传统应用题教学之当代重建（下）

【摘要】传统应用题教学之当代重建（下）郑毓信（南京大学 哲学系，江苏南京 210093）[=]【摘 要】传统应用题教学之当代重建并非是相关传统的简单回归，而是如何能够依据数学教育目标的现代认识对此做出认真的总结与反思，并能通过新的研究做出进一步的发展。研究者以“努力提升学生的核心素养”作为分析的基本立足点，主张数学教育的主要任务是促进学生思维的发展，特别是帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能由“理性思维”逐步走向“理性精神”，从而真正成为一个具有高度自觉性的理性人。

【关键词】应用题教学;理性精神;数学教育;当代重建

（续上期）

三、应用题教学与学生思维品质之提升

前面已经提到，学习的程式化与机械化是传统应用题教学的又一常见弊病。但是，如果认定我们只需尽早引入代数方法就可解决这一问题，则是“看错了病，号错了脉”。因为，通过“列方程、解方程”解决问题事实上也是程序或算法的应用，如果学生缺乏足够的自觉性，就可能导致机械的学习，甚至更可能因此丧失促进学生思维发展的一个良好契机。

为了清楚地说明问题，在此还可特别提及这样两个事实：（1）代数方法的应用并不能被看成解决问题的“万能方法”。例如，有很多提前学习了方程方法的学生，在面对“面积问题”时仍然有较大困难，因为后者的求解往往需要用到“割补”等其他方法。（2）平面几何（“综合几何”）的学习也有很多难题，其中的一些如果用解析几何的方法求解则会变得比较容易，也即只需按照一定的程序或方法（代数化、方程化）就可获得解决③。那么，我们是否也应尽早离开“综合几何”去引入解析几何呢？应当指出的是，这事实上也正是数学教育改革运动经常提到的一个口号：“打倒欧几里得”。但是，中外的相关努力应当说又未能够都取得成功，从而也就使人们更清楚地认识到了这样一点：学习综合几何的目的不只是获得相关的知识，我们更不应以单纯的解决问题作为求解几何题的主要目的，而应清楚地看到其对于促进思维发展的重要作用④。

总之，我们应当超出单纯的问题求解并从更广泛的角度认识应用题教学的意义，也即应当通过应用题的教学努力促进学生思维的发展。

⑤ 由此可见，将应用题的教学归结为由“典型应用题”过渡到“复合应用题”，也只是抓住了其中的一方面。 应当强调的是，上述分析事实上也为我们应当如何开展解题策略的教学提供了重要启示。也就是说，我们应由唯一强调各种具体解题策略（更一般地说，是数学思维）的学习过渡到普遍性思维策略的學习与思维品质的提升。特别是，我们应努力帮助学生通过解决问题的具体实践逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能努力提升思维的综合（整体）性和灵活性、自觉性和创造性，等等。（当然，我们又不应将“具体解题策略的学习”与“普遍性思维策略的学习与思维品质的提升”绝对地对立起来，这即为我们改进教学指明了进一步的努力方向。）

以下围绕普遍性思维策略的学习与思维品质的提升，对我们应当如何从事应用题教学做出进一步的分析。

具体地说，应用题教学的深化决不应被理解成形式的变化，即如由所谓的“一步应用题”过渡到“多步应用题”，而主要是指“由简单走向复杂，化复杂为简单”。其中，后者不仅可以被看成数学发展的主要线索，也为学生具体学习各种解题策略特别是普遍性思维策略，包括努力提升思维的品质，提供了重要途径。

以下是这方面特别重要的几个环节。

第一，辨识与求变。

前一节中已经提到了题型的“辨识”对于解题活动的特殊重要性，但就大多数情况而言，我们显然不可能通过简单的问题辨识与相关方法或解题模式的直接应用就可顺利地解决问题，而必须针对具体情况做出适当的调整或变化。由此可见，对于这里所说的“辨识”我们应做更广义的理解，也即应当更加重视新问题与基本题型的对照比较，特别是要很好地弄清两者的同与不同，这样就可通过适当的变化去解决问题。

也正因如此，对于这里所说的“求变”，我们就不应混同于前面所提到的“变式理论”。因为，我们在此所关注的已不是如何能够通过引入更多的变式帮助学生很好地掌握相关的题型与解题方法，而是如何能够提高他们解决问题的能力，特别是思维的灵活性与创造性。例如，就“和差问题”的求解而言，学生往往首先需要依据题目中的条件求得所说的“和”与“差”，或是必须对已求得的结果做出一定调整才能最终解决问题。另外，问题中所涉及的未知数也可能不是两个而是增加到了三个或更多。

以下是更复杂的一些情况，如要求学生就某一特定情境自己去发现相应的条件或限制，或是通过若干基本题型的组合得出新的问题⑤。例如，面对“年龄问题”，我们不仅应帮助学生清楚地认识此类问题在很大程度上可看成“和差问题”“和倍问题”与“差倍问题”的变形，而且也应帮助他们很好地认识此类问题的特征：尽管其中所涉及的年龄处于不断变化中，但不同成员之间的年龄差又始终不变，这往往也是顺利解决“年龄问题”的关键。再例如，“水流问题”显然可被看成是由“和差问题”与“路程问题”组合而成，因为这正是此类问题的主要特征：船的顺水速度是船的静水速度与水流速度之和，其逆水速度则是两者之差。

总之，为了切实提高学生解决问题的能力，关键并不在于引入更多的题型，而是应当引导学生积极地进行思考，并能切实提升学生思维的灵活性和创造性。再者，上面的分析显然也可被看成这样一个原则的直接应用：“数学基本技能的学习，不应求全，而应求变”，尽管我们所关注的并非基本技能的学习，而是学生思维品质的提升，特别是，能够很好地掌握“求变”这样一个普遍性的思维策略。

第二，整体分析与序的把握。

这是面对复杂问题时应当特别重视的又一环节：相对于细节而言，我们应当更加重视整体的分析，包括确定解决问题的关键，并能按照合理的顺序一步一步地解决问题。

由法国著名科学家、数学家彭加莱的以下论述，我们可以清楚地认识到“整体分析”与“序的把握”两者之间的重要联系，以及这对于思维的清晰性和条理性的特殊重要性：“一个数学证明并不是若干三段论的简单并列，而是众多三段论在确定的序之中的安置。这种使元素得以安置其中的序要比元素本身重要得多。一旦我感觉到，也可以说，直觉到这个序，以致我一眼之下就领悟了整个推理，我就再也不必害怕会忘掉任何一个元素，因为每个元素都将在序中各得其所，而这是不需要我付出任何记忆上的努力的。”[9]

也正因如此，善于整体分析包括对序的很好把握，就应被看成又一重要的思维品质。进而，相对于这方面的专门教学而言，我们又应当更加重视这一思想在求解各类应用题时的具体应用。这显然是我们在开展“握手问题”等与排列、组合密切相关的问题，以及“一一列举”等解题策略的教学所应特别重视的一点，包括我们如何能很好地做到既无遗漏也无重复，既非杂乱无章也非琐碎、烦人。

在此，还应特别重视“几何图示”（“结构图”）的作用。例如，为了用图形表示出全部的解题过程，可以用“点”表示其中的已知及未知成分，用“线段”表示它们的联系。显然，按照这一做法，整个解题过程就被表示成了由已知点到未知点并由多条线段组成的一个几何图形，从而也就十分有益于解题者建立对于全部解题过程的整体性认识和直观把握。

以下是这方面的一个具体实例。

最后，依据上述分析，可更清楚地认识到这样一点：我们确实不应特别强调解题过程中究竟包括几个步骤，而应更加重视问题的整体把握与思维的条理性。

第三，由“解题策略”转向普遍性思维策略。

这是具体判断一个策略能否被看成普遍性思维策略的主要标准，即其是否具有超出数学的普遍意义。显然，就应用题的教学而言，这也意味着我们不应单纯地从解决问题这一角度去认识各个解题策略的作用，将它们看成纯粹的“解题术”，而应注意分析它们是否具有更广泛的意义。

例如，“画图”与“列表”显然可被看成两种具有广泛意义的普遍性方法。另外，我们也可从同一角度对“假设法”的教学做出更深入的分析。“假设法”是指，教学中我们应当更加突出“尝试与误差纠正（try and error）”这样一个方法。因为，后者相对于单纯的“假设”显然具有更普遍的意义，特别是在科学研究中具有广泛的应用。

⑥ 不难看出，上述分析对于“问题解决”也是基本适用的，而这事实上也正是国际上关于“问题解决”的一点共识：由于我们在此所面对的并非是简单的练习题（nonroutine problem），从而就必须通过各种相关的知识与技能的综合和创造性的应用去求得问题的解答。详见另著《问题解决与数学教育》，江苏教育出版社，1994，第40页。

再者，从更高的层次进行分析，我们又应当特别强调两种普遍性的思维策略：“联系的观点”与“变化的思想”。另外，在一些学者看来，对于“特殊化与一般化”，也应予以特别的重视。在笔者看来，教师也可联系自己的教学实践对此做出概括和总结。这直接关系到了这样一点，即我们能否在学生离开学校以后给他们留下一些具有普遍意义的东西。当然，为了实现这样一个目标，我们在教学中应始终坚持这样一点——“基本思想的学习，不应求全，而应求用”。

第四，突出数量关系的分析。

在此应再次强调一点，即应当将“数量关系的分析”很好地渗透、落实于应用题教学的全部过程之中。

还应强调的是，从上述角度我们也可更清楚地认识到“应用题”与一般所谓的“练习题”之间的重要区别。后者的反复演练主要是为了帮助学生很好地掌握相应的基本技能，包括养成较强的计算能力。也正因如此，就相应的教学工作而言，强调的往往是“程序性观念”，也即如何能够按照指定步骤快而准地进行计算从而获得所要求取的答案。与此相对照，应用题教学则具有不同的性质：此时我们并没有直接告诉学生应当通过哪些计算并按照怎样的顺序去求得答案，而是必须依靠他们自身的努力发现具体的解题途径。也正因如此，就应用题的求解而言，我们应特别关注问题中数量关系的分析，也即应当更加突出“结构性观念”。也就是说，对于应用题，尽管我们仍可区分出多种不同的类型，但是又必须通过问题中未知量与已知量之间关系（特別是等量关系）的分析发现具体的解题途径，而“快而准地进行计算”则已退居到了次要的地位。当然，应用题教学主要是为了促进学生思维的发展，而不只是学生计算能力的培养⑥。

最后，突出数量关系的分析也可被看成小学数学教学很好地渗透代数思想提供了一个很好的切入点。因为，后者并不应被理解成在小学尽早地去引入代数方法或其他一些明显属于代数范围的内容，而主要是指代数思想的渗透，“等量关系”（或者是“结构性观念”）则又正是后者十分重要的一个内涵。另外，这显然也为学生学习方程提供了重要基础。

第五，注重优化。

正如人们普遍认识到的，与知识的简单积累或不断纠错相比较，优化更应被看成数学学习的本质。而这又正是“通过数学学习努力优化思维”十分重要的一个含义，即思维品质的提升。特别是，学生如何能够逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，包括努力提升思维的综合（整体）和灵活性、自觉性和创造性，等等。

在此，还应特别强调一点（这也应成为应用题教学的一个重要目标）：努力帮助学生养成“长时间思考”与“反思”的习惯与能力。具体而言，由于无论是解题策略、方法的学习，或是思维品质的提升，往往都有一个较长的过程，因此在教学中我们应特别重视帮助学生逐步学会长时间的思考，包括努力创设必要的外部环境或课堂氛围，以及对学生的不同意见采取更加宽容与理解的态度，等等。更重要的是，我们还应努力使之成为学生的自觉行为，而不只是由于外部压力的被动行为。也正因如此，我们在教学中就应对于总结与反思予以特别的重视，包括从整体高度对已建立的知识做出必要的“再认识”。

显然，按照上述的要求，应用题教学将上升到一个更高的水平。当然，就这方面的具体工作而言，我们又应十分重视相应的教学行为对于学生的可接受性。

具体而言，笔者认为，小学中年段特别是四年级是开始应用题教学较为合适的一个时期。 但在做出相关努力的同时，我们又应特别重视学生兴趣的培养，而不要因为不适当地提高难度而使学生完全丧失了数学学习的兴趣。另一方面，这是学生成长更为合理的一个轨迹，从而也在很大程度上决定了基础教育阶段数学教育乃至一般教育所应实现的主要目标：习惯—兴趣—品质—精神。

笔者衷心希望能有更多教师积极投入此项工作，从而真正做好传统应用题教学的当代重建。

参考文献：

[1]唐彩斌.怎样教好数学：小学数学名家访谈录[M].北京：教育科学出版社，2013.

[2]郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J].数学教育学报，2016（3）：1-5.

[3]郑毓信.关于“问题解决”的再思考[J].数学传播，1996（4）：63-69.

[4]马云鹏，朱立明.从应用题到数量关系：小学数学问题解决能力培养的新思路[J].小学数学教师，2018（6）：4-7.

[5]波利亚.数学的发现：第一卷[M].刘静麟，曹之江，邹清莲，译.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1980.

[6]郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.

[7]张奠宙.张奠宙数学教育随想录集[M].上海：华东师范大学出版社，2013.

[8]顾亚龙.题组模块：给数学课堂以生成的力量[J].小学数学教师，2019（1）：34-40.

[9]彭加莱.科学的价值[M].李醒民，译.北京：光明日报出版社，1988.