例说几何定值的证明方法

何昌萍

几何定值问题，一般觉得束手无策，其原因在于题中没有明确给出这个定值是什么，且此类题目在教材中安排分散，就题论题，没有给出一般的证明策略。

如何发现“定值”是什么，是解决这类问题的关鍵。寻找定值的方法，一般是把图形中的点或线段运动到特殊的位置进行分析，或将问题转化到特殊的几何图形中，以发现“定值”，然后给出一般的证明。

一、从动点的临界位置发现定值。

例1 已知四边形ABCD中，∠B=∠D=90?，M为AC上任意一点，且MP⊥BC，MQ⊥AD，求证： 为定值。

分析：因M是AC上的动点，若M运动到AC的边界位置A（或C）点，则有PM=AB，MQ=0

∴ 故可预测

例2 半径分别为R和r的两个圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，求证：S1-S2为定值。

分析：当⊙O1与⊙O2的交点A、B重合时，即两圆外切，这时S1=S⊙O1，S2=S⊙O2此时定值为两圆面积之差，故可预测。S1-S2=π（R2-r2）

证明：S1=S⊙O1-S，S2=S⊙O2-S

∴S1-S2 =S⊙O1-S-（S⊙O2-S）

=S⊙O1-S⊙O2

=π（R2-r2）

二、从图形的特殊形状求定值。

例3 已知OA、OB是⊙O的半径，AD⊥OB于D，DC⊥AB于C。求证：OC2+CD2为定值。

分析：当△AOB为正三角形时，AD为OB上的中线，设OA=R，则有OD=DB= ，BC= ，

由于CD2=BD2-BC2= ，

OC2=BO2+BC2-2BO·BC·= ，

因此可以预测OC2 +DC2=R2

证明：如图由射影定理可得

DC2=AC·CB

作OE⊥AB于E，则有

DC2=（AB+EC）（AB-EC）

=AB2-EC2

OC2=OE2+EC2

OC2 +DC2=OE2+EC2+AB2-EC2

=OE2+AB2

=OE2+AE2

=R2

例4 已知⊙O的内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD于E，求证：AD2 +BC2=AB2+CD2=定值。

分析：若E点与圆心重合，则四边形ABCD为正方形，设⊙O的半径为R，则有AB=BC=CD=DA=R，因此可预测AD2 +BC2=AB2+CD2=4R2

证明：连结OA、OB、OC、OD，设∠AOB=α

由AC⊥BD可得 +?180?，则∠COD=180 ?-α

AB2=AO2+BO2-2AO·BO=2R2-2R2

CD2=CO2+DO2-2CO·DO=2R2-2R2

∴ AB2+CD2=4R2

同理可得AD2+BC2=4R2

因此AB2+CD2=AD2+BC2=4R2（定值）

证图形中角的三角函数值为定值，常构建直角三角形，将角的三角函数转化成两条线段的比，进而利用平面几何的有关定理，使问题得到解决。

例5 两个同心圆的半径之比为1：2，大圆的直径AD顺次交小圆于B、C，P为小圆上任一点，设∠APB=α，∠CPD=β，求证：·为定值。

证明：过点B作BE⊥PB交AP于E，过点C作CF⊥PC交PD于F

∵∠BPC=90 ?

∴

BE∥PC

CF∥PB

在Rt△BPE与Rt△CFP中， ，

∴ tgα·tgβ= = =

例6 已知B、C把线段AD三等分，以BD为直径作半圆，过点A作半圆的割线APQ，求证：tg ∠ACP·tg ∠ACQ为定值。

证明：连结DQ、DP、BP、BQ，在Rt△BDP与Rt△BDQ中，

tg ∠ACP=tg∠ADP=

tg ∠ACQ=tg∠ADQ=

又△ABP∽△AQD ?

△ABQ∽△APD?

∴tg ∠ACP·tg ∠ACQ=