买酒还瓶

兴趣数学社团活动课上，老师向我们推荐了一个题目：

某饭店啤酒2元一瓶，2个空瓶或4个瓶盖均可换1瓶啤酒，问10元钱可喝几瓶啤酒？

感觉此题只要有足够的耐心、细心，一定能搞定.下面是我的求解过程.

第1步：10元买5瓶啤酒，喝完后，此时共喝酒5瓶，有5个空瓶和5个瓶盖.

第2步：4个空瓶换2瓶啤酒，4个瓶盖换1瓶啤酒后，剩下1个空瓶和1个瓶盖，新增3瓶啤酒.喝完后，此时共喝酒8瓶，新增3个空瓶，3个瓶盖.加上原来剩下的1个空瓶和1个瓶盖，此时共有4个空瓶和4个瓶盖.

第3步：4个空瓶换2瓶啤酒，4个瓶盖换1瓶啤酒后，新增3瓶啤酒.没有原来剩下的空瓶和瓶盖.喝完后，此时共喝酒11瓶，新增3个空瓶，3个瓶盖，此时共有3个空瓶和3个瓶盖.

第4步：2个空瓶换1瓶啤酒后，剩下1个空瓶和3个瓶盖，新增1瓶啤酒.喝完后，此时共喝酒12瓶，新增1个空瓶，1个瓶盖.加上原来剩下的1个空瓶和3个瓶盖，此时共有2个空瓶和4个瓶盖.

第5步：2个空瓶换1瓶啤酒，4个瓶盖换1瓶啤酒后，新增2瓶啤酒.没有原来剩下的空瓶和瓶盖，喝完后，此时共喝酒14瓶，新增2个空瓶，2个瓶盖.此时共有2个空瓶和2个瓶盖.

第6步：2个空瓶换1瓶啤酒，剩下2个瓶盖，新增1瓶啤酒.喝完后，此时共喝酒15瓶，新增1个空瓶，1个瓶盖.加上原来剩下的2个瓶盖，此时共有1个空瓶和3个瓶盖.

若饭馆老板不允许赊账，最多能喝15瓶酒.整个过程如图1所示：

数一下▲可以看出：若饭馆老板不允许赊账，最多能喝15瓶酒.

若饭馆老板允许赊账呢？

先向饭馆老板赊一个空瓶，加上原来剩下的1个空瓶和3个瓶盖，此时共有2个空瓶和3个瓶盖.

第7步：2个空瓶换1瓶啤酒后，剩下3个瓶盖，新增1瓶啤酒.喝完后，此时共喝酒16瓶，新增1个空瓶，1个瓶盖.加上原来剩下3个瓶盖，此时共有1个空瓶和4个瓶盖.

第8步：4个瓶盖换1瓶啤酒，剩下1个空瓶，新增1瓶啤酒.喝完后，此时共喝酒17瓶，新增1个空瓶，1个瓶盖.此时共有2个空瓶和1个瓶盖.

第9步：2个空瓶换1瓶啤酒后，剩下1个瓶盖，新增1瓶啤酒.喝完后，此时共喝酒18瓶，新增1個空瓶，1个瓶盖.加上原来剩下1个瓶盖，此时共有1个空瓶和2个瓶盖;再向饭馆老板赊2个瓶盖，加上原来剩下的2个瓶盖，此时共有1个空瓶和4个瓶盖.

第10步：4个瓶盖换1瓶啤酒，剩下1个空瓶，新增1瓶啤酒.喝完后，此时共喝酒19瓶，新增1个空瓶，1个瓶盖.此时共有2个空瓶和1个瓶盖.

第II步：2个空瓶换1瓶啤酒后，剩下1个瓶盖，新增1瓶啤酒.喝完后，此时共喝酒20瓶，新增1个空瓶，1个瓶盖.加上原来剩下1个瓶盖，此时共有1个空瓶和2个瓶盖;正好把1个空瓶、2个瓶盖还给饭馆老板，手中再无资产，也无欠款，两清，完美解决.

综上所述，若饭馆老板允许赊账，最多能喝20瓶酒.整个过程如图2所示：

问题虽然得以解决，但却解决得不够漂亮.思考过程复杂反复，一不留神就会出错，能否有简单一点的解决方法呢？注意到在能赊账的情况下，10元钱恰好能喝20瓶酒，若能说明2元钱能喝4瓶啤酒，也就能说明10元钱恰好能喝20瓶酒了.去柜台对老板说：“老板，拿4瓶啤酒.”喝完后剩4个空瓶，4个瓶盖，此时欠老板4瓶啤酒钱.但4个空瓶顶账2瓶啤酒，4个瓶盖顶账1瓶啤酒，所以相当于还了老板3瓶啤酒钱.这时手里空空如也，既没有空瓶，也没有瓶盖，但还欠老板1瓶啤酒钱，这时给老板2元钱即可，也就是说，2元钱能喝4瓶啤酒，问题得以简化解决.

问题到此结束了么？我忽然想起买椟还珠的故事，一下激发了我的灵感.事实上我们消费的只是酒水，空瓶和瓶盖我们是不需要的.这样来看的话，因为一瓶啤酒2元，2元钱能购买的所有价值包括了一瓶酒水、一个空瓶和一个瓶盖.因为两个空瓶可换一瓶啤酒，也就是说一个空瓶的价值相当于1元钱.4个瓶盖可换1瓶啤酒，也就是说一个瓶盖的价值相当于0.5元钱.用1瓶啤酒的2元钱，减去一个空瓶的1元钱，一个瓶盖的0.5元钱，剩下的一瓶酒水的实际价值是0.5元钱.因为我们只消费酒水，10÷0.5=20，所以我们最多能喝20瓶啤酒.

至此，问题可称得上得以完美解决.

指导老师王怀兴评语 从不允许赊账最多能喝15瓶啤酒的推理中，足见杨杰同学思维的细腻和缜密，且能从传统文化买椟还珠的故事中获得灵感，可见杨杰同学文理兼修，值得鼓励.