基于核心素养下的教与学——以“定比点差法在圆锥曲线中的应用”为例

胡鑫娜

（浙江省绍兴市新昌县知新中学 浙江绍兴 312500）

数学核心素养是数学教学的灵魂，是指学习者能够从数学的角度看问题，能够用数学的思维解决问题。数学核心素养的培养应如水中盐、蜜中花，体匿性存，无痕有味；又如暖暖春雨，随风潜入夜，润物细如声[1]。数学核心素养的培养必隐藏在每一节课的教学任务中，每一节课教授的知识就是培养学生核心素养最肥沃的土壤。本节课就以“定比点差法在圆锥曲线中的应用”为例，浅谈数学核心素养的渗透教学。

点差法，是解决圆锥曲线问题的重要方法，其本质是曲线上两点坐标之间的相互联系和整体转化。在直线与圆锥曲线的教学中，往往涉及到“中点弦”，这才会联想到点差法。那么，点差法只能解决中点弦问题么？其实不然，本文在学生原有知识结构的基础上进行延伸、拓展，觅寻点差法的本源，挖掘数学模型，提高学生的解题能力和优化解题思维。

一、教材分析和学情分析

圆锥曲线内容是高中数学学习的重点和难点。直线与圆锥曲线所成的相交弦问题，又是高考的热点，在历年高考中占据着不可小觑的地位[2]。面对圆锥曲线问题，学生的普遍反应是“过程繁琐，运算量大”，而得分也不高。因此，在教学中，如何把握重点、突破难点，让学生“多一些思维，少一些计算”，便成了教学的重中之重。

二、教学目标

1.回顾点差法的基本步骤，觅寻点差法的本质；

2.领悟点差法的核心思想——“设而不求”；

3.理解并应用定比点差法的本质解决直线与圆锥曲线中的相交弦问题；

4.通过探究、思考，归纳定比点差法能够解决的数学模型。5.提高学生的数学思维能力，培养学生的核心素养。

三、教学设计

（一）回顾旧知，解决与中点和斜率相关的问题

问题设置：1.在圆锥曲线问题中，什么时候用点差法？2.归纳点差法的基本步骤。3.点差法是否只能解决中点弦问题呢？

设计意图：让学生回顾点差法的相关概念及步骤，点差法的核心思想是“设而不求”，利用圆锥曲线上两点坐标之间的相互联系，代点作差，最终得到与弦的中点和斜率有关的式子，减少了计算量，降低了计算难度。点差法主要能解决以下几类问题：1.已知弦中点，求弦所在直线的方程；2.过定点的弦的中点轨迹；3.平行弦的中点轨迹。其他问题都是在这三类问题的基础上进行衍生得到的。学生在已有的知识构建中，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点在一起时，能想到“点差法”。

（二）定比点差，构造典型的数学模型解题

例2 定比点差法试用的数学模型

步骤4：联系步骤1和步骤3的结论，进行推导、延伸，得到相应的结论。

设计意图：通过典型例题的讲解，让学生归纳出定比点差法适用的数学模型：需要满足的条件，基本的计算步骤，理清思路、拓展思维，更好地理解定比点差法。

（三）小结探讨，内化所学内容

问题设置：从知识、思想、生活实际来谈谈自己的收获。

设计意图：让学生畅所欲言、开放式地交流、探讨，获得知识、素养、能力。

四、教学反思——以学生为本，提高数学核心素养

定比点差法，实际上是直线参数方程的变异形式，核心思想是“设而不求”。它是利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，代点、扩乘、作差，解决相应的圆锥曲线问题，尤其是遇到定点、成比例等条件时，定比点差法有独特的优势。本文从特例出发，先让学生体会定比点差法的相关概念，并归纳出定比点差法能够解决的数学模型，然后通过巩固提升，让学生深层次地掌握定比点差法的相关概念和本质。