改进排序的梯形直觉模糊Choquet Bonferroni算子的多属性群决策方法

罗世华，刘 俊

(江西财经大学统计学院，江西 南昌 330013)

1 引言

MAGDM是将群体中的各决策者对有限方案的多个属性评价信息按照某种规则集结为一致或妥协的群体偏好[1]，已广泛应用于经济效益评价、竞争力评价、环境质量考核等情形。随着决策信息的复杂性和不确定性与日俱增，采用精确的实值刻画评价信息会造成决策意见的失真，1965年Zadeh[2]提出模糊集(FS)的概念，使用不确定数表达评价信息。但在实际建模过程中，仅依靠隶属度很难完整的表达专家赞成、反对和犹豫的心理活动。基于此，1986年Atanassov[3]提出直觉模糊集(IFS)，IFS较FS更能细腻地表达不确定评价信息的模糊性本质。随着研究的深入，直觉模糊评价信息拓展到区间直觉模糊数[4]、三角直觉模糊数[5]、梯形直觉模糊数[6]，直觉模糊集及其拓展在MAGDM领域的研究已成为现代决策科学的一个重要分支。

李登峰[7]、徐泽水[8]等理论成果引领学者们对IFS的研究不断深入，万树平[9]综述了直觉模糊集从诞生之后20多年的研究现状。但近年来对于直觉梯形模糊数的研究相对较少，关于梯形直觉模糊数的MAGDM更是凤毛麟角。TrIFN从另一个角度对IFS进行了拓展，将离散的模糊数连续化，更方便地描述模糊评价信息。王坚强和张忠定义了TrIFN的期望值[10]，距离公式和加权算术平均算子[11]，得分函数、精确函数和几何算子。万树平和董九英[12]提出了基于TrIFN有序加权集成算子和混合集成算子的MAGDM方法。刘培德和左甲[13]提出TrIFN加权算数平均算子、TrIFN有序加权二次平均算子、TrIFN混合加权二次平均算子。Wu Jian和Cao Qingwei[14]定义了一些几何聚合算子，如TrIFN加权几何算子，TrIFN有序加权几何算子，诱导TrIFN有序加权几何算子，诱导TrIFN混合算子。

学者们在决策过程中发现，不同属性间普遍存在着关联性，并不都像以上文献中表述的那样相互独立，它们存在互补或者冗余，不完全满足可加性。基于评价信息为直觉模糊数时，Grabisch等[15]提出的Choquet积分算子提供了有效的解决方案，充分考虑其重要性和相互作用。大量研究人员将Choquet积分算子拓展到各种模糊环境中，Tan Chunqiao[16]探讨了基于Choquet积分算子的IFS和区间IFS的几何集成算子。万树平和董九英[17]基于模糊测度和Choquet积分，定义了三角直觉模糊Choquet积分算子解决MADM问题。朱佳翔等[18]给出了基于离散Choquet积分的TOPSIS算子。除了Choquet积分算子，Bonferroni均值(BM)算子[19]也有捕获输入参数的相互关系的能力。Dutta和Guha[20]将TIFN与BM算子结合，提出了梯形直觉模糊Bonferroni平均算子(TrIFBM)。针对属性之间存在优先级关系，Xu和Yager[21]基于BM算子定义了加权Bonferroni均值(WBM)算子。Zhou Wei和He Jianmin[22]引入规范化加权Bonferroni均值(NWBM)算子。然而经典的Choquet积分及其上述各种拓展形式并不能对所有属性间的关联作用进行分析,只能度量部分属性的关联度。

在直觉模糊MAGDM问题中，IFS的排序是确定方案优劣排序的重要一环。1994年Chen等提出得分函数[23]，被Hong等[24]证明仅靠得分函数，IFS排序不准确，进而提出了精确函数。徐泽水[25]将得分函数与精确函数综合考虑区间IFS排序问题。有关TrIFN的排序研究还不是很多。万树平和董九英[12]根据TrIFN的隶属函数、非隶属函数和犹豫度的图像，从几何的重心重新定义了TrIFN期望值和预期得分，给出了TrIFN的排序方法。Das和Guha[26]通过实例分析了文献[27]中排序方法存在的缺陷，并给出了一种基于质心坐标的新排序方法，但依然会出现质心相同排序失效的情况。

综上所述，考虑决策中属性并非完全独立，本文由传统的Choquet积分的模糊测度，将属性间的关联信息转换为待聚合数据的权重信息，克服了其只能度量部分属性关联度的缺陷，在属性间存在关联性时依然有效，并且避免了决策者赋予权重的主观性，使决策过程更加科学有效。BM算子与算术平均值和几何平均值相比，有着可以反映属性间相关性的优势。针对目前TrIFN环境的MAGDM排序失效的问题，基于文献[26]，整合隶属度函数与非隶属度函数的均值、模糊度和函数图像质心指标，通过数学表达式组建成新的TrIFN排序方法。TrIFN环境下的规范赋权调和均值算子鲜有文献报道，为此联合Choquet积分，BM算子以及新排序方法，提出改进排序方法的梯形直觉模糊Choquet Bonferron规范赋权调和均值算子(TrIFCBNWHM)。它可以表达每个属性的重要性及相互关系，替代方案可获得决策者所有可能的值，通过Choquet积分的模糊测度得到决策的权重更加合理。本文研究TrIFCBNWHM性质、运算法则及其在梯形直觉模糊MAGDM问题中的应用，通过对比分析有效证明了新算子的有效性。

2 梯形直觉模糊集理论

王坚强[6]给出TrIFN的定义如下：

(1)

(2)

其中符号“∧”,“∨”分别表示取小取大运算；

3 梯形直觉模糊Choquet Bonferroni规范赋权调和均值算子

在属性权重和专家权重未知情况下，利用Choquet积分将决策信息间的关联信息转换为待聚合数据的权重信息的能力，得到属性权重和专家权重。

定义 3 设C={c1,c2,…,cn}是一个有限集，h:P(C)→[0,1]称为模糊测度集合函数，满足以下公理[28]：

1)h(φ)=0,h(C)=1；

2)若A⊆C,B⊆C且A⊆C，则h(A)≤h(B)；

3)h(A∪B)=h(A)+h(B)+θh(A)h(B)， 其中θ∈(-1,∞)在Choquet积分中表示指标的相互作用。

h(C)

(3)

其中ci∩cj=φ,i≠j对只有一个元素ci的子集合，h(ci)称为模糊测度，hi=h(ci)。当h(C)=1时，可得

(4)

定义 4 令h为(C,P(C))的一个模糊测度,一个有限集C，根据模糊测度h，Choquet积分函数 定义如下[15]：

f(c(i))

(5)

其中(i)为f(c(i))的一个置换，且F(n+1)=0，F(i)={c(i),c(i+1),…,c(n)}，0≤f(c(1))≤f(c(2))≤…≤f(c(n))。

结合Bonferroni平均算子[19]和Choquet积分算子，本文提出梯形直觉模糊Choquet Bonferroni规范赋权调和均值算子。

(6)

其中wi=h(F(i))-h(F(i+1))，根据式(3)求h(F(i))的值。

由TrIFCBNWHM的定义可知，它具有幂等性、可交换性和单调性。由TrIFN的运算律，可得定理1。

(7)

鉴于文章篇幅，此部分证明略。

则

4 改进梯形直觉模糊数排序方法

此部分整合隶属度函数与非隶属度函数的均值、模糊度和函数图像质心指标，通过数学表达式组建成新的TrIFN排序方法，避免了质心相同时TrIFN排序失效。

4.1 隶属度与非隶属度均值和模糊数

(8)

满足以下条件：

(9)

(10)

(11)

(12)

为了计算简洁，定义如下

(13)

(14)

(15)

(16)

4.2 隶属度与非隶属度函数图像的质心指标

质心差距：

(17)

质心指标：

(18)

梯形直觉模糊数的隶属度函数和非隶属度函数根据式子(1)、(2)给出，如图1所示：

隶属度与非隶属度各点坐标如下所示：

图1 梯形直觉模糊数的隶属度及非隶属度函数

4.3 TrIFN排序方法

基于以上有关的定义，计算每个梯形直觉模糊数的排序指标，ξ∈[0,1]是决策者的偏好权重。

(19)

(20)

5 决策方法

具体操作步骤如下：

步骤2：由专家给出各属性和属性集的模糊测度。

步骤4：考虑到专家的自我认知和判断水平的不一致，他们的偏好存在差别，对各专家的背景进行考察，确定专家的模糊测度h(di),(i=1,2,…,k)。

6 实例分析

全球环境问题成为人们日益关注的现实问题，越来越多的注意力集中在各个行业绿色生产上。 汽车公司选择最佳绿色供应商的关键要素之一是制造过程。通过预先评估，之后对4家供应商Si在4个标准替代方案下进一步评估：产品质量C1,技术能力C2，污染控制C3，环境管理C4。该公司拥有一批来自4个部门的决策者：生产部门D1，采购部门D2，质量检验部门D3，工程部门D4。实例数据来自文献[31]，并将排序结果与其他算子进行对比分析，来说明本文提出的算子应用的可行性。

步骤1：专家构建规范化的决策矩阵如下表1-4

表1 专家D1给出的判断矩阵A1

表2 专家D2给出的判断矩阵A2

表3 专家D3给出的判断矩阵A3

表4 专家D4给出的判断矩阵A4

步骤2：据专家意见，属性指标的模糊测度为：h(c1)=0.4,h(c2)=0.25,h(c3)=0.37,h(c4)=0.2由式(4)计算θ1=-0.44，故由式(3)得h(c1,c2)=0.6,h(c1,c3)=0.7,h(c1,c4)=0.56,h(c2,c3)=0.58,h(c2,c4)=0.43,h(c3,c4)=0.54,h(c1,c2,c3)=0.88,h(c1,c2,c4)=0.75,h(c1,c3,c4)=0.84,h(c2,c3,c4)=0.73,h(c1,c2,c3,c4)=1。计算得到四个标准得权重向量为w1=(0.27,0.19,0.34,0.2)T。

步骤3：集结

0.5,0.2),

0.7,0.25),

0.5,0.4),

0.5,0.5).

0.6,0.2),

0.6,0.4),

0.5,0.3),

0.5,0.4).

0.5,0.25),

0.6,0.2),

0.47,0.2),

0.5,0.4).

0.5,0.5),

0.6,0.3),

0.5,0.4),

0.5,0.35)

步骤4：考虑到专家的自我认知和判断水平的不一致，他们的偏好存在差别，对各专家的背景进行考察，确定专家的模糊测度h(d1)=0.5，h(d2)=0.28,h(d3)=0.15,h(d4)=0.18。同上，计算得θ2=-0.27，h(d1,d2)=0.74，h(d1,d3)=0.63，h(d1,d4)=0.66，h(d2,d3)=0.42，h(d2,d4)=0.45，h(d3,d4)=0.32，h(d1,d2,d3)=0.86，h(d1,d2,d4)=0.89，h(d1,d3,d4)=0.78，h(d2,d3,d4)=0.58，h(d1,d2,d3,d4)=1。计算4部门的权重向量w2=(0.42,0.26,0.14,0.18)T。

步骤5:对上述16组梯形直觉模糊数算子集结，

步骤6：使用新提出得排序方法对上述4组梯形直觉模糊数排序，决策者的偏好权重ξ=0.5。

质心指标:

质心差距分别为：

λ1=0.0729,λ2=0.0468，λ3=0.0348，λ4=0.

当决策者偏好权重ξ∈[0,1]取不同值时，运用Matlab反映TrIFN值变化情况. M排序指标与N排序指标的结论一致，同时也验证了排序方法的有效性.如图2和图3所示:

图2 不同决策权重下M排序指标值

图3 不同决策权重下N排序指标值

为了进一步说明提出的TrIFCBNWH算子的有效性和可行性，与文献[31]中汇总的几种算子(梯形直觉模糊PHA算子、梯形直觉模糊FIOWHM算子、广义Bonferroni调和均值算子、Hamacher算子、模糊Frank幂平均算子和广义Einstein有序加权平均算子)处理上述供应商选择问题进行算子聚集排序对比研究，结果如表5所示。

由表5可知，利用梯形直觉模糊Frank幂平均算子和Frank幂平均算子，选择最佳方案排序大不相同，由于这些算子未能有效减弱不公平数据的影响。而通过梯形直觉模糊FIOWHM算子和Hamacher算子聚合，所得结果相同。同样的结果在利用广义Bonferroni调和均值算子和广义Einstein有序加权平均算子时出现。

不难看出，TrIFCBNWHM算子可以考虑属性间相互关系和每个属性的重要性，从而高效应用信息，并且由Choquet积分得到的权重信息不严格要求个体间相互独立，说明算子的可行性和优越性。

7 结语

针对已有TrIFN排序方法有可能失效，本文提出整合隶属度函数与非隶属度函数的图像质心、均值以及模糊度建构新的TrIFN排序模型。利用模糊测度求出属性权重和专家权重，在属性不满足相互独立时依然适用，结合BM算子，提出TrIFCBNWHM算子。该算子既能充分反映属性间的关联程度又能得到属性权重和专家权重。加入参数来反映决策者的心态，当参数变化时，不影响最佳供应商选择排序。通过实例分析并将本文提出的算子与其它算子[31]相比较，说明了该方法的可行性和有效性，相对其他的综合评价中的决策方法应用范围更加广泛。未来的研究可以关注基于模糊测度函数来解决属性间及不同决策者间模糊测度未知的多属性群决策等相关问题。