妙用平面几何知识解决解析几何高考试题

摘 要：本文以若干高考解析几何试题为例，探析平面几何知识在解决问题中的应用，以期更好地指导教学，达到举一反三之效.

关键词：解析几何;平面几何;复习备考

圆锥曲线属于解析几何的内容，但在解决方法上往往过于强调“纯代数”的解法即通过引进坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数方法研究几何问题.这些方法属于通性通法，固然是必须重点讲解和掌握的，但是它们的计算量偏大，因此，如何另辟蹊径，减少运算量是我们在教学中必须认真思考的问题.

由于学生在初中就已经学习了平面几何的一些性质，掌握了较为全面的平面几何知识，具备了较好地应用平面几何解决问题的能力因此，在解决圆锥曲线的相关问题中，如果我们能够抓住解析几何问题的本质特征“几何性”，结合圆锥曲线的知识进行求解，那么可以使问题的解决变得清爽简明，自然简约，收到事半功倍的效果.

类型1 三角形或梯形中位线的性质

例1 （2019年浙江卷理科第15题）已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是.

解析 如图1，设椭圆的右焦点为F1，线段PF的中点为M，连接OM，PF1.

由已知有OF=OF1=OM=2，PF1=4.

由PF+PF1=2a可得PF=2

所以MF=1.

作OH⊥MF，则tan∠OFH=OHHF=15.

所以直线OF的斜率是 15.

评注 观察图形不难发现OM是△FF1P的中位线，结合中位线的性质和椭圆的性质，将直线PF的斜率转化成tan∠OFH

类型2 等腰三角形的性质或判定

例2 （2019年江苏卷理科第17题）如图2，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C∶x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点为F1-1，0，F21，0过点F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：x-12+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1已知DF1=52（1）求椭圆C的标准方程;（2）求点E的坐标.

解析 由（1）知椭圆方程为x24+y23=1

如图2，连接EF1.由于BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB故∠B=∠BF1E.

又因为BF2=AF2，所以∠B=∠BAF2.

所以∠BF1E=∠BAF2.

所以EF1//AF2.

所以EF1⊥x轴所以点E-1，-32.

评注 充分挖掘图形中隐含的几何关系，紧扣△BF2A和△BEF1是等腰三角形，等量代换得到∠BF1E=∠BAF2，从而有EF1//AF2

类型3 圆的性质

例3 （2019年全国Ⅰ卷文科第21题）已知点A，B关于坐标原点O对称，AB=4，圆M过点A，B且与直线x+2=0相切是否存在定点P，使得当A运动时，MA-MP为定值？并说明理由.

解析 设Mx，y由已知有r=MA=x+2，AO=2，MO=x2+y2.

在Rt△MOA中，由MO2+AO2=AM2得|x+2|2=x2+y2+4.所以y2=4x.

故圆心M的轨迹是以F（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线.

所以|MA|-|MP|=|x+2|-|MP|=|x+1|-|MP|+1=|MF|-|MP|+1.

所以当|MA|-|MP|为定值时，则点P与点F重合，即点P的坐标为（1，0）.

所以存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值.

评注 问题解决的关键在于求出动圆圆心M的轨迹方程要抓住题目所给的几何特征由题目条件可知A，B两点是圆x2+y2=4直径的两个端点，是运动的.由于圆M经过A，B，所以圆心M必定在线段AB的垂直平分线上又圆与直线x+2=0相切，所以动圆M必须满足以下三个条件：（1）圆心在线段AB的垂直平分线上;（2）圆过点A，B;（3）圆与直线x=-2相切.

类型4 三角形内角平分线定理

例4 （2013年山东高考理科第22题）椭圆C∶x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左，右焦点分别是F1，F2，离心率为32，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

（1）求椭圆C的方程;

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围

解析 （1）椭圆C方程为x24+y2=1.

（2）如图3所示，在△PF1F2中，因为PM平分∠F1PF2，所以由三角形内角平分线定理可得

PF1m+ 3=PF2 3-m=PF1+PF22 3=2 3.

解得PF1=2 3m+ 3.

又點P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，所以a-c

即a-c<2 3m+ 3

解得m∈-32，32.

评注 抓住图形特征，将几何中的“内角平分线定理”“合分比定理”“椭圆上的点到焦点

的距离范围”巧妙地联系起来.

类型5 正弦定理或余弦定理

例5 （2012年辽宁高考理科第20题）设椭圆C∶x2a2+y2b2=1 a>b>0的右焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，AF=2FB求椭圆的离心率.

解析 设D为椭圆的左焦点

由已知有∠BFD=120°，∠AFD=60°，BC+BF=AD+AF=2a.

设BF=m，则AF=2m.

在△BFD中，由余弦定理有2a-m2=2c2+m2-2·2c·m·cos120°，解得m=2a2-c22a+c.

在△AFD中，由余弦定理有2a-2m2=2c2+2m2-2·2c·2m·cos60°，解得m=a2-c22a-c.

故2a2-c22a+c=a2-c22a-c.

解得e=23.

评注 本题巧妙地在两个三角形中运用余弦定理，得到a和c的关系式，从而求出e整个解题过程避开了复杂的坐标运算，联立直线方程与椭圆方程等等，给人一种耳目一新，清新脱俗的感觉这就启发我们，当用常规解法比较难以入手时，不妨转而观察图形的几何特征，将几何元素研究清楚，运用相关的几何知识加以解决，这样往往会有出其不意的效果.

类型6 三角形三边长的关系

例6 （2012年四川高考理科第19题）已知椭圆x24+y23=1的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是.

解析 设椭圆的右焦点为C，根据椭圆的定义有AF+AC=4，BF+BC=4，解得AF=4-AC，BF=4-BC

△FAB的周长c=AF+BF+AB=8+AB-AC+BC.

观察图形，有AC+BC≥AB，当且仅当直线x=m过右焦点C时取等号.

故c≤8，即△FAB的周长的最大值为8.

此时，A1，32，因此面积为3.

评注 本题用到几何中“三角形的两边之和大于第三边”这个重要结论整个过程没有很复杂烦琐的计算，但是却处处洋溢着思维的火花 整个过程自然明了，大道至簡

类型7 综合性问题

例7 （2017年全国Ⅰ卷第15题）已知双曲线C∶x2a2-y2b2=1的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若∠MAN=60°，则C的离心率为.

解析 如图6所示，作AP⊥MN交MN于点P，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则MN为双曲线的渐近线y=bax上的点，且A（a，0）， |AM|=|AN|=b.

因为AP⊥MN，所以∠PAN=30°.

点A（a，0）到直线y=bax的距离|AP|=b 1+b2a2.

在Rt△PAN中，因为cos∠PAN=|PA||NA|，

所以a2=3b2.

所以a=3b.

由c2=a2+b2得c=2b.

所以e=ca=2b 3b=2 33.

本文列举了几何法在圆锥曲线一些高考试题中的应用通过这些题目，我们看到了几何问题变成高考试题的演变、创造过程也就是说，利用平面几何解决高考问题已经成为高考命题的一种趋势而解决这类问题的关键在于认真探究问题，观察图形结构特征，从中获取有用的几何信息，结合学过的几何定理、结论等等进行求解这就要求我们在平时的解题中要善于观察、勤于思考，并且及时调控思维，优化思路教师需要在平常的教学中潜心渗透，让学生去体悟，学会根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”和“所求”之间的联系纽带.

参考文献：

[1]苏艺伟五环节教学，提升习题课品质[J].中国数学教育，2017（18）：22-26.

（收稿日期：2019-07-13）