加权梯度反应非局部扩散方程解的爆破

王素珍 孟海霞

摘要：研究了加权梯度反应非局部扩散方程解的爆破现象，并且给出了解存在和爆破的充分条件.首先利用Banach不动点定理证明解的局部存在性;其次利用特征函数构造了一个新的辅助函数：最后结合微分不等式技巧得到了爆破时间的上界.

关键词：加权函数;梯度项;非局部扩散;爆破

中图分类号：0175.26

文献标志码：A

DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.201911006

0 引言和主要結论

近年来，反应扩散方程已被广泛研究.以Laplace算子（△u）作为扩散项的经典反应扩散方程只能体现空间上的局部行为，即相邻空间上位置的移动.如物质从浓度高的部分向浓度低的部分进行扩散.实际上，在自然界中受各种因素的影响，空间中的非局部行为普遍存在.如生物种群的位置移动是在较大范围内进行的，故无法用Laplace算子来描述.但可由非局部扩散（卷积算子J*u-u）来描述.以种群生态学为例，u（x，t）表示在t时刻某单一种群在位置x处的密度，J（x -y）表示种群从位置x移动到位置可的概率分布，（J*u）（x，t）=JRN J（x - y）u（y，t）dy表示种群从其他位置移动到x位置的概率，-u（x，t）=- fRN J（y - x）u（x，t）dy表示种群从x位置移动到其他位置的概率.因此对非局部扩散方程的研究具有实际的价值与意义.

学者们对具有卷积算子“J*u一u”的非局部扩散方程解的爆破问题和具有梯度反应项的反应扩散方程解的爆破问题的讨论已取得了很多重要成果，具体可参考文献[1-8].Ma和Fang在文献[1]中，

[参考文献]

[1]MA L W， FANG Z B. Bounds for olow-up time of a reaction-diffusion equation with weighted gradient nonlinearity [J] . J Computers &Mathematics with Applications， 2018， 76（3）： 508-519.

[2]CHEN Y J. ZHU Y P. Blow-up results for evolution problems with inhomogeneous nonlocal diffusion EJl . J Math Anal Appl， 2016， 444：452-463.

[3]SUN J W， LI W T， YANG F Y. Blow-up profiles for positive solutions of nonlocal dispersal equation [J]. J Applied MathematicsLetters， 2015， 42： 59-63.

[4]CHASSEIGNE E， CHAVES M， ROSSI J D. Asymptotic behavior for nonlocal diffusion equations [J]. J Math Pures Appl， 2006， 86：271-291.

[5]FIFE P. Some nonclassical trends in parabolic and paraloolic-like evolutions [M]// Trends in Nonlinear Analysis. Berlin： Springer-Verlag， 2003： 153-191.

[6]GILDING B H. GUEDDA M， KERSNER R. The Cauchy problem for ut = △u + |△u |q [J]. J Math Anal App， 2003， 284（284）： 733-755.

[7] LIU Y， LUO S G， YE Y H. Blow-up phenomena for a parabolic problem with a gradient nonlinearity under nonlinear boundary conditions [J]. Computer Math Appl， 2003， 65（8）： 1194-1199.

[8]MA L W， FANG Z B. Blow-up analysis for a nonlocal reaction-diffusion equation with Robin 'ooundary conditions [J]. Taiwanese JMath， 2017， 21（1）： 13-150.