核心素养之构造函数一题多证

焦占红 张晓茜

摘 要：数学核心素养是学生知识、能力、情感态度价值观的综合体现.不等式证明题常以压轴题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将题目的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题.

关键词：核心素养;导数;构造函数;证明

数学核心素养是学生知识、能力、情感态度价值观的综合体现.函数不等式有助于学生数学核心素养的形成，集中体现了数学抽象、逻辑推理和数学运算等素养.

以函数为背景，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的不等式证明题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，经常以压轴题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将题目的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题.

题目 已知函数f（x）=lnx-ax（x>0），a为常数，若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1≠x2）.

证明：x1x2>e2.

分析1 解决极值点偏移问题的最基本的方法，共有四个解题要点：

（1）求函数g（x）的极值点x0;

（2）构造函数f（x）=g（x0+x）-g（x0-x）;

（3）确定函数f（x）的单调性;

（4）结合F（0）=0，确定g（x0+x）与g（x0-x）的大小关系.

证法1 （巧抓极值点构造函数）由题意，函数f（x）有两个零点x1，x2（x1≠x2），即f（x1）=f（x2）=0，易知lnx1，lnx2是方程x=aex的两根.

设t1=lnx1，t2=lnx2，g（x）=xe-x，则g（t1）=g（t2）.

从而x1x2>e2lnx1+lnx2>2t1+t2>2.

下证：t1+t2>2.

因为g′（x）=（1-x）e-x，易得g（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以函数g（x）在x=1处取得极大值g（1）=1e.

当x→-∞时，g（x）→-∞;

当x→+∞时，g（x）→0且g（x）>0.

由g（t1）=g（t2），t1≠t2，不妨设t1

令F（x）=g（1+x）-g（1-x），x∈（0，1]，

则F′（x）=g′（1+x）+g′（1-x）=x（e2x-1）ex+1>0.

所以F（x）在（0，1]上单调递增.

所以F（x）>F（0）=0对任意的x∈（0，1]恒成立.

即g（1+x）>g（1-x）对任意的x∈（0，1]恒成立.

由0

所以g[1+（1-t1）]=g（2-t1）>g[1-（1-t1）]=g（t1）=g（t2）.

即g（2-t1）>g（t2）.

又2-t1，t2∈（1，+∞），且g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以2-t12.

故x1x2>e2.

分析2 该方法的关键是巧妙引入变量s，然后利用等量关系，把t1，t2消掉，从而构造相应的函数，转化所证问题.其解题要点为：

（1）取差构元：记s=t2-t1，则t2=t1+s，利用该式消掉t2;

（2）巧解消参：利用g（t1）=g（t2），构造方程，解之，利用s表示t1;

（3）构造函数：依据消参之后所得不等式的形式，构造关于s的函数G（s）;

（4）转化求解：利用导数研究函数G（s）的单调性和最小值，从而证得结论.

证法2 （巧抓“根差”——s=△t=t2-t1构造函数）由题意，函数f（x）有两个零点x1，x2（x1≠x2），即f（x1）=f（x2）=0，易知lnx1，lnx2是方程x=aex的两根.

设t1=lnx1，t2=lnx2，g（x）=xe-x，则g（t1）=g（t2）.

从而x1x2>e2lnx1+lnx2>2t1+t2>2.

下证：t1+t2>2.

由g（t1）=g（t2），得t1e-t1=t2e-t2.

化简得et2-t1=t2t1.①

不妨设t2>t1，由法1知，0

令s=t2-t1，则s>0，t2=s+t1.

代入①式，得es=s+t1t1，解得t1=ses-1.

则t1+t2=2t1+s=2ses-1+s.

故要证t1+t2>2，即证2ses-1+s>2.

又es-1>0，故要证2ses-1+s>2，

即证2s+（s-2）（es-1）>0.②

令G（s）=2s+（s-2）（es-1）（s>0），

则G′（s）=（s-1）es+1，G″（s）=ses>0.

故G′（s）在（0，+∞）上单调递增.

所以G′（s）>G′（0）=0.

从而G（s）在（0，+∞）上单调递增.

所以G（s）>G（0）=0.

所以②式成立，故t1+t2>2.

故x1x2>e2.

分析3 該方法的基本思路是直接消掉参数a，再结合所证问题，巧妙引入变量c=x1x2，从而构造相应的函数.其解题要点为：

（1）联立消参：利用方程f（x1）=f（x2）消掉解析式中的参数a;

（2）抓商构元：令c=x1x2，消掉变量x1，x2，构造关于c的函数h（c）;

（3）用导求解：利用导数求解函数h（c）的最小值，从而可证得结论.

证法3 （巧抓“根商”——c=x1x2构造函数）不妨设x1>x2，因为lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，

所以lnx1+lnx2=a（x1+x2），lnx1-lnx2=a（x1-x2）.

所以lnx1-lnx2x1-x2=a.

欲证x1x2>e2，即证lnx1+lnx2>2.

因为lnx1+lnx2=a（x1+x2），

所以即证a>2x1-x2.

所以原问题等价于证明lnx1-lnx2x1-x2>2x1+x2.

即lnx1x2>2（x1-x2）x1+x2.

令c=x1x2（c>1），则不等式变为lnc>2（c-1）c+1.

令h（c）=lnc-2（c-1）c+1，c>1，

所以h′（c）=1c-4（c+1）2=（c-1）2c（c+1）2>0.

所以h（c）在（1，+∞）上单调递增.

所以h（c）>h（1）=ln1-0=0.

即lnc-2（c-1）c+1>0（c>1）.

因此原不等式x1x2>e2得证.

不等式证明是高考的热门考点，函数的零点问题是近几年的考查重点，本题以极值点偏移的小题为例，简要探讨构造函数问题.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]华东师范大学数学系数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]人民教育出版社普通高中课程实验教科书数学2-2 A版[M].北京：人民教育出版社，2018.

[4]林崇德21 世纪学生发展核心素养研究[M]. 北京：北京师范大学出版社，2016.

（收稿日期：2019-10-14）