两个数字特征的教学探讨

张聪 孙莉敏

【摘要】本文从样本出发，通过绘制散点图的方式，对样本峰度和样本协方差的统计意义进行讨论，最终达到理解总体峰度和协方差的目的.

【关键词】峰度;相关系数;Matlab;教学探讨

【 基金项目】河南省教师教育课程改革研究项目2017-JSJYZD-068;信阳学院校级教育教学改革项目2018ZJG02.

数学定义是深入学习数学理论的基础，对进一步理解数学概念的内涵和外延，形成严密的数学思维，扎实推理能力起着关键作用.峰度和协方差是概率论中两个重要的数字特征，在医学影像、信号处理、金融工程中有广泛应用.如果学生没有对定义本身深刻的认识，何谈应用概率思想和统计手段解决实际问题.

现有的概率统计教材中，借助矩来定义方差和偏度，有效刻画了“波动”和“偏离”的含义，使其定义清晰易懂.但对峰度和协方差，为什么借助于二阶混合中心距和四阶中心矩来定义，这是教学过程中的一个盲点，且几乎没有教材展开相关的讨论.课堂教学如果仅仅在给出公式后提供两个例子计算了事，显然达不到良好的教学效果.

本文计划从一组样本出发，借助数学软件，讨论样本的峰度、协方差，直观展示上述数字特征的统计意义，进而帮助学生理解总体数字特征的含义.

一、峰度的含义

随机变量（总体）X峰度的定义为

K=E（X-E（X））4[E（X-E（X））2]2-3.

设x1，x2，…，xn是来自总体X的样本，若记x=1n∑ni=1xi，v4n=1n∑ni=1（xi-x）4，v2n=1n∑ni=1（xi-x）2，

则样本峰度可以定义为

kn=v4n（v2n）2-3=n∑ni=1（xi-x）4∑ni=1（xi-x）22-3.

若将X的观测值从小到大排列后得到

x1=-0.5，x2=-0.4，x3=-0.3，x4=-0.2，x5=-0.1，x6=0.1，x7=0.2，x8=0.3，x9=0.4，x10=0.5，

绘制散点图1-1.

为讨论方便，这里添加的数据x11=-1，x12=1关于原始样本的均值0对称，绘制图1-2.对比图1-1和图1-2可知，所添加的数据x11，x12，明显偏离了原始数据这个“群”，数据添加后，样本数据的离群程度从k10=-1.3818变大到k12=-0.2581.进一步，在均值附近添加x13=-005，x14=0.05后，x11，x12相对x1，x2，…，x14这个数据“群”的偏离程度更大且样本峰度从k12=-0.2581增大到k14=0.1886.在此基础上，继续添加x15=-0.01，x16=001后，x11，x12相对x1，x2，…，x16这个数据“群”的偏离程度再次加大且样本峰度从k14=0.1886增大到k16=0.6436.

从上述演变过程，学生可以清晰地观察样本数据对样本峰度的影响——在均值附近x13，x14或无穷远（为作图方便，我们取了离群较远的孤立数据x11，x12）处添加数据，可以增加样本峰度.注意到，我们所添加的数据x11，…，x16是带有随机性的，图1-3和圖1-4表明总体X在0的附近取值的可能性较大（尖峰情形）;图1-2表明总体在无穷处也有取值可能（重尾情形）.样本峰度kn作为总体峰度K的近似，学生就很容易通过直观观察，理解总体峰度K是刻画峰值位置尖峭性和尾部粗细程度的一个特征数.

二、相关系数的含义

随机变量（X，Y）的协方差通常定义为

Cov（X，Y）=E（X-EX）（Y-EY）.

设（xi，yi），i=1，2，…，n是来自（X，Y）的一组样本，若记x=1n∑ni=1xi，y=1n∑ni=1yi，则样本协方差为

cn=1n∑ni=1（xi-x）（yi-y）.

若将（X，Y）视为二维平面上的随机点对，考虑如下一组数据（0.2，2.2），（0.6，2.6），（0.9，3.8），（1.5，4），（1.8，5.5），（2.2，6.3），（2.9，7.6），（3.1，7.3），（3.8，8.9），（39，9.1），（4.2，10），（5，11.1），且x≈2.51，y≈6.53.

绘制散点图2，利用x和y将平面分为四个区域，不妨记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ.容易发现，绝大部分数据落在了Ⅰ，Ⅲ两个区域，此时（xi-x）>0，（yi-y）>0，cn=4095.这表明，cn>0时，X取值增大的同时，Y的趋势有增大的趋势，即X与Y正相关.类似地，可以给学生展示大部分数据落入Ⅱ，Ⅳ区域时，cn<0，X与Y负相关.由此，我们发现协方差是刻画两个随机变量关联程度的一个量.

三、结 论

我们以峰度和协方差为例，探讨了如何应用数学软件直观展示抽象定义的含义和本质.学生不再需要死记硬背抽象的定义式，研究内容一目了然.教学过程中，体现了学生的主体作用，充分调动学生的积极性，在观察发现随机变量的统计规律的同时，深刻理解了定义本身，课堂内容也更形象生动.

【参考文献】

[1]张微.对数学定义教学的一点思考[J].现代教育科学.2012（12）：152-153.

[2]张萍.均值-方差-峰度资产组合优化模型[J].科学技术与工程.2008（1）：16-20.