双曲空间中具有平行平均曲率子流形的刚性

周俊东

摘要：設M是双曲空间中具有平行平均曲率的完备子流形，φ是M的无迹第二基本形式.本文证明了在子流形任意测地球上|φ|的L2模小于二次增长条件下，supx∈M |φ|2 （x）小于某常数或者|φ|的Ln模小于某常数时，M是全脐的，这一结果推广了完备极小子流形的相关结果.

关键词：双曲空间;无迹第二基本形式;第一特征值

中图分类号：0186.1

文献标志码：A

DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.201911009

0 引 言

著名的Bernstein定理指出R3中的完备极小图一定是平面.Simons[l]，Fleming[2]，De Giorgi[3]和Almgren[4]的工作告诉我们在R”（n≤7）中的完备极小图一定是超平面.进一步，Bombieri，De Giorgi和Giusti[5]在n>7时给出Bernstein定理的反例.do Carmo和Peng[6]，Fisher-Colbrie和Schoen[7]分别给出了Bernstein定理的推广：R3中完备稳定的极小曲面一定是平面.在高维的情况下，以上问题一直是悬而未决的.然而，do Carmo和Peng[8]证明了Rn+1中完备稳定的极小超曲面在满足条件模长.以上定理也有许多有趣的推广，例如Zhu和Shen[9]证明了Rn+1（n≥3）中具有有限总曲率的完备稳定极小超曲面一定是超平面.Wang[10]进一步把Zhu-Shen定理推广到欧氏空间中极小子流形的情形.最近，Xia和Wang[11]研究了截面曲率为常数1的双曲空间Hn+m（n≥5）中的完备极小子流形M，证明了在M的测地球上|h|的L2模小于二次增长条件下，supx∈M |h|2（X）小于某常数或者|h|的Ln模小于某常数时，M是全测地的.De Oliveira和Xiac[12]继续研究了双曲空间中的完备极小子流形，得出对于某个区域内的常数d，在M的测地球上lhl的Ld模小于二次增长条件下，supx∈M |h|2（X）小于某常数或者|h|的Ln模小于某常数时，M是全测地的.

本文研究双曲空间Hn+p中具有平行平均曲率的完备非紧子流形，得到此类子流形的一些刚性结果（定理2.1-2.3），这些结果是文献[11]和[12]中相应结果的推广.

1 预备知识

我们对指标作如下约定：

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（責任编辑：林磊）