“零分解”在解题中的应用——对2010年海南高考一道试题的解答与探讨

郭秀丽，郭晋生

(吕梁市贺昌中学校，山西 吕梁 033000)

一、“零分解”的概念

“零分解”就是无中生有，将“0”分解为两个相反的量，加在方程里。因为任何两个相反量的和是零，在方程中加一个“0”，即加两个相反的量，方程的解是不变的。我们都熟悉的在数学上解方程“移项变号”法则其本质就是“零分解”，在方程的两边加上相同的量就是在方程中加上了两个相反的量，其结果就成了“移项变号”的解题法则。在应用过程中根据解题需要针对性地选择“无中生有”，“零分解”，使添加的两个相反量与原方程中的已有量形成巧妙的组合，会使解题更方便简洁。“零分解”的方法可以替代使用“非惯性参考系”引进“惯性力”这个超过高中物理教学大纲的传统方法，而且也开辟了一个全新的思路，拓展了思维。“零分解”方法的具体使用如下：

如右图，斜面体M向左做加速运动，讨论斜面上的物体m的动力学、运动学问题时，传统的方法是以斜面体M为参考系，给物体m添加一个向右的惯性力ma，从而解析物体m相对斜面体M的动力学、运动学问题。“零分解”的方法是仍然以地面为参考系，把物体m的运动分解为与斜面体M相同的一个分运动和相对斜面体M的另一个分运动。应用“零分解”，给物体m添加一对相反的力——向左的ma和向右的ma，向左的力ma就是物体与斜面体一起向左加速运动需要的力，向右的力ma与物体受到的真实的力的合力就是物体m相对斜面体M沿斜面运动的力。

引进非惯性系，添加惯性力的方法不但超过教学大纲、高考大纲，而且学生也难以理解，基本靠记忆式学习。而“零分解”的方法，根据教材上力的分解与运动的分解这个教学的基本内容拓展、应用，学生容易理解，能自觉使用，与教学教材、高考大纲一脉相通，改记忆式学习为理解基础上的学习活动。

二、对一道高考题应用“零分解”进行分析、解答

(2010年海南高考题)水平地面上有一楔形物块A，其斜面上有一小物块B，B与平行于斜面的细绳的一端相连，细绳另一端固定在斜面上，A与B之间光滑，A和B以共同速度在地面的光滑段向左运动。当它们刚运动到粗糙段时：(高考给出的标准答案是C选项)

图1图2

A.绳的张力减小，B对A的正压力减小

B.绳的张力增加，斜面对B的正压力增加

C.绳的张力减小，地面对A的支持力增加

D.绳的张力增加，地面对A的支持力减小

如果选择A、B及细绳整体为研究对象，在竖直方向有：N′=Mg+mg=N，水平方向有f=μN′(本题不求摩擦力)。

结论1：当斜面受到的摩擦力比较小时，斜面A做减速运动的加速度比较小，地面对A的支持力没有变化。细绳对物体B的拉力变小。

当a≤gtanθ时，A、B一起减速运动，μ(M+m)g=(M+m)a，得μ≤tanθ，这时地面对A的支持力没有变化；当a>gtanθ，即μ>tanθ时，B相对A沿斜面向上运动，这时地面对A的支持力增大。

结论2：当斜面的加速度a>gtnaθ(即μ>tanθ)时，地面对斜面体的支持力增大了，细绳对物体B的拉力变小。

结论：当μ≤tanθ时，地面对A的支持力没有变化；当μ>tanθ时，地面对A的支持力变大。细绳对物体B的拉力减小或没有拉力。

通过上面的分析得出两种情况，其实再细致分析一下过程还是比较复杂的。我们知道地面对A的摩擦力是逐渐增大的，因为f=μN*，N*是压在粗糙面上的压力，N*是从零开始逐渐增大的。这道题给的时空状态是“刚运动到粗糙段时”，f从0开始逐渐增大，a亦从0开始逐渐增大，所以选择地面对A的支持力没有变化更妥当，因为系统刚运动到粗糙平面时，摩擦力f很小, 加速度a也很小 , 这个从斜面A不断进入粗糙地面的过程是连续变化的，题设的“刚运动到粗糙段时”是过程的左极限时态。

高考的答案，是C选项。但是通过上面的分析、解答，答案应该是“细绳的拉力减小，地面对A的支持力不变”更符合题意。

方法二：本题还可以从做功和能量变化来分析，系统进入粗糙面后，若μ≤tanθ，A、B一起减速运动，重力对B不做功，支持力对B做负功，细绳的拉力对B做正功，支持力增大，拉力减小，支持力与拉力做的总功是负功(因为在光滑平面匀速运动时支持力与拉力的合力与重力平衡，支持力与拉力的总功是零)，物体B可以与斜面体A一起做减速运动。若μ>tanθ，B相对A沿斜面向上运动冲上斜面，这时拉力为零，做负功的支持力增大，B的动能减小，势能增大，总能量减小。若斜面体A突然停止运动，物体B一定冲上斜面，动能减小，势能增大，总能量不变，因为没有耗散力做功。从功和能的角度分析也符合前面用牛顿运动定律分析的结果。用功和能来分析物理过程一般相对比较简单，因为功和能是标量，但是正因为功是过程量，能量是状态量，分析的比较粗略；用牛顿运动定律分析物理过程比较细腻，往往要结合运动学的规律，一般关系方程比较多，稍显复杂。两种分析方法都要很好的掌握，互相验证，相得益彰。

若应用爱因斯坦的广义相对论“加速场等价于引力场”来分析这个问题，A的加速度是向右的，等价的引力场是向左的，若B相对A没有沿斜面向上加速运动，A、B系统在竖直方向的外力没有变化，即地面对斜面A的支持力没有变化。若B相对A沿斜面向上加速运动，则A、B系统竖直方向的合外力向下，地面对A的支持力FN<(mA+mB)g。

上面我们是把A、B基本视为质点来分析的，若将B视为质点(或非质点)，A视为刚体(非质点)，且μ足够大，θ(斜面的倾角)足够大，A、B系统的惯性力的力矩会大于系统重力的力矩(根据爱因斯坦的广义相对论惯性力与重力(引力)是等价的，均为主动力)。系统会倾倒，倾倒的临界状态摩擦力与支持力的力矩均为零。如图3。

图3

从上面的分析、解答，可以看出高考题给出的标准答案是不正确的。笔者认为答案应该是：细绳的拉力减小或消失，A、B间相互作用的弹力增大，地面对A的支持力在μ≤tanθ没有变化，在μ>tanθ增大。

若突出、强调“刚运动到粗糙平面时”这个时态，或把物体视为非质点，对问题的讨论会更微妙和复杂一些，如上所述。

三、几个应用“零分解”解题的案例

例1 在光滑的水平面上有一质量为M，倾角为θ的斜面，在斜面上的有一质量为m的物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。物块与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物块在斜面上沿斜面向上相对滑动，求F满足的条件。(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

提示：我们可以求临界值F0，即此时系统(M和m)的加速度相同，令为a0，方向向左，M、m相互作用的摩擦力是最大静摩擦力f0=μFN，a0=Fcosθ/(M+m)。用“零分解”的方法，给物块m添加一对向左、向右的力ma0，除去向左的力ma0，(向左的力ma0看作是物块m产生与斜面相同加速度的力)，其余的力(重力mg、拉力F0、支持力FN、摩擦力f0、还有向右的力ma0)满足相对斜面静止的平衡方程。

有：对系统

F0cosθ=(M+m)a0

(1)

对物块，在垂直于斜面方向

FN=mgcosθ-ma0sinθ

(2)

在平行于斜面方向

F0=mgsinθ+ma0cosθ+μFN

(3)

得

(4)

当m相对M发生向上相对运动时，

例2 如图，一物块静止放置在倾角为θ的斜面上，质量为m，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面在水平地面上以加速度a向右匀加速运动。求a满足什么条件时物块将开始滑动？

提示：可以用“零分解”来解答。给物块m添加一对力，向左的力ma和向右的力ma，向右的力ma是物块随斜面一起做加速运动需要的力，向左的力ma、重力mg、支持力FN、沿斜面向上的摩擦力f，这些力满足物块相对斜面静止(或匀速下滑)的动力学条件，其中f=μFN。

在平行于斜面方向

f=mgsinθ+ma0cosθ

(5)

在垂直于斜面方向

FN=mgcosθ-ma0sinθ

(6)

又

f=μFN

(7)

例3 一个表面光滑的截面为直角三角形的楔形物体，斜面的长度为L，斜面与底边之间的夹角为θ，质量为M，静止于光滑的水平桌面上，将一个质量为m的质点放在斜面的顶端，该质点从斜面自由滑下，

解：令楔形物体M向左运动的加速度为a0，给视为质点的物块m一对力，向左的ma0和向右的ma0，向左的ma0是物块m与楔形物体一起向左加速运动需要的力，重力mg、支持力FN、水平向右的力ma0，这三个力的合力是使物块m相对楔形物体M沿斜面加速下滑的力。于是可以列出方程：

对物块相对位移

(8)

a是物块相对楔形物体的加速度

楔形物体的位移

(9)

平行于斜面方向

ma0cosθ+mgsinθ=ma

(10)

系统在水平方向动量守恒

matcosθ=(M+m)a0t

(11)

由(11)式得

(12)

由(8)(9)(12)式得

(13)

由(10)(12)式得

(14)

将(14)式代入(8)式得

(15)

例4 三个物体通过滑轮组及细绳互相连接，它们的质量m1=4 m，m2=2 m，m3= m，不计滑轮质量和一切摩擦，求m1物块的加速度和两条绳上的张力。

(a1=2m/s2T1=2T2=3.2mg)

解：因为m1>m2+m3，所以m1向下加速运动，令m1向下的加速度大小为a1，以地面为参考系，用“零分解”的方法，给m2添加一对向上、向下的力m2a1，给m3添加一对向上、向下的力m3a1，向上的力m2a1、m3a1是m2和m3随动滑轮向上加速运动需要的力，于是有：

m1g-T1=m1a1

(16)

m2g+m2a1-T2=m2a2

(17)

T2-m3g-m3a1=m3a3

(18)

T1=2T2

(19)

a2=a3

(20)

其中a1是m1相对地面的加速度，a2、a3分别是m2、m3相对动滑轮的加速度。

由上面五个方程很容易求得解答。

用“零分解”解题，既很方便也很好理解。“零分解”的本质就是添加一对相反量(其和是0)，不影响原题的数量关系。“零分解”还可以用在其他问题上。

例5 一个半径为R的圆周上对称地分布着8个等量的点电荷，电荷量为q，其中一个为负电荷，其余为正电荷，求圆心处的电场强度。(E=4Kq/R2)

提示：在负电荷处添加一个正电荷和一个负电荷，此正电荷与其余7个正电荷由于对称分布，这8个电荷在圆心的场强为零，于是圆心处的场强就是-2q点电荷在该处产生的场强。

一种方法不仅仅是一个技巧，其命名潜示着认知角度、思想方法、物理理念。譬如引入“惯性力”，就是从参考系入手，为了使牛顿运动定律在非惯性系中也能适用而“凭空”添加的一个力。现在看来正是爱因斯坦广义相对论的等价性原理，“加速场等价于引力场，加速场与引力场是不能区分的”。“零分解”暗合着宇宙大爆炸理论，我们的宇宙就是从一个奇点大爆炸而产生的，生成了正反两种物质，如果我们的宇宙没有外宇宙的作用，宇宙的总能量、总动量是守恒的，宇宙是一个自洽系统。“零分解”里面隐含物理的味道，自然的气息。也许这样太浪漫了，宇宙就是浪漫的。

教学改革的核心就是激发学生的学习兴趣，开发学生的学习潜能。希望教师、学生能解放思想，开拓创新，深化教学改革。