重构具有“生长力”概念课堂的实践

【摘要】本文以“倍的认识”概念教学为例，论述小学数学教师在概念教学中让学生不断获得发展的途径，认为教师应以学生发展为本，立足概念教学，设计合理的教学活动，让学生在自主学习、共同探究、互教互学中建构概念。

【关键词】概念教学 生长的力量 小学数学 倍的认识

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）45-0052-05

《倍的认识》这节课是在学生学习了除法的意义以及表内乘除法基础上的进一步教学。在小学数学概念中，“倍”是一个抽象且重要的概念，理解并掌握“倍”的概念，有利于学生解决生活中的一些实际问题，也为学生后续学习分数、比例等知识奠定基础。三年级的学生以具体形象思维为主，他们凭借已有知识经验对抽象的“倍”的概念的理解往往是模糊不清的。本文笔者以学生学习本课之前的知识经验基础、打破传统的说教概念课堂为切入点展开研究，建构具有“生长力”的概念课堂，让学生通过亲身经历概念形成的过程，对“倍”有完整认知，以此促进学生思维“成长”。

一、课前调研，质疑分析——课堂前测

为了了解学生对“倍”的概念是否理解、是否知道“倍”是表示两者之间的关系，笔者在课前对学生进行了前测。结果显示，95.6%的学生认为自己在生活中认识“倍”，但在表述心中的“倍”时，只有22.2%的学生能用“谁是谁的几倍”的句式来表述自己知道的“倍”;有11.1%的学生能用“谁是多少，谁是多少，谁就是谁的几倍”的句式表述“倍”;其余学生的表述不是很清楚，有些学生甚至表述错误。由此看来，学生在生活中认识的“倍”与数学中的“倍”还是有差距的。在第二题“圈一圈，填一填”中，受相差关系的影响，有26.7%的学生认为橘子比苹果多6倍。在第三题“画一画”中，有26.7%的学生把“正方形的个数是三角形个数的4倍”理解成“正方形的个数比三角形的个数多4个”，所以画了6个正方形，还有17.8%的学生画了4个正方形。由此可见，学生对“倍”的概念没有太多的认知和感受，对“倍”的概念认识模糊不清。学生的已有认知与“倍”的概念之间出现了知识“断层”。

二、教材解读，沟通联系——内容整合

“倍”是一个比较抽象的概念，学生学习“倍”要经历认知结构上的转变，从原先两个量之间的“差比”结构转变为“倍比”结构。改变原有的认知结构是学生学习上的难点。为了优化“倍”的教学结构，笔者选取了北师大版、人教版、苏教版、浙教版四个版本的教材，分析不同教材的编排有哪些异同，从中获得启示与思考，进而在教学中完善学生对“倍”的认知。

北师大版教材以“快乐的动物”为情境，抓住动物数量之间的比较，通过画一画、圈一圈、认一认、填一填等活动，把3只小猴圈在一起看作一份，小鸭有6只，可以圈2份，用除法表示6÷3=2，6里面有2个3，就说小鸭的只数是小猴的2倍。

苏教版教材以“小朋友数花”为情境，通过问题“你能比一比这三种花的朵数吗”展开教学。教材先采用学生以前学过的“比多比少”的方法进行比较，接着通过圈一圈，用“倍比”的方法进行比较，得出黄花的朵数是蓝花的3倍。

人教版教材以“小兔子数萝卜”为情境，先数一数，接着圈一圈，把2根胡萝卜看作1份，红萝卜可以圈这样的3份，红萝卜的根数里包含3个2，就说红萝卜的数量是胡萝卜的3倍;白萝卜可以圈这样的5份，白萝卜的根数里包含5个2，就说白萝卜的数量是胡萝卜的5倍。

浙教版教材以“游艺室里挂气球”为情境，把2个红气球看作一份，蓝气球有这样的3份，我们就说蓝气球的个数是红气球的3倍。接着教材还通过不同的挂气球方式来呈现“标准量”“比较量”“倍数”之间变与不变的关系。

（一）四个版本教材编排异同

四个版本的教材都没有直接给“倍”下定义，而是创设具体的情境，利用几何直观，通过数一数、圈一圈等操作活动将新知“嫁接”在原先“几个几”和“份数”的基础上，帮助学生建构对“倍”的含义的认知。

北师大版教材将“倍”与“除法”建立联系，除法不仅可以表示平均分，还可以表示两个数量之间的“倍”数关系;苏教版教材呈现了两种比较的方法，通过比较让学生在認知结构上发生改变，学生对两个数量的比较的认知从原先的“差比”过渡到“倍比”。人教版和浙教版教材都没有呈现差比关系，而是在“几个几”和“份数”的认知基础上让学生理解“倍”的含义，教材没有很好地体现“‘倍表示的是两个量的比较关系”这一知识点。浙教版教材通过挂气球个数的变化，呈现了“标准量”“比较量”“倍数”之间的变化关系。

（二）启示与思考

1.立足经验

《义务教育数学课程标准》（2011年版）明确指出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。”教师应根据教材内容关注学生现有的知识发展水平，立足学生已有的知识和生活经验。通过创设具体生动的生活情境，将“倍”的知识嫁接在原有“几个几”和“份数”的认知基础上，让学生在积极地探究活动中理解“倍”的内涵。

2.注重操作

“倍”是一个比较抽象的概念，三年级的学生以具体形象思维为主，理解抽象的概念存在一定的困难。为了帮助学生完善认知，有效建构“倍”的模型，教师在教学中要注重让学生操作，可以通过圈一圈、摆一摆、画一画等活动，让学生在活动中完成对“倍”的认知。

3.渗透思想

为了让学生理解“倍”的本质含义，教师可以通过数量的增减变化，让学生在变化中找不变，在不变中找变化。例如：“标准量不变，比较量变了，倍数也变了”“标准量变了，比较量变了，倍数却不变”“标准量变了，比较量不变，倍数变了”，通过上述三种变化活动，让学生体会“变”与“不变”的函数思想。

4.沟通联系

“倍”不是一个数，它表示的是两个数量之间的一种关系。从原先的“差比”关系到本节课的“倍比”关系，知识结构发生了改变，所以学生的认知也发生了改变。为了突破学生的认知冲突，教学要加强前后概念间的沟通与联系，以便完善学生对“倍”的知识建构。

三、经验改造，重构课堂——教学实践

笔者根据各版本教材的优缺点，重新设计了教学方案（如图2所示）。

（一）经验入手，引入“倍”的学习

教学要以生为本，关注学生已有的生活经验和知识经验。在学习本节课之前，学生对“倍”不是一无所知，他们在生活中看到过也听说过“倍”，教师可让学生说一说他们心中的“倍”，进而在原先“差比”关系认知冲突中，引出“倍比”关系。

【片段1】说一说：了解学生“已知的倍”

师：大家听说过“倍”吗？说说你心中认识的“倍”。

生1：我妈妈叫我加倍学习，期末给我奖励。

生2：我在电视上看到“产值翻倍增长”。“倍”就是很多的意思。

生3：爸爸的年龄是我的4倍。

师：你能解释一下这句话的意思吗？

生3：爸爸的年龄比我大4倍。

师：他理解的“倍”对吗？有不同的想法吗？

……

师：刚才同学们都分享了生活中自己所理解的“倍”，那数学中的“倍”又是怎样的呢？

【片段2】比一比：从“差比”关系过渡到“倍比”关系

师：湖边来了一群可爱的小动物。（教师通过电脑出示图片）有多少只小动物呢？请你数一数。

（学生说，教师板书）

师：谁来比一比小松鼠和小鸡的只数？

生1：小鸡比小松鼠多6只。

生2：小松鼠比小鸡少6只。

师：是的，我们在二年级时学过比多比少，我们可以用比多比少的方法对两个量进行比较。

师：我们还可以用其他的方法进行比较吗？

（学生沉默）

师（提示）：我们还可以用倍的方法进行比较。

师：今天这节课，咱们就一起来研究有关“倍”的知识。

（教师板书课题：“倍”的认识）

（二）操作感悟，建构“倍”的模型

虽然学生在生活中对“倍”有所了解，但他们对概念的理解是模糊的。本节课是学生第一次学习“倍”，也是学生认知上的一次改变。所以，教师在教学中可以借助“比一比，说一说”“圈一圈，填一填”“想一想，摆一摆”等操作活动，让抽象的“倍”在具体的活动中变为形象可感知的概念，使学生通过活动体验建构“倍”的模型。

1.比一比，说一说

语言是思维的外壳，笔者通过具体的例子让学生用语言表述“倍”的概念，对“倍”有一个初步的感知。

【片段3】

师：我们用倍的方法比一比，小松鼠的只数是小鸡的只数的几倍呢？

师：如果把3只松鼠看作一份，小鸡可以平均分成这样的几份？

生：小鸡可以平均分成3份。

师：小鸡的只数有小松鼠这样的几份？

生：小鸡的只数有小松鼠这样的3份。

师：所以我们可以说，小鸡的只数是小松鼠的3倍。

师：谁能像老师刚才说的这样再来说一说。

……

2.圈一圈，填一填

学生通过具体活动理解“倍”的本质内涵，即通过“圈一圈，填一填”活动，能明确“以谁为标准”，建立1倍数的概念，形象地感知“几份数”，理解“一个数里面包含几个几，这个数就是另一个数的几倍”。

【片段4】

师（提问）：猴子的只数是孔雀的几倍？

（练后反馈）

师：把谁看作1份？

生：把2只孔雀看作1份。

师：小猴的只数是孔雀的几倍？

生：小猴的只数是孔雀的3倍。

师：你是怎么想的？

生：小猴有6只，2只1倍，2只1倍，6里面有3个2，所以小猴的只数是孔雀的3倍。

[教师板书：6里面有（3）个2，所以6是2的（3）倍]

3.想一想，摆一摆

通过“比一比，说一说”，学生理解了“倍”的表象，通過“圈一圈，填一填”，学生对“倍”的内涵有了进一步的理解，接着笔者创设了四次摆卡片活动，使学生明白标准量1份数的重要性。在摆一摆中，学生感知1倍数、几倍数、倍数三者之间的变与不变的关系，从而对“倍”有一个完整的认知。

【片段5】

师：调皮的小动物们欢快地嬉戏着，小鸭子和小猴子陆陆续续地来了一只又一只，老师将他们的只数用表格做了记录。请你用学具摆一摆，每一次猴子的只数是鸭子的几倍？

师：仔细观察表格，你发现了什么？

师（提示）：观察上下两行鸭子和猴子的数量，以及它们之间的倍数关系，想一想什么变了、什么没变，请你任意选择两行比一比。可以跟你的同桌交流一下。

（学生同桌交流）

师：谁先来说说你的想法？

生1：第一次和第二次，鸭子的只数没变，猴子的只数变了，倍数变了。

师（追问）：鸭子只数没变，为什么这个倍数会变了呢？

生1：因为第一次6里面包含3个2，第二次8里面包含4个2，所以它们的倍数会不一样。

生2：虽然鸭子的只数没变，但是猴子的只数变了，所以倍数就变了。

……

师（小结）：是的，1倍数不变，但是与1倍数比较的这个数量变了，所以倍数也就变了。

师：谁还有不同的发现？

生3：第二次和第三次，鸭子的只数变了，猴子的只数没变，倍数变了。

师（追问）：刚才与1倍数比较的猴子的只数变了，所以倍数变了，现在猴子的只数没变，为什么倍数也变了呢？

生3：因为把鸭子看作1份，这个1倍数变了。

师：是的，我们还发现1倍数增加了，倍数反而减少了。谁能解释一下这个“奇怪”的现象。

生4：虽然鸭子的只数都增加了，但是猴子包含鸭子的份数没有增加。

生5：因为第二次把2只鸭子看作1份，8只猴子里面包含4个2，而第三次把4只鸭子看作1份，8只猴子里面只包含2个4，所以倍数变少了。

……

師（小结）：是的，同学们说得非常好。虽然与鸭子比较的猴子的数量没变，但1倍数鸭子的数量变了，所以倍数就变了。

师：再仔细看看第三次和第四次，鸭子和猴子的数量都变了，倍数为什么会不变呢？

生6：因为8是4的2倍，12也是6的2倍。

生7：猴子和鸭子的数量变了，但是猴子包含鸭子的份数没变，所以还是2倍。

生8：这个倍数跟猴子和鸭子数量的多少没有关系，要看猴子的只数里面包含几个鸭子的只数。

……

师（小结）：通过刚才的“摆一摆，填一填”我们发现，倍数跟两个数量的多少没有直接关系，而是要看一个量里面包含几个另一个量，谁就是谁的几倍。

（三）巩固提升，深入理解“倍”的内涵

教学一个概念时，教师必须帮助学生区分概念的内涵与外延、本质属性与非本质属性，以及该概念与相关联的概念之间的联系与区别，只有这样，学生才能在头脑中建立清晰的概念。“差比”和“倍比”是两个不同的知识结构，通过比较练习，能使学生明白“差比”结果是一个具体的量，而“倍比”的结果“几倍”不是具体的量，是两个量之间的一种关系。

【片段6】比一比，说一说

（教师出示练习题，学生练后反馈）

师：通过比一比，我们发现两题相差的个数一样吗？

生1：不一样，第一题相差3个，第二题相差4个。

师：两题相差的个数不一样，答案为什么都是2倍呢？

生2：因为把圆形看作一份，三角形都有2份。

师：这个倍数跟相差的个数有关系吗？

生2：倍数跟相差的个数没有关系。

师：这个2表示什么意思？跟3和4表示的意义又有什么区别呢？

生3：这个2表示的是三角形有圆形的2份，表示的是份数。

生4：2倍表示的是2份，3和4表示的是相差的个数。

师：是的，这个2表示三角形和圆形的关系，是2倍的关系，它不表示确切的个数;而3和4表示的是相差数，表示的是确切的数。

（四）质疑问难，解析“倍”的疑惑

古人云：“学贵有疑。”思源于疑，疑问是开启思维的源泉，笔者在课末创设了让学生质疑的环节，学生通过质疑、分析、解决问题，从而加深对“倍”的理解。

【片段7】质疑问难

师：通过今天的学习，你对“倍”还有什么疑问吗？

生1：老师，12是4的3倍，能倒过来说4是12的3倍吗？

生2：4小一些，怎么可能是12的3倍呢？

生3：我知道，倒过来的话应该说，4比12少3倍。

生4：不对，倒过来的话应该说4比12少2倍。

师：同学们刚才说的对不对呢？接下来请拿出笔和纸圈一圈、画一画，看看你有什么发现。把你的发现分享给你的同桌。

……

生5：老师，我发现反过来的话把12个三角形看作1倍，4个圆就不够1倍了。

生6：我发现，谁是谁的几倍，不能反过来说。

生7：我发现小数不能说是大数的几倍。

师：那又该如何表示小数和大数的关系呢？在后续的分数学习中，咱们会进一步探究这个问题。

四、收获成果，提炼反思——建构具有“生长力”的课堂

传统的概念教学，是以教师围绕关键词讲解概念、学生在教师的引导下记背概念为主的一种教学模式。学生被动学习，认为概念课枯燥且乏味。通过教学实践，建构具有“生长力”的概念课堂可以改变传统的教学现状，激发学生的学习兴趣，促进学生“成长”。教师以学生的发展为本，立足概念教学，设计合理的教学活动，让学生在自主学习、共同探究、互教互学中建构概念，从而打造具有“生长力”的概念课堂。

（一）经验为“根”——立足概念课堂“生长”的“根基”

“我们要用自己的经验做‘根，以这经验所发生的知识做‘根，然后别人的知识才能接得上去。”笔者借鉴陶行知先生的话，在概念教学中以“根”为基础，准确分析学生已有的生活概念和原有的知识经验，为概念课堂找准教学起点。

“倍”是生活中的一个常用概念，学生接触过，但是对概念的理解是模糊的。如何将“生活中的倍”转化为“数学中的倍”是本节课的教学重点。“倍的认识”这节课是在学生认识平均分与除法意义的基础上进行的，“倍”表示两个数量间的比较关系，是从“绝对数量比多少”到“相对数量比多少”的转变。因此，笔者将教学建立在学生已掌握的“差比”关系的基础上，引出“倍比”关系，把新知“嫁接”在原有知识经验基础上，引出新知。

（二）活动为“线”——经历概念课堂“生长”的“阶梯”

概念的形成是由外到内、从具体到抽象，不断深化的过程。在概念教学时要关注概念的实际背景以及概念形成的思维过程。抽象的数学概念的形成可以借助有形的数学活动，通过活动打通概念与学生思维的通道，帮助学生有效建立概念。学生掌握概念的过程也是一个不断发展的过程，往往经历几个阶段。

1.建立概念的表象

概念的表象是指对概念具有鲜明形象的感知，将头脑中的概念经过外部信息进行转化，是对概念进行知识表征的过程。“倍”是一个很抽象的概念，它表示的是两个量之间的关系。虽然学生在生活中对“倍”有初步的感知，但对概念的理解比较模糊，无法用准确的语言描述什么是“倍”。所以笔者创设了动物乐园的情境，通过具体的例子表征“倍”的含义，让学生在具体的情境中，结合实例说一说，用语言表征“倍”的含义，在头脑中建立“倍”的表象。

2.抽象概念的本质

概念是事物本质属性的反映。概念的形成是一个从具体到抽象的思维活动，教师可在学生通过感觉获得概念表象的基礎上，引导学生通过分析、综合、概括，从具体到抽象逐步探寻概念的本质。在“倍”的概念教学中，笔者通过创设“比一比，说一说”“圈一圈，填一填”“想一想，摆一摆”等操作活动，让学生多种感官参与活动，在探究活动中积累活动经验，抽象出“倍”的本质。

学生在“想一想，摆一摆”等四个层面的操作活动中积累经验，确定比的标准，建立“1份”的概念，沟通“倍”与“份数”之间的联系;接着，学生想一想，从“直观体验”顺利过渡到“抽象思维”，挖掘“倍”的本质，理解“一个数里面包含几个几”就是“一个数是另一个数的几倍”，明确“倍”隐藏着“包含”的关系。学生独立完成对“倍”的本质理解。

3.厘清概念知识结构

数学概念是高度概括的抽象化数学语言，而小学生的思维能力、理解能力相对较弱，他们在理解与建构概念时存在困难。因此，教师在概念课上不能孤立地讲解概念，要将概念与实例相结合，借助例子让学生形象地感知概念的本质特征，从而厘清概念知识结构。

教材用“谁是谁的几倍”这种结构化的语句来表征概念，突出两个数量相互比较，把其中较小的量看作1份作为标准，另一个量里面包含这样的几份就是几倍。只要1份的数确定了，另一个量有几份就是几倍。由此可知，这个1份数标准量在“倍”的认识中起着关键性的作用。教师在教学时要帮助学生厘清“倍”的结构关系，如1倍数、倍数、几倍数，尤其要建立1倍数的概念。

4.辨析概念间的关系

概念与概念之间不是孤立的，而是存在一定的关系。根据结构功能上有没有关联，笔者将概念之间的关系分为相关联关系和不相关联关系（也可称为异同关系）。辨析概念间的异同关系，可以避免混淆概念，有利于学生对概念的正确理解与建构，以及运用概念正确分析、判断、推理与解决问题。

通过练习，学生知道两个量进行比较的时候，可以用相差关系比较，也可以用倍比关系比较，但它们表示的意义不一样。由此，学生进一步明确“倍”的实质意义，“倍”表示的只是一种倍比关系，跟表示相差关系是有区别的，这个倍数是相对量，而不是准确值。

（三）留白为“缺”——留给概念课堂“生长”的“空间”

教师在课堂的最后可以留一个“缺口”，让学生有思考、讨论、交流、质疑问难的时间与空间，让学生能够循着这个“缺口”持续“生长”。

面对学生提出的问题，笔者没有直接回答对或者不对，而是留给学生一个思维的“缺口”，让学生自己画图思考、讨论交流。学生继而发现了一些“倍”的相关知识。以大数作为1倍，小数是不够1倍的，所以小数不能说是大数的几倍，这时怎么办？还能用“倍”来表示两者的关系吗？如果不能，又该怎样表示呢？为后续学习分数留下悬念。

“生长”的概念课堂，是师生和谐发展的课堂，它以学生的经验为根，让学生在探究概念的过程中不断“生长”，并在课堂最后留给学生持续“生长”的“缺口”，既让学生牢牢掌握概念，促进学生思维发展，又为后续教学做好铺垫。

作者简介：沈建芳（1975— ），浙江杭州人，大学本科学历，高级教师，研究方向为数学教学研究、教育管理。

（责编 刘小瑗）