假设检验中单边检验和双边检验的区别解析

徐红霞 范国良

【摘要】本文首先介绍三种最基本的假设检验，进而引出了容易引起学生混淆的假设检验，通过从不同角度进行分析，得出这种假设检验的判断方法并将这种检验问题进行归类，最后通过例题进行演示说明.

【关键词】假设检验;拒绝域;显著性水平;正态分布

【基金项目】国家自然科学基金（11401006）.

假设检验是推断统计的内容之一，它是在一定的假设条件下，由样本推断总体的一种统计推断方法.它可用来判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起的还是本质差别造成的.在实际应用中会遇到总体的分布函数完全未知或只知总体分布函数的形式但不知其参数的情形，为了得到总体的某些性质，人们会对总体的分布形式提出某些假设，然后利用样本信息，对所提假设做出接受或拒绝的结论性判断.假设检验的步骤依次是：（1）根据问题的需要对所要研究的总体做出某种假设，称之为原假设，记作H0;（2）选取恰当的统计量，要使得在原假设H0成立的条件下，该统计量的分布为已知的;（3）给定显著性水平α，确定拒绝域;（4）由样本计算出检验统计量的值;（5）根据检验统计量的值是否落入拒绝域，做出拒绝或接受原假设H0的统计决策.需要说明的是，用样本信息估计总体信息，其结论并非完全可靠，还需要进行进一步的检验.

众所周知，正态分布是一种常用的分布，且应用普遍，关于它的两个参数的假设检验问题是实际中经常遇到的问题，以下我们以单个正态总体N（μ，σ2）的参数检验为例.我们知道，关于均值μ可以提出如下几种常见的假设检验问题[1]：

Ⅰ双边假设检验 H0：μ=μ0 vs H1：μ≠μ0;

Ⅱ右边假设检验 H0：μ≤μ0 vs H1：μ>μ0;

Ⅲ左边假设检验 H0：μ≥μ0 vs H1：μ<μ0.

其中μ0表示某个已知数.

Ⅰ之所以称为双边假设检验，是因为备择假设H1分布在原假设H0的两侧，Ⅱ是备择假设H1分布在原假设H0的右侧，故Ⅱ称作右边假设检验;Ⅲ是备择假设H1分布在原假设H0的左侧，称作左边假设检验.在检验过程中，由于某些技术上的原因，H0与H1的地位是不平等的.客观上，H0受到保护，故在处理具体问题时，通常把需要着重考查的、比较稳定的、保守的假设作为原假设.

我们在实际问题中会碰到如下关于均值μ的检验：

Ⅳ H0：μ=μ0 vs H1：μ>μ0.

此时，有两个问题值得思考：（1）这种检验是右边检验吗？（2）如果看成双边检验，结论会变化吗？下面我们从三个角度来分析（1）.假定σ2已知，且在原假设H0为真时，检验统计量服从标准正态分布.首先，按前面给出的双边和单边检验的定义，由于Ⅳ的备择假设分布在原假设的右边，故Ⅳ应是右边检验.其次，从直观上来说，对检验Ⅳ，如果依据拒绝域W={u≥u1-α}做出拒绝原假设H0：μ=μ0的决定，则更应该拒绝H0：μ≤μ0.事实上，显著性水平α的确定就是在μ≤μ0的范围内最不容易拒绝的μ0点处计算得到的.故检验：

Ⅳ H0：μ=μ0 vs H1：μ>μ0

与检验：

Ⅱ H0：μ≤μ0 vs H1：μ>μ0

是等价的，即给定显著性水平α，在犯第一类错误的概率不超过α的意义下，两者的拒绝域相同，Ⅳ应是右边检验.最后，检验问题Ⅳ与Ⅱ的备择假设相同，且Ⅳ的原假设是Ⅱ的原假设的子集，由于此时u检验的势函数是μ的单调增函数，检验问题Ⅳ的显著性水平为α的检验与检验问题Ⅱ的显著性水平为α的检验是相同的，故拒绝域也相同，Ⅳ应归结为右边检验Ⅱ.对于（2），如果将Ⅳ看成双边假设检验的话，则相当于扩大了拒绝域的范围.

下面来看一个具体的例题，我们分别用右边检验和双边检验来解决，看看结论会是怎样一个结果.

例[2] 从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm）分别为：

100.36 100.31 99.99 100.11 100.64

100.85 99.42 99.91 99.35 100.10

设这批钢管内径服从正态分布N（μ，σ2），σ=0.5，试检验假设（α=0.05）：

H0：μ=100 vs H1：μ>100.

解 （法一）由于备择假设H1在原假设H0的右边，故该假设检验是右边假设检验.由于σ=0.5，采用u检验，拒绝域为{u≥u1-α}，检验统计量为u=x-μ0σn，α=0.05，查表知u0.95=1645，由样本数据计算得x=100104，u=10（100.104-100）0.5≈0.6578，检验统计量未落入拒绝域，故接受原假设.

（法二）如果看成双边假设检验，即备择假设H1是假设μ≠100的子集，其拒绝域为{|u|≥u1-α2}，检验统计量为u=x-μ0σn，α=0.05，查表知u0.975=1.96，经过计算得u=10（100.104-100）0.5≈0.6578，检验统计量未落入拒绝域，故接受原假设.

从该例题可以看出，即使将右边假设检验看成双边假设检验，其结论也是一样的.故碰到Ⅳ这种类型的假设检验，可归入假设检验Ⅱ.

【参考文献】

[1]陈振龙，陈宜治，龚小庆.概率论与数理统计[M].杭州：浙江工商大學出版社，2016.

[2]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.