借助题组教学，提升数学课堂的有效性

朱强

[摘  要] 题组教学作为一种行之有效的巩固学习方法，很值得将其运用到数学教学之中. 文章以教材为媒介，以实践探究为手段，以提高高中数学课堂有效性为终极目标，从概念的建构、解题的过程和思维的培养等方面来阐述题组教学的应用.

[关键词] 高中数学;题组教学;有效性

题组教学是富含生命力的话题，对数学课堂教学意义深远. 在高中数学课堂教学中，题组教学作为一种行之有效的巩固学习方法，以具有目的性和层次性的“代表性问题”为核心，融知识、方法与技巧为一体，以师生共同探究为主要形式，促发求知的迫切心理，让教学生机勃勃，让学生在解题过程中体验题组的规律性，让数学能力的培养水到渠成[1]. 同时，题组教学的形式多样，教师也需注重其背后实质性的挖掘. 下面笔者就从课堂教学的角度着手，探讨一下题组教学的应用.

让学生在题组教学中建构概念

概念是组成认知结构的“细胞”，深入概念本质可以促进概念的建构. 概念教学最难以调控的就是不仅需引领学生理解和掌握概念的内涵和外延，还需领悟其中蕴含的数学思想方法和技能.因为概念具有抽象性的特征，如果仅仅是将概念传送给学生，很多学生将因为毫无新鲜感而缺乏参与探究的热情，即便是他们也在认真地被动接受，但是他们的思维定然无法进入活跃的状态. 当教师进行概念教学时，有意识地运用适当的题组加以衬托，这样的处理可以增强学生概念学习的投入性，最终完成对相关概念的建构，这样的教学方法与学生的认知规律相匹配，也有助于数学素养的提高[2] .

例1：请观察1-3题，并说一说集合A到集合B的对应共同点有哪些？

（1）A={-1，-2，-3，1，2，3}，B={1，4，9}，对应法则f：求平方;

（2）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5，6}，对应法则f：乘以2;

（3）A={xx∈Z且x≠0}，B=Q，对应法则f：x→ ;

（4）A={xx∈Z}，B=Q，对应法则f：x→ ;

（5）A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1， 2，3}，对应法则f：开平方.

分析：在题组的引导下，借助1-3题学生思考并提炼得出：对于集合A中的元素a，所对应法则f下的集合B中都有唯一元素b与之对应. 至此，知识实现了一定程度的深化. 然后教师适时引出映射的定义，并通过举反例的形式，促进学生完成映射定义的咀嚼，并出示问题（4）和（5）让学生尝试判断是否为映射，进一步加深对定义的理解，利于对概念的建构.

让学生在题组教学中探求解题规律

不少数学问题具有规律性，教师需有意识地激发学生发现、探究和掌握规律.在教学中，教师可以设置题组来帮助学生去找寻、探究和积累，从而掌握其中规律，并实现灵活应用，达到培养学生思维广阔性的目的.

例2：（1）求值：cos60°cos15°+sin60°·sin15°;

（2）求值： cos15°+ sin15°;

（3）求值cos15°+ sin15°;

（4）求函数y=cosα+ sinα，α∈0， 的值域;

（5）求函数y=sinαcosα+ sin2α，α∈0， 的值域;

（6）设函数f（x）=a·b，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx， sin2x），若f（x）=a·b且x∈- ， ，求x的值.

分析：以上题组中，1-3题将思维从两角和与差的余弦公式的逆用逐步向提炼辅助角公式asinα+bcosα= sin（α+φ）（tanφ= ）过渡，促进学生对公式形成更加全面而立体的认识，而且这一知识的提炼水到渠成. 4-6题则是沟通辅助角公式、两倍角公式以及向量，从而有效激发学生的思维，实现公式的灵活应用. 题组教学可以通过层层推进的关系将解题的规律逐步展示出来，以此提升学生解题的目的性.

让学生在题组教学中强化重点

高中数学教学中，首要任务就是帮助学生解决重点，同时突破难点，但是学生在重点强化方面确实存在着意识上的缺失，所以在教学过程中，教师需设计题组来启发和引导，采用题组训练的方式进行知识的梳理，这样的操作必然会让学生在掌握基础知识技能的同时，有助于重点的突出，并且可以在认知提升的基础上培养学生的数学素养.当然，有些知识的重点和难点是相辅相成的，这就要求教师在设计题组时，既需有利于重点的凸显，也要有助于难点化解，同时还需关注学生对知识的理解和深化，从而收到事半功倍的效果.

例如，笔者在执教“函数的单调性”后，选用了“求二次函数在闭区间上的最大（小）值”的題组来实施针对性训练：

例3：（1）设f（x）=x2-2x-2，x∈[-2，2]，求f（x）的最大值、最小值;

（2）设f（x）=x2-2x-2，若有f（x）在区间[-2，t]上的最大值g（t），试求出g（t）的表达式;

（3）设f（x）=x2-2x-2，若有f（x）在区间[t，t+1]上的最小值g（t），试求出g（t）的表达式;

（4）设f（x）=x2-2ax-2，若有f（x）在区间[-2，1]上的最小值g（a），试求出g（a）的表达式.

分析：以上题组主要探究的是“一元二次函数的最值问题”，而突破这类问题的关键之处是需引导学生沟通一元二次函数的图像，理清函数对称轴和定区间之间的位置关系. 在以上4个变式题组训练中，学生对此问题有了一个深刻的认识.

让学生在题组教学中实现难点突破

高中教学中体现出来的难点众多，根本原因在于认知水平的差异性. 这就要求广大数学教师需充分发挥好自身的主导作用，积极主动地进行教学设计，从而在教学过程中更加有效地指导学生，突破难点. 当然，难点的强化，若仅仅借助于反复强调和讲解自然是远远不够的，教师可以通过设计题组这一专用武器，引领学生展开“突破难点”的专门性训练，通过思考、探究和探讨找寻真理，有效攻克难点.

例4：（1）求函数y=log x的单调增区间;

（2）求函数y=x2-6x+8的单调增区间;

（3）求函数y=log2（x2-6x+8）的单调增区间;

（4）已知函数y=loga（2-ax）在区间[0，1]上单调递减，试求出a的取值范围.

分析：以上题组中，1-2题两道具体的初等函数单调区间问题，从函数图像出发，学生解决起来较为简单;不过3-4题这两道复合函数单调区间问题，则是函数这一章节中的一个教学难点，成为长期困扰教师的一个问题，通过题组教学，学生理解起来就简单多了.

略解（3）设y=log2t，t（x）=x2-6x+8，且有t（x）=x2-6x+8>0. 因为y=log t在（0，+∞）上单调递增，即为求函数y=log2（x2-6x+8）的单调增区间，也就是求内函数t（x）=x2-6x+8的单调增区间，因此只需从一元二次函数t（x）=x2-6x+8的图像着手解决即可. （作图时需考虑定义域t>0）

（4）设y=logat，t（x）=2-ax，且有t（x）=2-ax>0. 因为a>0，所以内函数t=2-ax在区间[0，1]单调递减. 因为函数y=loga（2-ax）在区间[0，1]单调递减，所以外函数y=logat在区间[0，1]单调递增，所以a>1. 又因为t（x）=2-ax>0在[0，1]上恒成立，所以t（x）min=t（1）=2-a>0，所以1

若将题中区间[0，1]转化为（0，1），结果会发生什么样的变化呢？思考后可以得出，前半部分相同，不过由于t（x）min>t（1）=2-a≥0，所以1

让学生在题组教学中发展思维

题组教学可以将相关知识的衔接中的思维机制充分暴露，据此它可以作为发展学生思维能力的有效载体[3] . 因此，教师在设计题组时，应鼓励学生大胆设想、敢于质疑，彰显自我认知的思维过程，让学生的思维得到有效激发和训练.

例5：（1）一个三角形的各边可否组合为等比数列？若能，试求出公比q的取值范围;若不能，请阐明原因.

（2）一个直角三角形的三边可否组合为等差数列？若能，试求出该数列;若不能，请阐明原因.

（3）若一个三角形的三个内角和所对三边均可组合为等差数列，该三角形是什么三角形？

解：（1）令该三角形三边为a，aq，aq2（a>0，q>0），那么，当q≥1时，最大边是aq2，所以a+aq>aq2;当0a.可得1≤q< 或

（2）若设直角三角形的三边组合为等差数列，那么三边为a-d，a，a+d，且公差为d（d>0），则（a-d）2+a2=（a+d）2，可得d= . 所以该直角三角形三边长度为 a，a， a时可构成等差数列.

（3）因为该三角形三个内角为等差数列，那么三个角为α-β，α，α+β，则（α-β）+α+（α+β）=π，可得α= . 因為该三角形三边为等差数列，那么三边为a-d，a，a+d，根据余弦定理，可得cosα= ，所以 = ，可得d=0，所以该三角形为等边三角形.

总之，在以题组教学为载体，引导学生展开数学探究的过程中，教师需充分发挥学生的自主性，让学生全面参与到思考和探究中去，让学生更加全面地获取数学知识技能，从而获得各方面能力的提升.

参考文献：

[1]  黄亚新. 高三数学复习中的“题组教学”及其对学生数学学习的影响[J]. 上海师范大学，2013，22（6）.

[2]  张明星. 高中数学题组教学模式下分组合作学习初探[J]. 杂文月刊：学术版，2016（3）.

[3]  李翠艳. 利用题组教学，培养学生的归纳和分析能力[J]. 考试周刊，2011（7）.