非等价转化导致的错解例析

王桂芳

【摘 要】转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分且必要的;非等价转化前后的两个问题是有区别的，因此要注意对结论的检验、调整和补充。转化的原则是将不熟悉、难解的及尚未解决的问题转为熟知的、易解的及已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的、直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般的问题转化为特殊的问题，将生活实际中的问题转为数学问题，从而使问题易于解决。但是只有等价转化才能保证转化前后的两个问题本质上的一致性。而在数学解题过程中，学生常常用非等价转化代替等价转化从而出现错误。

【关键词】等价;非等价;转化

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）28-0040-02

美国著名教育家波利亚说过，掌握数学就是要善于解题[1]。解决数学问题，不能只是简单地套公式，更应该是综合运用数学思想方法，找到问题本质，做到有的

放矢。

转化与化归思想作为一种基本的数学思维方式，已在数学学习中得到了普遍应用，其精髓在于利用化繁为简、化难为易、化未知为已知等方法，通过转化将尚未解决的问题变为一个已为人们所熟知的、具有既定方法或程序的问题，最终使问题得到解决2]。在解决数学问题的过程中，等价转化和非等价转化都可以得到应用，但是用非等价转化一定要注意检查环节，否则很容易出错，下面就结合具体例题来分析以下这种现象。

1   向量夹角与数量积的对应关系不恰当

例1 已知，，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围。

错解：由与夹角为锐角得，即。

正解：当时，，即，

所以，实数的取值范围是且。

分析：当与的夹角为锐角时，，但当时，与的夹角可能为锐角也可能为，故与的夹角为锐角的充要条件应为且与不共线。

2   函数取极值的等价条件不准确

例2 已知函数在处取得极值10，求、的值。

错解：

依据题意得，即，解得或。

正解：当，时，，故在上单调递增，不可能在处取得极值，所以，不符合题意，应舍去。

当，时，，在附近的左侧，右侧，故在处取得极小值10，符合题意。

综上，，。

分析：由于函数在一点的导数值为0是函数在该点取得极值的必要条件，而非充分条件，因此，学生在解答本题时很容易漏掉对得出的两组解进行检验的过程，而导致错误。

3   不等式求最值问题中，忽略等号成立条件

例3 已知，，且，求的最小值。

错解：因为，即，

又，

所以的最小值为16。

正解：，

当且仅当，即时，等号成立。

所以的最小值为18。

分析：与的最小值为16并不等价，不等式只是给出了一个下界，并不能说明其是最小值。错解中两次使用基本不等式，但是等号成立的条件不同，从而中的等号是取不到的，故16不是它的最小值。

4   特殊符号处理不当

例4 对于定义域为的函数，存在区间，使在上的值域为，求实数的取值范围。

错解：由于为定义域上的增函数，故，即，故、为关于的方程的两个不相等的实数根。

移项，得;两边平方，得，即关于的方程有两个不等实根。

令，

有，解得。

正解：移项平方，得，即关于的方程有两个不等实数根。

令，则当时，有，解得;当时，有，无解。综上，。

分析：错解的主要原因是原等式中的根式需要有意义，这就限制了自变量的范围，而进行平方运算之后，没有根式了，由此需要准确写出自变量的范围，由可知，和都要成立，单写就可能导致范围变大，出现错误。

5   消参过程中，忽略参数对变量的限制

例5 将参数方程（是参数）化为普通方程。

错解：（1）式平方得，（2）式平方得，从而，，所以，普通方程为。

正解：由得。

所以，普通方程為。

正如日本著名数学教育家米山国藏所说，成功的数学教育，应当使数学的精神、思想方法深深刻在学生的脑海中，长久地活跃于他们日常的业务中，虽然那时，数学知识可能被淡忘了[3]。在教学中，教师应该注重培养学生的转化与化归思想，并让学生在解决数学问题时尽可能地用等价转化，如果非等价转化不可避免，也要注意对结果进行检查，以防错误答案产生。

【参考文献】

[1]甘志国.不可忽视的非等价转化解题[J].高中数学教与学，2016（5）.

[2]陈建启，李晓艳.转化与化归思想的妙用[J].中学数学，2019（9）.

[3]项宝琴，蔡文龙.剖析错误解答 用好转化思想[J].数学教学通讯，2003（11）.