突破“核心”问题 驱动自主探究

杨勇

摘    要：“核心”问题是一节课的中心问题，直指教学内容的本质.一堂有价值的探究课通常用问题串来引领.问题串则是在“核心”问题的统领下，由一系列“小问题”构成，这需要我们站在学科系统知识和核心素养的高度，去聚焦“核心”问题，驱动学生积极进行自主探究.

关键词：问题情境;核心问题;思想方法;自主探究

江苏省镇江市教育科学研究中心2019年7月举行了高中数学青年教师优质课评比，比赛课题是“等差数列的前n项和”第一课时，经过区、县选拔后，来自全市不同学校的7名选手进行展示.笔者结合7节课中的一些共同现象，对高中数学课堂如何突破“核心”问题谈一些看法.

一、课堂共同现象总结与剖析

高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列.本次比赛“等差数列的前n项和”是选自苏教版高中数学实验教科书必修5中的2.2.3的内容.该内容是学生在学习了等差数列的定义及相关性质之后的后继学习内容，“倒序相加”法是本节课的重要方法，如何聚焦该方法的产生、发展和反思过程，是本节课的核心内容，下面就7位选手课堂中出现的共同现象进行分析.

（一）“小高斯”的隐忧

7位选手新课引入环节图文并茂，都创设了精彩的问题情境，有从《张丘建算经》中钱币数算起，有从印度泰姬陵陵寝中宝石数算起，还有从等差数列的定义复习开始等等，引入过后都不约而同地归结到高斯小时候计算[1+2+3+4+…+100=]？的问题，这个故事很多学生曾经听说过，遗憾的是选手对待这个故事都采取“选而不用”的方式，只介绍高斯的“配对求和”法后匆忙离去，给后继内容的讨论留下隐忧.其实“小高斯”之所以能想到这样的解法，除自身的聪明以外，和他父亲长期的熏陶有很大关系，这里教师不妨做短暂的停留，从数学史的角度介绍一下這位“数学王子”的生平，然后提出三个问题：（1）这是一个什么类型的问题？（2） “小高斯”是用什么方法快速得到答案的？（3）今天的你再来看“小高斯”的解法有什么新的体会和想法？

此法对于中间项的表示大多数学生感到很困难，此处可降低要求，适可而止，不必用字母计算困扰学生，因为当学生都把注意力集中在如何求“奇”数项的和上，无疑冲淡了“倒序相加”法的探究.

（三）“倒叙和”的突兀

“倒序相加”法是本节课的重点内容和重要方法，该方法何时“隆重登场”？怎样“精彩亮相”？笔者认为，应该是在学生对“配对求和”法经过反复思考和深入探究，找到前后项之间的内在联系后，抑或在研究[n]为奇数对[Sn=1+2+3+4+…+n]求和产生困难时，自然而然地流淌出“把[1+2+3+4+…+n]倒过来再相加”的想法.

其中有两位选手在没有充分研究“配对求和”法和讨论奇偶项的前提下，直接提出问题：“大家受到高斯解法的启发，能不能采用倒过来相加的方法？”让学生感到很突兀，认为“倒叙和”是“天上掉下来的林妹妹”，是教师硬塞的.怎么想到要倒叙？倒叙后为什么要求和？“倒叙相加”和高斯的“配对求和”有什么不同？等等，这些问题不解决，何来思维方式的完善，数学思想的感悟，核心素养的发展？

二、关于本节课“核心”问题的聚焦与分析

数学家哈尔莫斯说过：“问题是数学的心脏.”一堂有价值的探究课通常用问题串来引领.问题串则是在“核心”问题的统领下由一系列“小问题”构成，这不仅需要我们设计好“小问题”，更要能站在系统理解数学知识和把握数学本质的高度聚焦“核心”问题.“核心”问题是一节课的中心问题，是教师充分关注学科问题和学生的基础，注重数学知识之间的内在联系，挖掘数学的思想和方法，设计提出的有一定开放性和挑战性、能够引领学生积极探究和深度思考的问题.

本节课教师如何突破“为什么要倒叙相加”这一“核心”问题，如何设计相关的问题串，如何让学生在自然探究、自主发现、自由反思中实现这一“核心”问题的解决就显得尤为重要.下面从三个方面进行分析.

（一）以创设问题情境为切入点，让探究更自然

问题离不开情境.适合的问题情境，在课的引入阶段就能引起强烈的认知冲突，激发学生高涨的热情和探究的欲望.一般来讲，“情”与“境”应该是问题的“一体两翼”，设计情境时，要“情”“境”并重，以“情”为经，将学生学习的态度、兴趣、情感等方面考虑在内;以“境”为纬，创设相应具体的问题，为教学的顺利进行做好铺垫.

本节课中为了引入等差的前n项和，选手们竭尽所能，创设了各种不同的情境（前文已有介绍）.有的选手PPT展示的情境虽热闹繁华，但与数学关系不大，听后给人的感觉是绕了很大的弯子;有的则是为了引入而引入.其实，对于学习了等差的定义和性质之后，继续学习前n项和的内容，学生是不难想到的.对于目前高中数学课堂中出现的去“数学化”现象，单墫教授曾不无忧虑地讲：数学课要讲数学.本节课教师是否可以这样引入：“在学习了等差的定义和性质之后今天我们继续学习等差的前n项和.”然后通过问题串引发学生思考：

（1）对于一般的问题研究，我们通常从特殊情形开始，你能否举几个简单的等差数列求和例子？

（2）上述等差数列求和，你用的是什么方法？

（3）数学史上有这样的例子吗？

用这样的问题串切入既单刀直入，简洁自然，又可以激起学生强烈的求知欲，同时渗透对数学问题研究的一般方法，小高斯的故事也浮出水面.

（二）以突破“核心”问题为立足点，让发现更自主

对于本课中“为什么要倒叙相加”这一“核心”问题，课本中是用“倒置同样一堆钢管”引出的，教师上课时如果“照本宣科”，表面上看，学生是记住了公式，再加上大量的习题训练，短时间内做起题来正确率会很高，但这样缺少从无到有的思路寻找，缺少从“想给学生看”到“学生自己想”的情境创设和自主发现的过程，遗忘起来也会很快，更难进行迁移，这其中数学思想方法、核心素养等潜在价值更是无从谈起.

选手们没有“照本宣科”，都采用了生动的“小高斯”引例，问题的关键是怎样由“小高斯”“配对求和”升级到“倒叙相加”？比赛时，有选手说“从小高斯的求法得到启发，然后进行倒叙相加？”一般的学生在这个“启发”的地方有很大的认知难度，感觉有点“启而不发”，其实这二者之间缺乏必然的联系，这种“启发”似乎是把倒序相加法抛给学生而找的一种借口，笔者认为由高斯算法受到启发而获得“倒序相加”法这一思维过程的自然性与逻辑性应该受到质疑.由“配对求和”升级到“倒叙相加”需要巨大的思维跨越和思维灵感才能完成，这样的“启发”无疑脱离了学生思维的最近发展区，事实上成了“告诉学生一个方法”.如何让学生通过研究“配对求和”法后获得一般等差数列的前n项和公式，这才是真正对学生思维品质和思维能力提升有价值的地方.

涂荣豹教授在2017年江苏省骨干教師培训活动中谈到本节课这一“核心”问题时也说：一定要让学生通过自己想，然后自己悟出“倒叙相加”法.在他的启发与指导下，笔者在课堂上做出这样的尝试，得到他的肯定.实录片段如下.

该尝试，在“核心”问题的统领下，设计出一系列问题串，让学生在疑虑中探究，在探究中经历深刻的思考，通过一系列问题串的解决，“核心”问题被自然突破，等差数列前n项和公式的推导也就水到渠成！

（三）以揭示思想方法为落脚点，让反思更自由

数学思想方法是从具体数学认识中提炼和概括出来的，其在后继的学习活动中反复得到验证，带有一般意义和相对稳定的特征.它能揭示数学发展的普遍规律，能直接支配数学实践活动，对问题的探究起着导向作用，是数学的灵魂.“核心”问题引领式教学必须高度重视对一些重要数学思想和方法的渗透，从而加深学生对数学概念、公式、定理、规律的理解，提高学生的发现和提出问题、分析和解决问题的能力，把揭示数学思想和方法作为课堂最终的落脚点，促进数学思想方法的真正内化，让课堂加速从“知识传授”向“素养提升”的转变.

数学的重要方法往往是“看”出来的.本节课在“核心”问题突破环节，要留给学生足够的交流、探究、反思的时间，通过对公式[Sn=n（a1+an）2]中“数”的清晰表达和“形”的直观呈现，让学生经历自由的思考，亲自“看”出倒序相加法的发现、发生过程，隐藏其中的特殊到一般、分类讨论、数形结合、转化与化归等思想就得到揭示，学生的直观想象和逻辑推理素养也得到发展和提升.

综上，我们要深入理解“核心”问题在数学教学中的意义和价值，教师围绕“核心”问题所设计的问题串应该具有挑战性（即形成认知冲突）、启发性（即引发数学思考）和可接受性（即处于学生认知最近发展区），让学生在对问题的自主探究中实现对知识的自我建构，积累数学活动经验，学会数学的思考和表达，从而提升数学核心素养.