高考圆锥曲线中定点与定值问题解析

2020-03-23张静徐小琴

理科考试研究·高中 2020年3期

张静徐小琴

摘要：圆锥曲线定点、定值问题是历年高考的重要内容之一，分析近年高考试题不难发现此部分内容有章可循.解决定点、定值问题有三种主要方法：先猜后证，特殊化;推理运算，逻辑化;运用推论，技巧化.

关键词：圆锥曲线;定点;定值

圆锥曲线中的定点与定值问题求解是该部分的重点内容，也是历年高考考查的高频考点.探究圆锥曲线定点、定值问题主要有三种方法：第一，先猜后证，即特殊化法，先根据特殊位置或特殊数值求出定点或定值，再证明这个点或值与变量无关;第二，直接推理计算，在推理计算过程中消去变量得到定点或定值，此法解题的关键在于找到问题中的结论与题设之间的关系，建立合理的方程或函数，再利用等量关系统一变量，最后通过消元得到结果;第三，运用重要推论，即直接运用圆锥曲线重要推论，减少运算.

1 定点问题

定点问题主要有两种，一种是证明定点存在，另一种是探究定点存在性，使某条件或结论成立.由于在解题之前不知道定点是什么，因而这类题目对考生而言具有一定的难度.定点问题的解决主要有特殊化法、推理法及重要推论法三种.

11 先猜再证（特殊化）

先猜再证是利用特殊情形（特殊位置、特殊值等）猜出定点，然后证明定点适用于一般情形.该方法将求解问题转化为证明问题，不仅明确了我们的证明方向，而且增多了解题的方法和手段，从而拓宽了学生的解题思路.

例1 （2015年全国Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy中，曲线C∶y=x24与直线l∶y=kx+a（a>0）交于M，N两点.

（1）当k=0时，分别求曲线C在点M和N处的切线方程;

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？请说明理由.

分析第（2）问是探求定点的存在性，首先假设其存在，由∠OPM=∠OPN，即PM与PN两条直线的斜率互为相反数，两直线斜率的和为定值0.令k=0将题目特殊化，利用图象的对称性易得y轴上存在点P满足条件，最后证明y轴上存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN.

解析（1）所求切线方程分别为 ax-y-a=0和 ax+y+a=0.

（2）第一步：猜.猜定点的坐标并不是毫无根据的乱猜，而是因特殊化处理而产生的合情推理.由于题意与直线斜率k无关，因此选定一个特殊的k值得到一个特殊的定点值.令k=0，则直线l与曲线C的交点分别为2 a，a和-2 a，a，即点M，N关于y轴对称，根据曲线C抛物线图象的对称性，得P0，-a.

故猜y轴上存在点P0，-a，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN.

第二步：证明.当k变动时，y轴上存在点P（0，-a），总有∠OPM=∠OPN，即PM与PN两直线斜率的和为定值0.

设Mx1，y1，Nx2，y2，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.

又P0，-a，故k1=y1+ax1，k2=y2+ax2.

联立方程y=kx+a，y=x24，化简整理得x2-4kx-4a=0.

因为△>0，有x1+x2=4k，x1x2=-4a.

又点M，N在直线l上，故y1=kx1+a，y2=kx2+a.

所以k1=kx1+2ax1，k2=kx2+2ax2.

则k1+k2=kx1+2ax1+kx2+2ax2=2kx1x2+2ax1+x2x1x2.

所以k1+k2=2k·-4a+2a·4k-4a=0.

所以无论k为何值，都有k1+k2=0，即y轴上存在点P0，-a，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN.

12 直接推理计算

当题目不适用先猜后证时，即根据已知条件难以确定一个特殊的位置关系时，只能采用更一般的通性通法，即直接推理计算进行求解.直接推理计算是指根据题目条件，通过几何关系或代数式的转化，直接得到定点或得到方程，再通过方程求出定点.

例2 （2017年全国Ⅰ卷理科第20题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，四点P11，1，P20，1，P3-1， 32，P41， 32中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程;

（2）设直线l不经过点P2且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.

分析第（2）问属于证明直线过定点问题，即探求直线的点斜式方程y=kx+b中k，b的关系，根据题目条件得到直線方程，从而求出定点.题设中给出一定值条件（直线的斜率之和为-1）是问题解决的核心要素，结合直线斜率的存在情况分类讨论，也是本题设置的易错难点.该题从特殊情形入手不能得到定点，因此只能通过题目所给的条件，直接推理计算得到结果.

解析（1）椭圆C的方程为x24+y2=1.

（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=-1.

①当斜率不存在时，设直线l为x=m，由题意得m≠0且m<2.

则Am， 4-m22，Bm，- 4-m22.

故k1+k2= 4-m2-22m- 4-m2+22m=-1.

解得m=2，不合题意.

②当斜率存在时，设直线l为y=kx+tt≠1.

设Ax1，y1，Bx2，y2，联立y=kx+t，x24+y2=1，化简整理得4k2+1x2+8ktx+4t2-4=0.

因为△=164k2-t2+1>0，则x1x2=4t2-44k2+1，x1+x2=-8kt4k2+1.

所以k1+k2=2kx1x2+t-1x1+x2x1x2=-1.

故2k+1·4t2-44k2+1+t-1·-8kt4k2+1=0.

解得k=-t+12.

当且仅当t>-1时，△>0，则直线l为y=-t+12x+t，变形得到y+1=-t+12x-2.

所以直线l过定点2，-1.

13 运用重要推论

推论1[1] 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.

推论2[2] 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.

圆锥曲线方程前提条件等价条件图形

椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0点P是准线上任意一点，点A，B在椭圆上

①直线AB过焦点F2

②AB⊥PF2

③点A，B为切点

④kPB·kOB=-b2a2

双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0，a≠b点P是准线上任意一点，点A在双曲线上

①直线AB过焦点F2

②PF2⊥BF2

③点B为切点

④kPB·kOB=b2a2

抛物线y2=2pxp>0点P是准线上任意一点，点A，B是抛物线的切点

①直线AB过焦点F

②PA⊥PB

③AB⊥PF

推论3 过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.

例3 （2019年全国Ⅲ卷理科第21题）已知曲线C∶y=x22，点D为直线y=-12上的动点，过点D作C的两条切线，切点分别为点A，B.

（1）证明：直线AB过定点;

（2）若以E0，52为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

分析第（1）问是探求直线过定点问题，由于直线AD和BD为曲线的两条切线，故可以直接利用推论3切点弦的性质写出切线AD和BD的方程，从而得出直线AB的方程，易知直线AB过定点.

解析（1）设Ax1，y1，Bx2，y2，Dt，-12，又因为点A，B为曲线C的切点，故切线AD为y+y1=xx1，切线BD为y+y2=xx2.

代入Dt，-12有-12+y1=tx1，-12+y2=tx2.

故直线AB的方程为-12+y=tx.

所以直线AB过定点0，12.

（2）略.

2 定值问题

定值问题[3]是指某些量的大小或某些表达式的值始终是一个定值，即与题目中的参数无关的问题.类比定点问题，这类题型主要也有两种，一种是证明结论为定值，另一种是探究在某条件或结论下是否存在某定值.由于定值問题需要在变中找不变，因而这类题目对考生而言具有一定的难度.对于该类问题，可以从以下三个方面进行归纳总结.

21 先猜后证（特殊化）

先猜后证即是从特殊情形入手，找到定值，再证明该值与变量无关.该方法适用于求定值的问题，可将求解问题转化为证明问题，从而帮助学生求解此类问题.

例4（2016年全国Ⅰ卷理科第20题）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B1，0且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E.

（1）证明EA+EB为定值，并写出点E的轨迹方程;

（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

分析第（1）问是对定值问题的探求，由题可知直线l与x轴不重合，故将题目特殊化，设直线过点B且与x轴垂直，利用数形结合及平面几何的知识易得该情形下EA+EB的值，已知EA+EB为定值，故猜想该值即为所求定值.猜出定值后不仅为该题的证明提供了方向，同时也可以检验计算结果是否正确.

解析（1）因为AD=AC，EB//AC，故∠DBE=∠ACD=∠ADC.

所以EB=ED.

所以EA+EB=EA+ED=AD.

又因为圆的标准方程为x+12+y2=16，

所以AD=4.即EA+EB=4.

由题设A-1，0，B1，0，AB=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24+y23=1y≠0.