一道原创题的两种解法 孰是孰非

甘志国

摘 要：本文对一道求三角函数值问题给出了两种自然解法，针对这两种解法的不一致性进行了分析探讨并给予了修正.

关键词：三角函数值;分数指数幂;评析

题目 已知tanθ=43，求sin3θ+sinθ的值.

解法1 由tanθ=43，可得sinθcosθ=43.

所以cosθ=34sinθ，sinθ≠0.

所以sin3θ+sinθ=sin3θ+sinθ（sin2θ+cos2θ）（sin2θ+cos2θ）32

=sin3θ+sinθsin2θ+34sinθ2sin2θ+34sinθ232

=4116sin3θ54sinθ232

=4116sin3θ12564sin3θ=164125.

解法2 由tanθ=43>0，可得θ是第一象限角或第三象限角.

（1）当θ是第一象限角时，由tanθ=43，可得sinθ=45.

所以sin3θ+sinθ=453+45=164125.

（2）当θ是第三象限角时，由tanθ=43，可得sinθ=-45.

所以sin3θ+sinθ=-453-45=-164125.

综上所述，可得sin3θ+sinθ=±164125.

剖析 我们发现解法2必然正确，因而解法1是错误的！那么解法1错在哪里呢？

我们分析在解法1中sin3θ+sinθ（sin2θ+cos2θ）（sin2θ+cos2θ）32=4116sin3θ54sinθ232=4116sin3θ12564sin3θ是否正确：

该等式中的第一个等号成立毋庸置疑（因为“由tanθ=43，可得cosθ=34sinθ，sinθ≠0”是千真万确的），那么解法1错误的原因只可能是上面等式中的第二个等号不成立因为该等式中第二个等号两边分式的分子恒等，所以它们的分母不恒等，即“（sin2θ）32=sin3θ”不是恒等式.

确实如此：以上等式中的第一个分式与第三个分式的分子恒等，但分母不恒等，因为（sin2θ+cos2θ）32=132=1>0，但由解法2可知12564sin3θ=12564±453=±1.

那么，为什么“（sin2θ）32=sin3θ”不是恒等式呢？

普通高中课程标准实验教科书《数学1·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）（下简称《必修1》）第51页第二行给出了下面的公式：

amn=nam（a>0，m，n∈N*，且n>1）.

第9行（黑体字）又写道“0的正分数指数幂等于0”，所以可把上面的公式推广为：

amn=nam（a≥0，m，n∈N*，且n>1）.①

因而由sin2θ≥0及①，可得（sin2θ）32=（sin2θ）3=sinθ3.

由此，可得解法1的修正：

由tanθ=43，可得cosθ=34sinθ，sinθ=±45.

所以sin3θ+sinθ=sin3θ+sinθ（sin2θ+cos2θ）（sin2θ+cos2θ）32

=4116sin3θ54sinθ232=4116sin3θ12564sinθ3=164125，sinθ=45，-164125，sinθ=-45

所以sin3θ+sinθ=±164125.

筆者在《数学通讯》2006年第9期（教师版）第25页“争鸣”栏目发表了下面的内容：

问题112 全日制普通高级中学教科书（必修）《数学·第一册（上）》（人民教育出版社，2003年）第70页的第2（3）题是：用分数指数幂表示3（a-b）2（a，b∈R+）与该教科书配套使用的《教师教学用书》第55页给出的答案是（a-b）23.

笔者认为：在该教科书中只讲述了底数为非负数的分数指数幂，从未涉及负数的分数指数幂（这样处理也很合适），所以该题的答案应为a-b23.

从“解法1的修正”来看，笔者发表的观点3（a-b）2=a-b23（a，b∈R+）是正确的.

《必修1》第54页的第2（3）题把问题112中的题目改成了“用分数指数幂表示3（m-n）2（m>n）”，与《必修1》配套使用的《教师教学用书》第55页给出的答案是（m-n）23.

该观点与笔者发表的观点3（a-b）2=a-b23（a，b∈R+）也完全一致.

（收稿日期：2019-07-26）