一道数学分析课后习题的多种解法与解后思考

【摘要】分享一道数学分析课程习题的若干解法，并结合解题过程，阐述了解答一系列相关问题的想法.

【关键词】数学分析;习题课;一题多解;多题一解

【基金项目】成都师范学院校级教改一般项目（2020JG38）.

引 言

数学分析课程，即一门引导学生利用极限、微分、积分等概念工具分析函数特性的课程.数学分析是本科数学专业的核心主干课程之一.习题课即引导学生重新分析自己做过的课后习题，发现解题错误与漏洞，并重新给出正确完整解答的环节.与其他本科阶段的数学课程一样，数学分析的习题课教学目的任务集中，但是内容繁多，容易跌入教学效率低、课堂组织松散等困境.为成功“避开”这些教学困境，笔者发现选择一些相关度高的习题（甚至是例题）进行精讲、细讲是一条有效途径.本文旨在分享一系列相关且有极高教学价值的课后习题.这其中最经典的问题是：

讨论数项级数

∑∞n=1（n+2-2n+1+n）（*）

的收敛性.此题为华东师范大学数学系编撰的《数学分析：第四版》的第十二章第1节的课后习题第1题第（4）问.此题形式结构经典但不算复杂，难度适中，大部分学生经过思考能找到解答它的正确思路，能帮助缺乏解题经验的学生积累更多经验，能给解题经验丰富的学生带来“正反馈”.因此，级数（*）具有极高的教学研究价值.本文的结构安排是：先给出判定级数（*）收敛的几种方法，再结合解题过程与教学经验，分享笔者的若干教学思考.

一、判定级数（*）收敛的若干方法

方法1（按级数收敛的定义） 直接计算，可得

SymbolnB@得出级数收敛的结论，此类方法的优点是想法直接朴素，还可顺带看出级数的和，困难之处在于对部分数列而言，它们的部分和数列很难化简，从而很难判断出部分和数列是否发散.

方法2（比较判别法） 经计算，有

n+2-2n+1+n

=1n+2+n+1-1n+1+n=-2（n+n+1）（n+1+n+2）（n+2+n）.

借此可进一步得，n+2-2n+1+n<14nn.

因∑∞n=114nn收敛，故由比较判别法，级数（*）绝对收敛（更是收敛）.

SymbolnB@得出原级数收敛（发散）的结论.此类方法的困难之处在于找到合适的上界（下界）级数，缺点之一是（收敛的情形下）不能直接看出原级数的和，优点是一旦找到了合适的上界（下界）级数，上界（下界）级数的收敛性（发散性）很容易得到判定.

方法3（比较判别法） 经计算，有n+1-n=1n+1+n，12n+1

且12n+2

故0

因∑∞n=11nn收斂，故由比较判别法，级数（*）绝对收敛（更是收敛）.

注3 方法3与方法2本质想法一样，都是比较判别法.与方法2相比，方法3中的代数运算过程简洁，但是不等式放缩技术更加高明.比较这两种方法可以看出，在运用比较判别法讨论级数敛散性的过程中，上界级数或下界级数的选取方法并不唯一.另外，借助不等式放缩

1n-1n+2=1n+21+2n-1<2nn+2<2nn，

得到n+2-2n+1+n<2nn.这些不等式放缩经验实际上具有极大的启发意义.

方法4（比较判别法） 经计算，有

limn→∞|n+2-2n+1+n|1nn=limn→∞2nn（n+n+1）（n+1+n+2）（n+2+n）=14.

因∑∞n=11nn收敛，故由比较判别法（极限版本），级数（*）绝对收敛（更是收敛）.

SymbolnB@得出原级数的敛散性的结论.方法4与方法2，3有相似的困难，即找到合适的“参考级数”即∑∞n=11nn.方法4的优点之一是，不需要像方法2与3那样，借助巧妙的不等式放缩技术.在运用极限版本的比较判别法讨论级数（*）的敛散性的过程中，还可借助其他方法完成计算极限的环节.例如，借助Taylor公式，可得：当n→∞时，

n+2=n1+2n12=n1+1n-12n2+o1n2

=n+1n-12nn+o1nn，

n+1=n1+1n12

=n+12n-18nn+o1nn.

借此可得limn→∞|n+2-2n+1+n|1nn=14.

二、总结与解后反思

在上一部分内容中，给出了几种判定级数（*）收敛的方法.从结果可以看出，华东师范大学数学系编撰的《数学分析：第四版》上册的第二章总练习题第1题第（3）问的答案是limn→∞（n+2-2n+1+n）.还有一类题与级数（*）紧密相关但关联极其隐蔽.为方便阅读，首先写出下述结论：若函数f（x）在点x0处二阶可微，则limh→0f（x0+h）+f（x0-h）-2f（x0）h2=f″（x0）.借助这一结论，结合适当的整理变形，可得

n+2-2n+1+n

=n+11+1n+1-2+1-1n+1，

进一步可得

limn→∞1+1n+1-2+1-1n+11（n+1）2

=（x）″x=1=-14.

这一结果事实上加深了对级数（*）的认识.另外，通过这些分析还可发现，下册教材第2节课后习题第1题第（9）问，即判定∑∞n=1（a1n+a-1n-2）的敛散性，也与级数（*）紧密相关.本文给出的判定级数（*）收敛的方法对解答上册教材的第二章总练习题第8题第（3）问，即计算数列极限limn→∞[（n+1）α-nα]，上册教材第2节课后习题第1题第（4）问，即计算数列极限limn→∞（n2+n-n），上册教材第2节例5，即计算数列极限limn→∞n（n+1-n），都有极大的启发意义.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析：第四版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]王成强.探究式教学在数学分析复习课的应用[J].贵阳学院学报（自然科学版），2020，15（02）：96-99.