任意项级数敛散性的判定方法研究

许秀娟

【摘要】本文主要讨论了任意项级数敛散性判定的几种有效方法.根据幂级数收敛域的特点，构造幂级数，判定任意项级数的敛散性.

【关键词】任意项级数;敛散性;幂级数;收敛域

无穷级数是高等数学的重要内容之一，判定级数的敛散性是无穷级数理论的重要组成部分.在无穷级数的教学中，介绍正项级数敛散性[1]的方法较多，而对判定任意项级数的收敛与发散的方法没有系统地讨论说明.本文主要针对任意项级数收敛性判定问题进行探讨.

所谓任意项级数，即在级数∑∞n=1un中，一般项un（n=1，2，…）的值正负没有规律.

一、用级数收敛的必要条件判定

级数收敛的必要条件：如果级数∑∞n=1un收敛，则一般项 limn→∞un=0.

由级数收敛的必要条件知：如果 limn→∞un≠0，则级数∑∞n=1un发散.用此结论可以判断级数是否发散.

例如，级数∑∞n=1（-1）nn（n+1）n2+1，由于un=（-1）n·n（n+1）n2+1，而 limn→∞|un|=limn→∞n（n+1）n2+1≠0，

则 limn→∞un≠0，故级数∑∞n=1（-1）nn（n+1）n2+1发散.

二、用幂级数的收敛域判定

用幂级数的收敛域判定时，根据级数∑∞n=1un的形式，构造幂级数∑∞n=1anxn，把数项级数看作是幂级数在x=x0处的级数，通过幂级数的收敛域范围，判定对应的数项级数的收敛性.

例如，级数∑∞n=1（-1）nnnn！，设幂级数∑∞n=1nnn！xn，当x=-1时即为所求.级数∑∞n=1nnn！xn的收敛半径为R=limn→∞nnn！（n+1）n+1（n+1）！=limn→∞nn+1n=1e，故在x=-1时，级数∑∞n=1（-1）nnnn！发散.

如果是级数∑∞n=1nnn！（2e）n，因为幂级数∑∞n=1nnn！xn的收敛区间为-1e，1e，则在x=12e时，级数∑∞n=1nnn！（2e）n收敛.

三、用夹逼准则判定

在数列极限的存在准则中有夹逼准则，此准则可推广到无穷级数的敛散性的判定上.

如果级数∑∞n=1an与∑∞n=1bn收敛，且an≤un≤bn（n=1，2，…），则级数∑∞n=1un也收敛.

例如，级数∑∞n=1（-1）nn10n，因为-n10n≤un=（-1）n·n10n≤n10n（n=1，2，…），而级数∑∞n=1n10n与∑∞n=1-n10n收敛，所以级数∑∞n=1（-1）nn10n也收敛.

四、用绝对收敛的性质判定

定理 如果级数∑∞n=1|un|收敛，则级数∑∞n=1un也收敛[2].

此方法的优点在于可以把任意项级数的收敛性问题转化为正项级数收敛性来判断.但是如果∑∞n=1|un|发散，并不能断定原级数∑∞n=1un也发散.但是用比值判别法 limn→∞un+1un=ρ>1或根值判別法 limn→∞n|un|=ρ>1判定级数∑∞n=1|un|发散，可以断定级数∑∞n=1un也发散.

例如，级数∑∞n=1（-1）n1an1+1nn2（01，故级数∑∞n=1（-1）n1an1+1nn2发散.

此外，还可以用部分和{sn}的极限、莱布尼茨定理[3]、阿贝尔判别法[4]等来判定级数∑∞n=1un的敛散性.

上述论述阐述了高等数学中任意项级数敛散性判定的一些常用方法.在解决具体问题时，要根据级数自身的特点，灵活选择方法.

【参考文献】

[1]王帅，等.高等数学（上）[M].上海：同济大学出版社，2015：6-9.

[2]盛祥耀.高等数学：第四版[M].北京：高等教育出版社，2008：265.

[3]同济大学数学系.高等数学：第六版[M].北京：高等教育出版社，2007：262.

[4]华东师范大学数学系.数学分析：第四版[M].北京：高等教育出版社，2010：24.