计算线性递推数列通项的一个一般性方法

王勇

【摘要】本文利用矩阵若当标准型理论，给出了计算线性递推数列通项的一般方法.

【关键词】若当标准型;线性递推数列;数列通项

一、引 言

根据数列的初始项和线性递推公式计算该数列的通项技巧性较强，因此，寻求解决这类问题的一般方法就很有必要.

二、若当标准型简介

定义 形如Ji=λi1λi1λiri×ri的矩阵称为ri阶若当块.

由若干个若当块构成的分块对角阵：

J=J1J2Js 称为若当标准型.

定理 任一矩阵A∈Cn×n都與某一个若当标准型J相似，即存在可逆矩阵P∈Cn×n使得P-1AP=J.

由P-1AP=J得A=PJP-1，从而对任一正整数n，

有An=PJnP-1=PJ1J2JsnP-1

=PJn1Jn2Jns P-1，

其中Ji=λi1λi1λiri×ri，用数学归纳法可证得

Jki=λkiC1kλk-1iC2kλk-2i…Cri-1kλk-ri+1iλkiC1kλk-1i…Cri-2kλk-ri+2iC1kλk-1iλkiri×ri.

据此可以计算出任一方阵的n次幂.

三、线性递推数列通项的计算

根据上述理论，对线性递推数列：a1=a，a2=b，an+2=kan+1+lan（a，b，k，l均为已知常数），可以按如下步骤求出其通项：

（1）根据条件得

an+2an+1=kl10an+1an

=kl102anan-1=…=kl10na2a1

=kl10nba.

（2）根据矩阵论相关方法求出矩阵kl10的若当标准型λ1δ0λ2（δ=0或1）.

（3）根据若当标准型λ1δ0λ2求出可逆矩阵P使得

P-1kl10P=λ1δ0λ2，

从而kl10=Pλ1δ0λ2P-1，

kl10n=Pλ1δ0λ2nP-1，

其中λ1δ0λ2n=λn100λn2，当δ=0;λn1nλn-110λn1，当δ=1.

（4）由an+2an+1=kl10nba=Pλ1δ0λ2nP-1ba，经计算后可得数列通项an+1.

四、算 例

例 给出线性递推数列：a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an，求出此数列通项.

解 an+2an+1=2-110an+1an=2-1102anan-1

=…=2-110na2a1=2-110n21，

经计算可求得可逆矩阵P=1110使得

P-12-110P=1101，

从而

2-110n=P1101nP-1=11101n011110-1

=n+1-nn1-n，

于是an+2an+1=2-110n21=n+1-nn1-n21

=n+2n+1，

从而an+1=n+1，

故此数列的通项为an=n（n=1，2，…，k，…）.

五、结 语

本文给出了一个计算线性递推数列通项的一般性方法，此方法稍加改变也可用来求含有常数项的线性递推数列：a1=a，a2=b，an+2=kan+1+lan+c（a，b，k，l，c均为已知常数）的通项，这时只需把主要步骤：an+2an+1=kl10an+1an改成an+2an+11=klc100001an+1an1即可.

【参考文献】

[1]徐仲，等.矩阵论简明教程：第二版[M].北京：科学出版社，2005.