虚轴上具有重极点的拉普拉斯变换与傅里叶变换相互计算的方法*

陈绍荣，何 健，朱行涛，刘郁林

（1.陆军工程大学通信士官学校，重庆 400035；2.军委装备发展部军事代表局驻成都地区军事代表室，四川 成都 610041；3.重庆市经信委，重庆 400015）

0 引言

在国内外《信号与系统》著作[1-2]中，针对信号的CTFT 与LT 的互相表出问题，仅给出了信号LT 的收敛域包含s 平面虚轴时或信号的CTFT 在s平面虚轴上解析时，信号的CTFT 与LT 的相互代换关系。然而，这种简单的相互代换关系，并不是在任何信号情况下均是成立的。本文在著作[3]的基础上，将虚轴上具有重极点的LT 分解成虚轴上含极点和不含极点两部分之和，将信号的CTFT 分解成解析部分与不解析部分之和，研究了信号的CTFT 与LT 之间的关系，圆满地解决了虚轴上具有重极点的LT 与CTFT 的相互计算问题。

1 由信号的LT 确定其CTFT

设双边信号f(t)的拉普拉斯变换为：

从逆LT 的计算可知，若双边信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的收敛域为α＜σ＜β，则双边信号f(t)中，相应的因果信号对应F(s)的区左极点si(i=1，2，…，p)（即Re(si)≤α的极点），相应的反因果信号对应F(s)的 区 右 极 点se(e=1，2，…，q)（即Re(se)≥β的极点）。

1.1 若满足条件α＜0＜β

考虑到α＜0＜β，则双边信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的收敛域α＜σ＜β包含s平面上的虚轴（σ=0的轴），那么复变量s可在虚轴上取值，即可令s=jΩ，于是从双边信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)，获得了双边信号f(t)的傅里叶变换（CTFT），即：

1.2 若F(s)在s 平面虚轴上存在极点

F(s)在s平面虚轴上存在极点，涉及两种情况0＜σ＜β和α＜σ＜0，首先通过部分分式展开，将F(s)在s平面虚轴上的极点分离出来，再进行分析和研究。

（1）若0＜σ＜β，则F(s)可写成：

由式（3）可知，将F(s)在s平面虚轴上的极点分离出来，使F1(s)的收敛域扩大，并且包含s平面的虚轴s=jΩ；F2(s)仅存在区左极点si(i=1，2，…，p1)，并且分布在s平面的虚轴上，即满足Re(si)=0(i=1，2，…，p1)。显然，若F(s)有p个区左极点，则F2(s)的p1(p1≤p) 个区左极点也是F(s)的区左极点，并且F2(s)对应的信号f2(t)为因果信号。

①若F(s)在s平面虚轴上仅存在区左单极点s=jΩi(i=1，2，…，p1)，则（3）可写成：

式中，系数Ai(i=1，2，…，p1) 可利用留数进行计算，即：

在式（4）中，将s用jΩ代换，则有：

对式（4）两边取逆LT，可得：

式中，ε(t)为单位阶跃信号。

由于：

对式（7）两边取CTFT，并考虑到式（8）、CTFT 的频移性质及式（6），则有：

式中，系数Ai(i=1，2，…，p1)利用式（5）进行计算。

②若F(s)在s平面虚轴上仅存在区左n(n≥2)重极点sl=jΩl，则式（3）可写成：

式中的系数Bk(k=1，2，…，n)可利用式（11）进行计算，即：

在式（10）中，将s用jΩ代换，则有：

对式（10）两边取逆LT，可得：

考虑到式（8）及CTFT 的频域微分性质，则有：

同理，可得：

对式（15）进行推广，并考虑到CTFT 的频移性质，可得LT 在s平面虚轴上具有n+1 重极点的因果信t号的频谱计算公式，即：

对式（13）两边取CTFT，并考虑到式（16）及F式（12），可得：

式中，系数Bk(k=1，2，…，n) 利用式（11）进行计算。

③若F(s)在s平面虚轴上既存在区左单极点si=jΩi(i=1，2，…，p1)，又存在区左n(n≥2)重极点sl=jΩl，则式（3）可写成：

同理，由式（18）可导出式（19），即：

式中，系数Ai(i=1，2，…，p1) 及Bk(k=1，2，…，n)分别利用式（5）及式（11）进行计算。（2）若α＜σ＜0，则F(s)可写成：

由式（20）可知，将F(s)在s平面虚轴上的极点分离出来，使F1(s)的收敛域扩大，并且包含s平面的虚轴s=jΩ；F2(s)仅存在区右极点se(e=1，2，…，q1)，并且分布在s平面的虚轴上，即满足Re(se)=0(e=1，2，…，q1)。显然，若F(s)有q个区右极点，则F2(s)的q1(q1≤q) 个区右极点也是F(s)的区右极点，并且F2(s)对应的信号f2(t)为反因果信号。

若F(s)在s平面虚轴上既存在区右单极点se=jΩe(e=1，2，…，q1)，又存在区右n(n≥2)重极点sr=jΩr，则式（20）可写成：

同理，由式（21）可导出式（22），即：

式中，系数Ae(e=1，2，…，q1)及Bm(m=1，2，…，n)分别用式（23）及式（24）进行计算，即：

1.3 若满足条件0＜α＜σ＜β

考虑到0＜α＜σ＜β，将F(s)展成部分分式时，则F1(s)中至少存在一项，其极点si成为F(s)的区左极点，并且满足Re[si]=σi=α＞0。考虑到Fi(s)对应的因果信号为fi(t)=Miesitε(t)，则有：

由式（25）表明，因果信号fi(t)不满足绝对可积条件。若令s=jΩ，则有：

由式（26）可知，Fi(jΩ)不存在，因此，F(jΩ)不存在。

1.4 若满足条件α＜σ＜β＜0

考虑到α＜σ＜β＜0，将F(s)展成部分分式时，则F2(s)中至少存在一项，其极点se成为F1(s)的区右极点，并且满足Re[se]=σe=β＜0。考虑到Fe(s)对应的反因果信号为，则有：

由式（27）表明，反因果信号fe(t)不满足绝对可积条件。若令s=jΩ，则有：

由式（28）可知，Fe(jΩ)不存在，因此，F(jΩ)不存在。

结论1：

若信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的收敛域，不包含s平面上的虚轴，并且虚轴也不是收敛域的边界，则信号f(t)的傅里叶变换F(jΩ)不存在。

2 由信号的CTFT 确定其LT

2.1 若F(jΩ)在s 平面虚轴s=jΩ 上解析

函数F(jΩ)在s平面虚轴s=jΩ上解析，表明了函数F(jΩ)在s平面虚轴s=jΩ上处处可导，并且函数F(jΩ)的导函数满足。因此，函数F(jΩ)在s平面虚轴s=jΩ上解析，意味着s平面上的虚轴s=jΩ应位于F(s)的收敛域α＜σ＜β之内，即α及β应满足α＜0＜β，当然可以直接将jΩ换成s，即：

当获得F(s)后，其收敛域，可用一个与虚轴重合，但能左右移动的直线搜索决定：往左碰到F(s)的第一个极点，就是收敛域的左边界σ=α，往右碰到F(s)的第一个极点，就是收敛域的右边界σ=β。

2.2 若F(jΩ)在s 平面虚轴s=jΩ 上不解析

因为函数F(jΩ)在s平面虚轴s=jΩ上 不 解析，所以虚轴s=jΩ应在F(s)的收敛域之外，不能直接将jΩ换成s。双边拉普拉斯变换F(s)有可能不存在，也可能存在，即使存在，虚轴s=jΩ将会是收敛域的边界，F(s)的收敛域可能形式为0＜σ＜β或α＜σ＜0。否则，连F(jΩ)都不存在。

首先通过部分分式展开，将F(jΩ)分成在s平面虚轴s=jΩ上解析的F3(jΩ)及在s平面虚轴s=jΩ上不解析的F4(jΩ)两部分，再进行分析和研究，即：

（1）若s平面虚轴s=jΩ上不解析的部分F4(jΩ)是由冲激函数及其导数构成

①当s平面虚轴s=jΩ上不解析的部分F4(jΩ)具有式（19）的形式时，则有：

②当s平面虚轴s=jΩ上不解析的部分F4(jΩ)具有式（22）的形式时，则有：

（2）若F(jΩ)仅存在s平面虚轴s=jΩ上不解析的部分，即F(jΩ)=F4(jΩ)，则F(s)不存在。

结论2：

由于直流信号、无时限复指数信号、周期信号、符号函数、San(Ωct)信号（其中，n为正整数）的傅里叶变换F(jΩ)，仅存在s平面虚轴s=jΩ上不解析的部分，即F(jΩ)=F4(jΩ)，因此，这些信号的双边拉普拉斯变换F(s)不存在。

3 应用举例

例3.1 已知信号f(t)的拉普拉斯变换为：

试求傅里叶变换F(jΩ)。

利用式（5）计算F(s)部分分式展开式中，区左单极点si(i=0，±1，±2，…)的系数Ai(i=0，±1，±2，…)，可得：

利用式（11）计算F(s)部分分式展开式中，区左n(n=4)重极点sl=0 的系数Bk(k=1，2，3，4)，即：

考虑到式（35），则有：

由式（34）可知，系数Ai(i=0，±1，±2，…)的下标取值范围为i=0，±1，±2，…，因此，需要对式（19）中的系数Ai(i=1，2，…，p1)的下标取值范围加以修正，即：

将式（33），系数Ai(i=0，±1，±2，…)、系数Bi(i=1，2，3，4) 及n=4 代入式（40），可得：

例3.2 已知信号f(t)的拉普拉斯变换为：

试求傅里叶变换F(jΩ)。

解 在式（42）中，令(s2+1)(s2+4)2=0，得到F(s)的区右单极点s1=j，s2=-j 和区右n(n=2) 重极点sr=2j，sk=-2j。

利用式（23）计算F(s)部分分式展开式中，区右单极点se(e=1，2)的系数Ae(e=1，2)，可得：

利用式（24）计算F(s)部分分式展开式中，区右n(n=2) 重极点sr=2j 的系数Bm(m=1，2)，即：

利用式（24）计算F(s)部分分式展开式中，区右n(n=2)重极点sk=jΩk=-2j 的系数Cm(m=1，2)，即：

考虑到式（48），则有：

考虑到sr=2j 和sk=-2j 均为F(s)的区右n(n=2) 重极点，对式（22）加以修正，则有：

将式（42），系数Ae(e=1，2)、系数Bm(m=1，2) 和系数Cm(m=1，2) 代入式（51），可得：

4 结语

本文基于分解的基本思路，将虚轴上具有重极点的LT 分解成虚轴上含极点和不含极点两部分之和，针对虚轴上含极点的LT 部分，分区左极点和区右极点两种情况，进行了深入研究，揭示了虚轴上仅存在区左重极点的因果信号的频谱计算公式；将信号的CTFT 分解成解析部分与不解析部分之和，对其不解析部分进行了详细讨论。不仅解决了虚轴上具有重极点的LT 与CTFT 的相互计算问题，而且还得到了一些有益的结论。