浅谈线性代数课堂中Matlab的引入

【摘 要】线性代数是大学理工科专业和经管类专业学生必修的一门基础课，其重要内容主要包括：行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。其中特征值和特征向量理论已经广泛应用于科学技术的各个领域，不仅可以直接解决数学中诸如非线性规划、常微分方程以及其他各类数学计算问题，而且在结构力学、工程设计、计算物理和量子力学中都发挥着重要的作用。在工程计算中，求解方阵特征值是最普遍的问题之一，如动力系统和结构系统中的振动问题、电力系统的静态稳定性分析、工程设计中的某临界值的确定等，都可以归结为求解方阵特征值的问题。本文通过借助数学软件Matlab介绍如何计算特征值和特征向量。

【关键词】线性代数;Matlab;数学课堂;特征值;特征向量

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）28-0008-02

Matlab的產生与数学计算有着密切的关系。70年代中期，美国的穆勒教授及其同事在美国国家基金会的资助下，开发了线性代数的Fortran子程序库[1]。不久，他在给学生讲线性代数课时，为了让学生能使用子程序库又不至于在编程上花费过多的时间，便为学生编写了使用子程序的接口程序。他将这个接口程序取名为Mat1ab，意为“矩阵实验室”。

1   概述

矩阵计算是科学和工程计算的核心，特征值与特征向量计算是矩阵计算的基本问题之一。在教学特征值与特征向量这一章时，要先构建特征方程，通过计算化简行列式求出特征值[2]。一个n阶方阵有n个特征值，包括单特征值、重特征值和复特征值，其中复特征值是成对出现的[3]。求出特征值后，通过解特征值所对应的齐次线性方程组，求出每个特征值所对应的齐次线性方程组的基础解系，而特征向量就是基础解系的非零线性组合[4-6]。利用Matlab计算特征值和特征向量的实例如下。

2   利用Matlab求三阶方阵A的特征值及特征向量

解：命令窗口运行如下。

>> A=[8 1 6;3 5 7;4 9 2]    %生成一个3阶方阵

A =

8     1     6

3     5     7

4     9     2

>> eig（A）%求3阶方阵A的特征值

输出结果为：

ans =

15.0000

4.8990

-4.8990            %3阶方阵A的特征值分别为：15.0000，4.899， -4.8990

命令窗口运行如下。

>> [X，D]=eig（A）          %产生一个对角矩阵D，对角线为矩阵A的特征值;产生一个矩阵X，每一列为矩阵A对应的特征向量

输出结果为：

X =

-0.5774   -0.8131   -0.3416

-0.5774    0.4714   -0.4714

-0.5774    0.3416    0.8131

D =

15.0000     0         0

0        4.8990       0

0          0      -4.8990

通过运行Matlab程序，可知矩阵A有三个不同的特征值，分别为15.0000，4.8990，-4.8990。对应特征值15.0000的全部特征向量是矩阵X的第一列构成的列向量乘以非零常数K1;对应特征值4.8990的全部特征向量是矩阵X的第二列构成的列向量乘以非零常数K2;对应特征值-4.8990的全部特征向量是矩阵X的第三列构成的列向量乘以非零常数K3。

3   利用Matlab求三阶方阵B的特征值及特征向量

解：命令窗口运行如下。

>> B=[-1，1，0;-4，3，0;1，0，2]  %生成一个3阶方阵

输出结果为：

B =

-1     1     0

-4     3     0

1     0     2

命令窗口运行如下。

>> eig（B）

输出结果为：

ans =

2

1

1

命令窗口运行如下。

>> [X，D]=eig（B）

输出结果为：

X =

0       0.4082      0.4082

0       0.8165      0.8165

1.0000    -0.4082     -0.4082

D =

2         0           0

0         1           0

0         0           1

通过运行Matlab程序可知，矩阵A有一个单特征值2，一个二重特征值1，1。对应于特征值2的全部特征向量是矩阵X的第一列构成的列向量乘以非零任意常数K1;对应于特征值1的全部特征向量是不全为零的任意常数K2与K3分别乘以矩阵X的第二、三列构成的列向量的和

向量。

4   利用Matlab求三阶方阵C的特征值和特征向量

解：命令窗口运行如下。

>>  C= [0，-1，0;1，0，0;0，0，1]

输出结果为：

C =

0        -1           0

1         0           0

0         0           1

命令窗口运行如下：

>> eig（C）

输出结果为：

ans =

0 + 1.0000i

0 - 1.0000i

1.0000

命令窗口运行如下。

>> [X，D]=eig（C）

输出结果为：

X =

0.7071          0.7071            0

0 - 0.7071i     0 + 0.7071i        0

0              0              1.0000

D =

0 + 1.0000i    0                0

0              0 - 1.0000i      0

0              0              1.0000

通過运行Matlab程序可知，矩阵C有一对共轭复特征值i，-i，和一个单特征值1。对应于特征值i的全部特征向量是矩阵X的第一列构成的列向量乘以非零任意常数K1;对应于特征值-i的全部特征向量是矩阵X的第二列构成的列向量乘以非零常数K2;对应于特征值1的全部特征向量是矩阵X的第三列构成的列向量乘以非零常

数K3。

5   总结

本文介绍了利用Matlab求三阶实方阵特征值和特征向量的具体命令和方法。利用Matlab不仅可以求解教材常见的二、三阶方阵，还可以求解三阶以上的实方阵的特征值和特征向量，操作方式和例题完全类似。步骤较为简单，为学生提供了一种新的计算方法。

【参考文献】

[1]张明.《线性代数》中“特征值与特征向量”的教学创新探析[J].创新创业理论研究与实践，2019（21）.

[2]同济大学数学系.工程数学[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4]孙培青.中国教育史[M].上海：华东师范大学出版社，2008.

[5]居余马等编著.线性代数[M].清华大学出版社，2002.

[6]戴维.C.雷.线性代数及其应用[M].机械工业出版社，2017.

【作者简介】

宫晓俊（1993～），女，汉族，山西朔州人，硕士，助教。研究方向：动力系统。