题、好题、好试题

李传峰

[摘  要] 在高中数学的教学中，阶段性测试是相当重要的组成部分，可以对当前的教学质量进行有效的评估，为下一阶段的教学计划提供指导. 为此，需要对高中数学阶段测试卷的命题予以高度重视. 文中，主要就针对高中数学阶段测试卷命题展开分析，为提高高中数学教学质量提供支持.

[关键词] 高中数学;阶段性测试;命题

如前所言，高中数学教学中的阶段性测试（包括周测、章节测、月测、期中测、期末测等），其最主要目的是评估教学质量，指导下一阶段教学计划，因而是否能够准确反馈学生学的情况和教师教的情况，是评价一套高中数学阶段测试卷的主要指标之一.笔者从这个角度谈一下怎样的数学题才是好的测试题.

每一道数学测试题的好与差主要可以从以下四个方面进行评价.

好的数学测试题首先是一道好的数学题

当然，好题的标准有很多，例如章建跃老师在他的文章中也谈了对好题的认识.

基于阶段数学测试的需要笔者强调以下三点.

1. 好的数学题首先要满足科学性

例如文[1]中提到的各种不满足科学性的例子. 有科学性错误的题目不仅浪费学生考试时间，更重要的是使测试结果失真.

2. 好的数学题要语言精练、准确，不浪费阅读时间，不让阅读者产生歧义

例题1：某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为5001+ 万元（n为正整数）.

（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An，Bn的表达式;

（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

这是一道2004年的高考题，当年高考时问题不大，学生很自然地把2004年作为“今年”，但现在再用此题，应当把“今年”改为“2004年”，否则会引起歧义.

3. 好的数学题不人为设置陷阱，造成学生不必要失分，从而使反馈结果失真

因为阶段性测试最主要目的是评估，故所选的题目应当有利于考查学生对基础知识、基本方法和基本能力的掌握.

例题2：在向量a=（x，y）的右边乘以一个矩阵A2×2，按向量的乘法规则相乘以后得到一个新的向量a0，我们把这个运算过程称为对向量a实施了一次右矩阵变换. 直线l1：y=ax+2上任意一点P（x，y）确定向量 （O为坐标原点），通过矩阵0  11  0对向量 实施右矩阵变换后得到向量 ，若点P1轨迹是直线y=3x-b，则直线y=ax+2与直线y=3x-b的对称轴所在直线方程是__________.

这是笔者在考查矩阵、向量和直线三个知识点时所命的一道综合题，意图考查学生的阅读能力和基本运算能力，通过与试卷审题人商讨，修改如下.

例题2变式：在向量a=（x，y）的右边乘以一个矩阵A2×2，按向量的乘法规则相乘以后得到一个新的向量a0，我们把这个运算过程称为对向量a实施了一次右矩阵变换. 直线l1：y=ax+2上任意一点P（x，y）确定向量 （O为坐标原点），通过矩阵0  11  0对向量 实施右矩阵变换后得到向量 ，点P1的坐标（x0，y0）满足y0=3x0-b，若直线l2：a1x+b1y+1=0和l3：a2x+b2y+1=0相交于点T（3a，b），则过点E（a1，b1），F（a2，b2）的直线l4的方程是_______.

把该题第三段运算修改为求过定点的直线方程，从而避开人为设置的陷阱，对直线方程考查的能力要求还略有提高，使知识考查和能力考查都落到了实处.

好的测试题应该是适合测试的题

1. 作为测试题的数学题在难度上应当与参加测试学生的整体水平相匹配，难度过高或过低的题目均不适合作为测试题

例题3：已知a>b>c，a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b和a2+b2的取值范围.

该题解法虽然较多，但主流的解法是“构造”，故对学生能力要求比较高，适合作为竞赛题或数学能力比较出色的学生的测试题.

2. 好的测试题知识或能力考查的指向性要准确

好的阶段测试题一定要紧扣所要考查的知识范围和能力要求.

例题4：直线l1：mx+y-1-m=0，l2：x+my-2m=0，讨论当m取何值时直线l1与l2相交、平行或重合.

该题可以用矩阵、行列式、直線的斜率等多个知识点解决，高三阶段综合测试时这样命题是可以的，但作为高二阶段的测试题，应当明确用什么知识点解题.

可做如下修改.

例题4变式：直线l1：mx+y-1-m=0，l2：x+my-2m=0，试运用行列式的知识讨论当m取何值时直线l1与l2相交、平行或重合.

好的测试题是把好题放在合适的试卷的合适的位置

1. 好的测试题是把好题放在合适的试卷中

例题5：角α终边过点P（3，-4），则sinα=__________.

例题5变式1：角α+ 终边过点P（3，-4），则sinα=__________.

例题5变式2：角α+ 终边过点P（3，-4），则sin2α=__________ .

从知识考查的角度讲，例题5考查了三角比定义，例题5变式1考查了三角比定义和诱导公式，例题5变式2考查了三角比定义、诱导公式和倍角公式. 在不同学习阶段应该选择不同的测试题. 当然，如果没有学过诱导公式也用例题5变式1作为测试题，则在考查三角比定义的基础上增加了数形结合能力的考查.

从知识考查的角度讲，例题5考查了三角比定义，例题5变式1考查了三角比定义和诱导公式. 在不同学习阶段应该选择不同的测试题.

2. 好的测试题还要放在试卷的合适的位置

（1）题目的难度对题目的位置有影响

例题6：直线l1：ax+2y-6=0和l2：2x+y+5=0平行，a=__________.

例题6变式：直线l1：ax+2y-6=0和l2：x+（a+1）y+（a+5）=0平行，a=__________.

同样是考查直线位置关系，从试题难度的角度讲，例题6可以放在测试卷第1题位置，而例题6变式因為多了一个舍根的过程，一般情况下就不太适合放在测试卷第1题.

（2）题目的特点对题目的位置有影响

例题7：已知点M（3，5），在直线l：x-2y+2=0上找一点P，在y轴上找一点Q，使△MPQ的周长最小，试求出△MPQ周长的最小值，并求出当△MPQ周长最小时点P和点Q的坐标.

笔者用它作为阶段测试中一道解答题，结果得分两极化，要么有思路得满分，要么没思路得0分，试题区分度极差，不利于信息反馈，因此，此题不适合作为测试卷的解答题.

这道题是考查点关于直线对称的好题，要用它作为测试题，比较适合放在选择题或填空题位置. 如果作为解答题，就要对试题做出适当修改.

例题7变式：已知点M（3，5）和直线l：x-2y+2=0，

（1）求点M关于直线l的对称点M 的坐标;

（2）在直线l上找一点P，在y轴上找一点Q，使△MPQ的周长最小，试求出△MPQ周长的最小值，并求出当△MPQ周长最小时点P和点Q的坐标.

增加求点M关于直线l的对称点M 的坐标，尽管略微降低了题目的难度，但既为学生解决该题目提供了思路，也增加了题目的得分点，从而极大改善该题的区分度.

好的测试题最好是有一定可读性的“新鲜”题目

过于陈旧的数学题或内容过于平淡的数学题容易造成学生“背题”“刷题”的不良数学学习习惯，造成测试结果失真，不利于学生数学能力的提高，容易造成对数学学习的厌倦和恐惧心理.教师尽可能命制贴近时代，贴近学生生活的“新鲜”题目，以此更好地激发学生数学学习热情，提高学生数学能力.

例题8：学生李明用手机加了一个有关高中数学学习的微信群，群里面许多数学爱好者经常发一些有关高中数学学习的心得和经验，但是，这些心得和经验的正确性无法保证，下面是李明搜集到的有关函数的一些结论：（1）若函数y=f（-x）有反函数，则其反函数可表示为y=f -1（-x）;（2）函数y=f（x）在其定义域内的最大值为M，最小值为m，则其值域为[m，M];（3）定义在R上的函数y=f（x），若对任意的实数x，y等式f（x）-f（y）= 均成立，则函数y=f（x）一定是奇函数;（4）定义在R上的函数y=f（x），若对任意的实数x都有f（x）-f（x）=0，则函数y=f（x）一定没有反函数.

李明的同学们对以上四个结论有以下不同判断，其中判断正确的是（ C ）

A. 都是错误的

B. 只有一个是正确的

C. 两对两错

D. 只有一个是错误的

目前网上各种数学交流平台异常火爆，但信息的可信度不尽如人意，故笔者编写了该题目，提醒学生注意信息筛选.

结束语

阶段测试卷会因为测试时间、测试内容、测试对象、测试目的等的不同，造成试卷形式、题目难度和题目类型差异巨大，因此，对好试题的评价标准是一个相对的概念，它的具体内涵取决于学生的具体情况. 囿于笔者认识的有限性，笔者所谈是基于所在学校的学生层次、教学实际情况的经验之谈，因而许多评价未必适合所有读者. 本文不是试图给出命制测试题（卷）的标准，只希望能起到一点抛砖引玉的效果.

参考文献：

[1]  张国治，郭江燕，李晓云. 例谈编拟数学试题的科学性原则——以高考题、竞赛题中的错题为例[J]. 数学教学，2016（08）.