例析高中函数性质在解题中的活用

◇ 山东 甘德学

函数的单调性、周期性、奇偶性是高考的常考知识点.相关题型复杂多变,对学生的理解以及推理能力具有一定要求.要想正确解答,学生需深入理解性质的本质,掌握相关的推理技巧,做到活学活用.

1 借助函数性质比较大小

部分习题以抽象函数为背景,要求学生比较不同定义域中函数值的大小.解答该类习题需要运用函数的奇偶性,将不同的定义域转化至同一定义域中,而后利用函数的单调性直接比较自变量的大小即可.教学中可为学生讲解相关例题,使学生亲身感受函数性质在比较大小时的具体应用,为更好地解答类似问题带来良好指引.

例1已知定义在R上的偶函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)且在区间[－2,0]上为增函数,则下列不等式正确的是( ).

A.a＞b＞cB.b＞c＞a

C.b＞a＞cD.c＞a＞b

解析

因为函数y＝f(x)为定义在R上的偶函数且在[－2,0]上为增函数,因此,其在[0,2]上递减.又f(x＋2)＝－f(x),则－f(x＋2)＝f(x),令x＝x＋2代入得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x),则其周期为4.又因为,因此a,b,c的大小关系为b＞c＞a,故选B.

2 借助函数性质求和

一些函数题目要求学生根据所学知识求解多个函数值之和,解题时分别求出各个函数值进行相加通常是不现实的.该类习题通常需要找到函数的周期,通过计算一个周期内的函数值之和,再寻找多个函数值与周期之间的关系,使问题迎刃而解.教学中为提高学生解答该类问题的正确率,应优选经典例题,并为学生细致地讲解解题过程,使其能够巧妙运用函数的周期性、对称性等对问题进行巧妙转化.

例2定义在R上的函数f(x)的图象关于点f(0)＝－2,则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 008)的值为( ).

A.669 B.670 C.2 008 D.1

解析

3 借助函数性质估算

函数估算问题一般较为新颖,很多学生不知所措.事实上,该类习题考查的仍是学生学过的知识,解题的关键在于构建已知条件与要估算结果的联系.授课中教师应注重为学生讲解代表性较强的问题,启发学生对题干进行巧妙变形,以便更好地使用函数的奇偶性、单调性顺利解答.

例3已知函数f(x)＝x3＋x＋10,实数x1,x2,x3满足x1＋x2＜0,x2＋x3＜0,x3＋x1＜0,则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( ).

A.一定大于30 B.一定小于30

C.等于30 D.大于、小于30均有可能

解析

该题目较为抽象,看似无从下手,实际上考查的是函数的奇偶性与单调性.由条件可知f(x)－10＝x3＋x为单调递增的奇函数.

由x1＋x2＜0可知x1＜－x2,即f(x1)－10＜f(－x2)－10＝－f(x2)＋10,则f(x1)＋f(x2)＜20.同理可得f(x2)＋f(x3)＜20,f(x1)＋f(x3)＜20,则2[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)]＜60,即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜30,故选B.

函数性质是高中数学的重点知识,不同的性质表现形式多种多样,需要学生理解其本质,根据题目条件能够进行正确推理,搞清楚函数的周期性、单调性、奇偶性等,实现顺利解题.