基于马尔可夫随机场和模糊C-均值聚类的DTI图像分割算法

陈 康，张相芬，马 燕，袁非牛，李传江

（上海师范大学信息与机电工程学院，上海201418）

0 引 言

弥散张量成像（DTI）是基于弥散加权技术发展起来的新型成像模态，可以提供其他成像方式不能提供的信息，且具有很多独特的优点，例如非侵入性和不需要造影剂等［1］.DTI也是无创辨识活体脑白质微细结构的唯一技术，可以在分子水平上对脑组织进行病变检测，并配合临床诊断，可以在某些疾病（脑缺血、中风、老年痴呆及精神分裂等）的发病早期进行水分子扩散异常检测，而常规核磁共振成像（MRI）等设备难以检测到这种变化［2］.

图像分割是图像分析与理解的关键环节之一，也是图像处理领域的研究热点和难点问题［3］.医学图像分割的本质是将所需要的目标从比较复杂的背景中提取出来，为后续临床治疗和诊断分析提供参考［4］.医学图像的模糊性和不确定性会导致图像之间存在部分混叠，很难在医学图像中不同个体组织之间找到清楚的边界，不能很好地分割图像.模糊理论可以很好地处理边界模糊问题，模糊聚类算法已成为一种有效的医学图像分割方法.

模糊C-均值聚类（FCM）算法是现代应用最为广泛的模糊聚类算法，具有简单、无监督、稳健性好等特点［5］.FCM 算法通过迭代操作寻找聚类中心和隶属度函数，使得目标函数达到最小，从而实现图像的优化分割.当图像中存在不稳定因素时，FCM 算法能充分体现出性能优势［6］.传统的FCM 聚类算法仅仅利用了图像灰度之间的相关性，忽略了图像的空间信息，无法达到令人满意的分割准确度.尤其在信噪比较低的情况下，分割结果可能产生较大偏差［7］.ALI等［8］利用FCM 算法对人脑图像进行分割，利用形态学金字塔将预处理的多分辨图像和原始图像进行融合，通过FCM 算法对人脑图像进行分割，提高了实验的准确率.周晓明等［9］提出了子图分割再合并的FCM 方法，相比传统FCM 方法，该方法取得了更好的图像分割效果，但其忽略了邻域对于图像分割的影响.

基于马尔可夫随机场（MRF）对图像进行分割操作，可以充分利用图像的空间相关信息［10］，运用Gibbs 场和最大后验概率（MAP）实现图像分割，可以有效地提高抗噪性，但其缺点在于易出现过分割现象［11］.

LIU等［12］结合FCM 和MRF，潘伟等［13］结合Gibbs随机场和加权FCM 对人脑MRI图像进行分割处理，这两种融合算法的权值都是固定的，未能充分发挥FCM 与MRF 的优势.CHATZIS 等［14］结合隐马尔可夫随机场（HMRF）和FCM，廖亮等［15］结合FCM 和Gibbs 场对图像进行分割，这些算法一定程度上提高了图像分割的效果，但在图像信噪比低的情况下，分割效果依然不是很理想.

图像中的像素点大致分为噪声点、边缘点和区域内部像素点［16］.根据图像邻域像素的相关性，结合基于邻域密度的离散点检测，本文作者提出一种新型的FCM 和MRF 融合算法，可以更加充分地发挥FCM和MRF算法的优点，提高分割准确性和抗噪性.

1 传统FCM算法

传统FCM 聚类算法是将具有N 个元素的有限集X 划分为C 个模糊类，有限集X 表示为X={xi|i=1'2'…'N}，通过不断更新像素隶属度和聚类中心V={vc|c=1'2'…'C}，使得目标函数达到最小，从而完成聚类.其目标函数为：

其中，d(xi'vc)表示第i个元素与第c个聚类中心的欧式距离；m为模糊加权指数，且m∈[1'∞]；uic为隶属度函数，是描述集合X 中任一元素xi属于类别c 的程度，uic的取值范围是［0，1］.隶属度函数需满足以下约束条件：

结合目标函数和隶属度性质，引入拉格朗日算子λi，i=1，2，…，N，对式（1）的目标函数更新如下：

根据拉格朗日乘子法，可以求得当目标函数取得最小值时，隶属度和聚类中心的求解公式分别为：

将每次迭代得到的各个类聚类中心和每个元素对每个类的隶属度值，代入式（3），通过不断迭代求得目标函数的最小值，从而完成最终聚类，得到模糊聚类的结果.

2 模糊MRF算法

模糊MRF 算法描述为：假设一个大小为L=M×N 的DTI 图像，其马尔可夫随机场为Y={Y(i'j)=yij'(i'j)∈L}（其中，L={(i'j)|i ∈[1'M]'j ∈[1'N]}），yij是离散的随机变量且有yij=k'k ∈{1，2，…，K}，K 为分类数目，表示图像中在(i'j)处的像素点归于第k 类.由Hammersley-Clifford 定理可知，马尔可夫随机场可以等价描述为Gibbs分布.因此，Y的联合概率分布（Gibbs分布）表示为：

其中，β为耦合系数，表示邻域内相邻像素的惩罚程度；s，r表示图像中的任意两个不相同的像素.

图像中每个像素的分类只会受该像素的邻域像素类别属性影响，和其邻域外的像素类别无关，即：

其中，ηij代表原图像中位置为(i'j)的点yij的邻域，ηij={t1，t2，…，tn}；n 表示yij的邻域范围包含的像素数量；tij代表yij所属的类别.由式（6）～（8）可得：

最后得到MRF空间约束场公式为：

3 结合MRF的自适应加权FCM改进算法

基于像素局部密度信息判定该像素在其窗口邻域内的离散型，从而确定每个像素在其窗口邻域范围内属于离群点还是内部点，进而确定加权函数F，即当像素点t 在其窗口邻域范围内是一个孤立的噪声点时，F(t)趋近于0；当像素点t是其邻域内部的点时，F(t)趋近于1.

根据像素窗口邻域密度的离群度进行局部离散点检测［17］.窗口邻域用于确定像素点的密度特征比较范围.Nk-ɛ(t)表示在窗口长度为ε 的情况下，与像素点t 的欧氏距离最近的k 个像素点的集合.根据像素t与其K-近邻内像素点o之间的欧氏距离d(t'o)，可以得到其在ε窗口邻域内的密度ρt，即：

其中，K代表离像素t距离最近的像素数目.

令D(t'o)为像素点t到ε窗口邻域内像素点o的可到达距离，则：

对于像素点t来说，其ε窗口邻域密度εk(t)反映了像素点t与整个ε窗口邻域内其他像素点的欧式距离关系，可达密度越小，该点是离群点的可能性越大.

根据像素点t的窗口邻域密度，定义其离群因子系数

由式（14）可知，如果像素点t的离群因子系数接近1，说明该像素点与窗口邻域ε内像素点同属一个类别.如果该像素点离群因子系数小于1，说明像素点t 的密度高于ε 内其他像素点密度，属于ε 的密集点；反之，则t可能是异常点.

根据像素在窗口邻域范围内的离散因子判别系数来判断当前像素的所属类别.令F(t)为关于像素点t的离群因子判别系数，

F（t）越接近0，则该像素为奇异点可能性越大；F（t）越接近1，则该像素为区域内部点的可能性越大.

通过在均匀区域内增加MRF先验概率的权值，实现噪声平滑，在边界离散附近，增加FCM隶属度场的权重，可以最大程度地保留边界细节.

在每次算法迭代过程中，首先计算每个像素的MRF 先验概率和FCM 隶属度矩阵，然后根据式（15）得到像素的加权函数F（t），最后确定像素的改进隶属度值

4 实验结果

4.1 实验数据

采用明尼苏达大学生物医学功能成像与神经工程实验室提供的58 层DTI 数据进行图像分割实验.该DTI 数据由德国西门子的3Tesla Trio 核磁共振仪采集，采集轴向为58 层的DTI 数据，体元大小为2 mm×2 mm×2 mm，回波时间TE=95 ms，重复时间TR=8.7 s.所采用的DTI数据集具有完备、清晰的人脑组织信息，是DTI 研究常用的数据集.

这里以脑组织区域较为明显的第26 层DTI 图像数据为例进行对比实验结果分析.实验中，对第26层图像数据手动叠加噪声干扰验证算法的抗噪性，其中噪声为高斯噪声，其标准差为噪声强度百分比与组织强度的乘积.图1（a）～1（f）分别为叠加了0，3%，5%，10%，15%，20%噪声级别的第26 层人脑DTI 图像.实验主机配置为2.60 GHz CPU，8 GB 内存的Intel（R）Core（TM）i7 处理器，Windows10 操作系统.在Matlab R2014a仿真平台上进行编程实现.

为了定量地评价算法的聚类结果，采用分割系数Vc和分割熵Ve两个评价指标：

4.2 实验结果分析

为验证本算法的分割效果，对图1 所示的人脑第26 层DTI 图像，分别使用传统FCM、自适应灰度加权的稳健模糊C-均值图像分割（AGWRFCM）［18］、FCM-MRF［19］以及本算法进行分割实验对比.噪声级别分别为0，20%时，人脑第26 层DTI 图像的分割结果如图2，3 所示.其中，图2（a）～2（c）为FCM 算法分割未施加噪声的DTI 数据的类别结果，图2（d）～2（f）为FCM-MRF 算法分割未施加噪声的DTI 数据的类别结果，图2（g）～2（i）为AGWRFCM 算法分割未施加噪声的DTI数据的类别结果，图2（j）～2（l）为本算法分割未施加噪声的DTI 数据的类别结果；图3（a）～3（c）为FCM 算法分割添加了噪声级别为20%的DTI 数据的类别结果，图3（d）～3（f）为FCM-MRF 算法分割添加了噪声级别为20%的DTI 数据的类别结果，图3（g）～3（i）为AGWRFCM 算法分割添加了噪声级别为20%的DTI 数据的类别结果，图3（j）～3（l）为本算法分割添加了噪声级别为20%的DTI数据的类别结果.

图2 在噪声级别为0时不同算法的DTI图像分割结果

图3 在噪声级别为20%时不同算法的DTI图像分割结果

由实验结果来看，在DTI 图像存在噪声的情况下，FCM 算法的抗噪能力较差，分割结果出现了些许噪声点；相比FCM 算法，FCM-MRF 算法抗噪能力较强，但是图像的边界和像素划分不够清晰，且胼胝体区域分割粗糙，存在许多杂质；AGWRFCM 算法抵抗噪声干扰效果显著，但在分割胼胝体部分时边缘划分不够清晰，留有部分杂质.本文作者采用离散加权方式结合FCM与MRF算法，既较好地清除了噪声的干扰，又较为准确地划分了聚类，得到比较清晰的目标区域.

通过计算迭加了不同噪声级别的第26层脑部DTI图像的分割系数Vc和分割熵Ve，定量分析评价分割算法的效果，如表1，2所示.

表1 分割系数比较

表2 分割熵比较

由表1可知，本算法的分割系数高于其他3种分割算法，且在噪声强度增强的情况下，也基本保持稳定；由表2 可知，本算法的分割熵略低于其他分割算法，且随着噪声强度增强，保持了较好的稳定性.由综合评定指标及DTI图像分割结果可知，本算法在分割精度方面优于FCM及其改进算法，并且具有较强的抗噪性能.

5 结 论

基于离群点类型提出一种自适应权值的FCM 和MRF 融合算法，并将其应用于DTI 图像分割中.通过遍历DTI图像得到每一个像素的自适应权值，将加权函数用于调节隶属度和MRF 空间约束场在改进隶属度方程中的比例.对DTI图像进行分割实验，并对实验结果进行了定量分析，结果表明，本算法改进了FCM 算法图像抗噪性能差的缺点，在聚类划分指标上均优于其他算法，且具有较强的抗噪性能，是一种切实可行的DTI图像分割算法.