古典概率计算中常见的错误分析

肖红梅

【摘要】古典概率是概率学的重要组成部分，对古典概率的学习主要是关于它的计算问题，古典概型的计算问题在中学时期就已经出现.本文主要针对学生在古典概率计算中的易错点，进行错误分析，找到学生出问题的地方，希望对学生在古典概率的学习上能够有所帮助.

【关键词】古典概率;样本空间;等可能;随机事件

高中教科书中关于概率计算的问题包括两个部分，分别是古典概率与几何概率.本文主要通过列举实际的古典概率的计算问题，来对古典概率计算中常见的几个错误进行具体分析.

一、古典概率的定义与公式

对古典概率，首先是在假设随机现象所能发生的事件是有限的、互不相容的，并且是在每个基本事件发生的可能性相等的前提下进行的.事实上，古典概率的假想世界是不存在的.一般地，设在所有可能出现的基本事件范围内构成事件A的基本事件有N（A）个，总的基本事件个数是M，则出现事件A的概率是P（A）=N（A）M，这就是古典概率的计算公式，接下来我们通过几道经典的习题来分析一下学生常常出错的地方.

二、样本空间的选择错误

（一）基本事件数与基本事件总数不属于同一样本空间

在古典概率的计算公式P（A）=N（A）M中，N（A），M分别是一个样本空间中的事件A所含的基本事件数与基本事件总数，公式要求构成A的基本事件个数N（A）与基本事件总数M要属于同一个样本空间，如果N（A），M在两个不同的样本空间，那么就会产生错误，为了便于我们的理解，来看下面两道例题.

例1 某商店有24只灯泡，其中有4只是劣品，其余灯泡均可以正常发光，商店老板在这些灯泡中每次任取1只，取完后不放回，连续取3次，问取出的灯泡中恰好有一个是劣品的概率P（A）.

錯解分析 情况一：因为灯泡是一个一个取出来的，所以所有可能的取法与3次取得的顺序是有关联的，所以总的样本空间为Ω1=P324，由此就得到了错误答案：P（A）=C14C220P324.

情况二：因为求的是取出来的3只灯泡中只有1只是劣品的概率，而不关心是哪一次取出来的，所以就没有顺序问题，总的样本空间为Ω2=C324，由此得到错误答案P（A）=P13（C14C220）C324.

此题的样本空间有两种取法，分别是有序与无序.产生这两种错误情况的原因是分子与分母分别在两个不同的样本空间中，也就是分子与分母的计算方法不同，导致出错.

正确解答 此题的正确答案为P（A）=P13（C14C220）P324（有序）或P（A）=C14C220C324（无序）.

（二）样本空间中的样本点不是等可能的

古典概率的定义规定了古典概率要在假设事件发生的结果是有限的、等可能的前提下进行的，如果忽略这一点就会得到错误答案.所以学生在做题时一定要注意，所选择的样本空间的样本点一定是等可能的.

例2 某人一次掷两个骰子，求此人掷出的骰子数之和是偶数的概率P（A）.

错解分析 学生可能认为一次试验后所有可能的结果有三种，分别是骰子数全部是奇数、全部是偶数和一奇一偶，由此得到错解P（A）=23.事实上，骰子数全为奇数、全为偶数和一奇一偶三种基本事件发生不是等可能的，全为奇数和全为偶数的概率都是14，而出现一奇一偶的概率是12，不符合古典概率的假设条件，所以就不能再运用古典概率的公式来解答，因此，导致出现错误.

正确解答 记（a，b）为一次掷两个骰子的结果，其中a代表第一个骰子出现的点数，b代表第二个骰子出现的点数，a或b可取的值为1，2，…，6，所以基本事件空间为6×6=36，事件A所包含的基本事件数为3×3+3×3=18，由此所求概率P（A）=1836=12.

三、常用的术语理解错误

学生在学习古典概率问题时，经常会遇到“至多”“至少”“不少于”“不超过”“都”“不都”“都不”“才是”等术语，这些词都是解决问题的关键，只有正确地把握住这些词的语境，才能将题目做正确.

例3 口袋中一共有10个球，其中白球8个，黑球2个，从中依次不放回地取出3个球，求第三个球是黑球的概率P（A）.

错解分析 通过审题可以知道要从口袋中依次不放回地取出3个球，所以与取球的先后顺序有关联，因此，总的事件空间为M=P310，但如果不能很好地理解此题中的关键词，就很容易理解成就第三个球是黑球，导致出错，得到错误答案P（A）=C12P28P310.

正确答案 第三个球是黑球的取法有C12种，而第一、二个球要从剩下的9个球中去取，所以可能的取法有P29种，因此，得到正确答案P（A）=C12P29P310.

四、概念混淆错误

学生在刚接触概率时，常常会把“频率”当作“概率”来进行计算，导致出错.频率是在多次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，概率是某一事件所固有的性质.频率是变化的，概率是稳定值，不变的.

例4 抛三次硬币，求只出现两次正面的概率P（A）.

错解分析 审完题之后很多人可能认为进行三次试验，有两次试验是正面，所以就会得到错误答案P（A）=23，这是因为做题者误将频率当成了概率.

正确答案 抛三次硬币，总的基本事件空间Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，共8个基本事件，事件A={（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}，共3个基本事件，所以由古典概率计算公式可知P（A）=38.

五、小 结

通过以上的错误分析，可以知道，我们在处理古典概率的计算问题时，可以从以上几个方面进行着手，做题并检验.值得注意的是本文提到的这几个错误，仅仅是学生在古典概率计算中常见的出错点，并不代表全部，所以在遇到具体问题时，我们要进行具体分析.

【参考文献】

[1]贾明斌，颜景佐.古典概率计算问题中的常见错误分析[J].山东电大学报，2005（1）：59-60.

[2]赵曹荣.概率计算中的常见错误及错因分析[J].中国数学月刊，2008（9）：46-47.

[3]刘金.古典概型计算中的常见错误及分析[J].数学通讯，2008（14）：34-35.

[4]易同茂.古典概率计算中常出现的错误及分析[J].长江工程职业技术学院学报，1998（3）：34-35.