，有a1996=2×1996+2=3994.

解法三与错解(解法一)的根本区别在于，an是n个点时所有剪法中剪出最多的小三角形的个数.

4.二十多年前，我来到深圳中学工作，教初一超常班，那时候市面上到处都是北京海淀区出的教学资料，上面有一道题：绝对值不超过100的全体整数之和是多少？答案为0.第二年该书再版，原作者把这道题改为：绝对值不超过100的全体有理数之和是多少？答案仍为0！殊不知，这一改就成了一道错题了！

下面请听我慢慢道来：