全概率公式的推广与应用

李城雄

摘 要：全概率公式作为概率论里面最重要的公式之一，也是概率论里面的一个重难点，是条件概率公式、概率的加法公式以及乘法公式的集合运用体现，主要通过已知的简单事件概率去推算未知的复杂事件概率，将复杂的概率问题进行简单化处理，减少了计算的难度，加快了信息处理速度，符合现代社会的需求，具有很强的适用性，运用广泛。本文将全概率公式分为了离散型全概率公式与连续型全概率公式，列举了三种解全概率公式的方法和三种全概率公式推广形式，通过大量的例题，生动形象的演示了如何利用全概率公式去解决实际生产生活中遇到的复杂概率问题。

关键词：全概率公式；完备事件组；样本空间；

但是在实际生活中，许多需要运用全概率公式计算的问题并不完全具备这三个条件，针对这种情况就需要我们活学活用，因此也诞生了一些全概率公式的推广形式，这些全概率公式推广形式的出现使得全概率公式的使用范围进一步扩大，增强了全概率公式的适用性。

全概率公式推广形式一

已知样本空间Ω中有一个事件组A1，A2，…，An，它具备以下三个条件：

（1）将样本空间Ω划分为n个部分，即A1 ∪A2 ∪…∪An =Ω；

（2）A1，A2，…，An并不是互不相容，但是满足条件：

P（Ai Aj ）=0，i≠j；

（3）P（Ai ）>0，i=1，2，…，n；

则对于任意一个事件B来说，有

证明：由条件（1）知道 A1∪A2∪…∪An =Ω，即

所以

由条件（2）知道A1 ，A2，…，An 并不是互不相容，但是

P（Ai Aj ）=0，i≠j；

所以

P（BAi Aj ）=0，…，P（BA1 A2…An ）=0；

所以根据概率的加法公式可以得到

所以

根据上面的证明可以知道，在生活中遇到的求全概率问题，如果问题中一系列事件A1，A2，…，An并不是互不相容，但是P（Ai Aj ）=0，则还是可以用全概率公式进行计算的。

全概率公式推广形式二

已知样本空间Ω中有一个事件组A1，A2，…，An，它具备以下三个条件：

（1）A1，A2，…，An互不相容；

（2） A1 ∪A2 ∪…∪An =α，α∈Ω且α≠Ω，即事件組A1，A2，…，An只占了样本空间Ω的一部分，现在添加另一个事件组C1，C2，…，Cn，则刚好与A1，A2，…，An构成了样本空间Ω；

（3）P（Ai ）>0，i=1，2，…，n ；

如果P（B│Cj ）=0，j=1，2，…，n，则对于任意一个事件B有：

证明：由上面的条件（2）可知

所以

[10]

而上面题目中给出了P（B│Cj ）=0，j=1，2，…，n，

所以