巧消参,妙解题———参数方程中的消参策略

◇ 甘肃 林永强

化参数方程为普通方程是中学数学的一个难点,其基本破解的策略有代入消参、加减消参、平方消参、乘除消参、恒等消参、三角消参几类,根据不同类型选择相对应的消参策略是问题求解的关键.由于具体消参时涉及知识点多,又需要一定的运算技能和代数式变形的技巧,因而也是教学中的一个难点.下面针对几种常见的消参方法,结合对应的破解策略加以实例剖析.

1 代入消参

代入消参就是根据参数方程中的一个关系式,以参数来表示其中一个未知数,代入另一个关系式来达到消参的目的.

例1化参数方程为参数,且t≥0)为普通方程,并说明方程的曲线是什么图形.

解析

由于y＝t＋1,而t≥0,则有y≥1.由y＝t＋1得t＝y－1,代入x＝－4t2可得x＝－4(y－1)2(y≥1),整理得方程的曲线是顶点为(0,1)、对称轴平行于x轴、开口向左的抛物线的上半部分.

点评

代入消参是常见的消参方法之一,这类问题比较简单,但是要注意运算的正确性以及参数与变量的取值范围的确定,以及一些条件的限制等.

2 乘除消参

乘除消参就是根据参数方程进行合理的乘或除运算,转化参数关系式,再利用代入消参来达到消参的目的.

例2把参数方程(k为参数)化为普通方程,并说明它是什么曲线.

解析当x≠0时,两式相除可得代入,整理可得x2－y2－4y＝0(x≠0).

当x＝0时,则k＝0,此时y＝0,显然点(0,0)在曲线x2－y2－4y＝0上.

点评

当参数不方便分离出来时,可以考虑整体思维,通过整体间的乘除消参来解决相关问题.在乘除消参中,要重点注意自变量的取值范围.

3 三角消参

三角消参就是根据参数方程中的三角关系式加以合理变化与处理,从而得以“金蝉脱壳”,达到消参的目的.

例3试化参数方程为参数)为普通方程.

解析

点评

对于以角为参数的参数方程,在化为普通方程时,通常考虑运用三角恒等变换公式加以消参数,注意三角函数同角公式变形以及对应三角函数值的取值限制等.

总之,消去参数的具体方法要根据参数方程的特点来加以综合考虑,关键就是简单、巧妙.一般来说,当f(t)和g(t)都是多项式时,常采用有关代数方法来消参,当f(t)和g(t)都是三角函数时,常借助三角恒等式等有关三角方法来消参,同时还要注意整体思想的应用.