基于非广延熵纠缠平方的严格单配性

苑光明, 尹田田, 董明慧, 陈长伟, 唐顺磊, 陈力

(1 齐鲁理工学院基础部, 山东 济南 250200;2 安庆师范大学物理与电气工程学院, 安徽 安庆 246113)

1 引 言

作为量子信息的一类重要的物理资源,量子纠缠在诸多领域有着重要的应用,例如描述多体量子比特系统的纠缠结构、单向量子计算、超密编码等。不同于经典关联中信息可以自由共享,量子纠缠在其共享过程中受到限制,量子纠缠共享中受限制的情况称为纠缠单配性关系[1～4]。换句话说,在量子力学中一个系统与另一个系统的纠缠大小将限制此系统与其他系统的纠缠大小。2000 年,Coffman、Kundu 和Wootters[5]在研究三量子比特系统时创新性地引入了单配性概念,并使用此概念证明了基于并发度纠缠平方的单配性关系。2006 年,Osborne 和Verstraete[6]将基于并发度纠缠平方的单配性关系推广到了多体量子比特系统。随后对基于并发度平方的单配性关系进行研究,发现其无法描述所有多体量子比特系统的纠缠分布情况,体现出了一定的局限性。为解决这一问题,科学家尝试将这一单配性关系的概念应用于其它的纠缠度量,例如高斯纠缠、形成纠缠等[7～21]。

非广延熵纠缠是一种基于形成纠缠的推广量子纠缠度量,参数q 趋向于1 时,其收敛于形成纠缠。之前Kim 等[20]研究了基于非广延熵纠缠的单配性关系,发现无法满足所有的参数范围。同样地,之前对于形成纠缠的单配性关系已经有了一定的基础。Bai 等[10]创新性地构建了形成纠缠平方的单配性关系;基于Bai 等的论证思路,Song 等[11,12]改写了任意熵纠缠及非广延熵纠缠的函数解析式,分别给出了任意熵纠缠平方的单配性关系和非广延熵纠缠平方的单配性关系。

本文提出了一种新型的基于非广延熵纠缠的单配性关系,并论证了该单配性关系较文献[1]与文献[12]所得单配性关系之优点。

2 基于并发度的新型单配性关系

对于两体量子比特纯态|ψ〉AB,并发度的定义为[5]

式中ρA=trB|ψ〉AB〈ψ|为子系A 的约化密度矩阵。对于两体量子比特混合态ρAB,并发度的定义为凸脊扩展形式

2000 年,Coffman、Kundu 和Wootters[4]三人首次提出了单配性关系,并将这一基于并发度平方的单配性关系推广到了多体量子比特系统

之后对于并发度单配性的研究推广了更加严格的形式[22]

式中µ≥2。其后对于并发度单配性的研究进一步推广:对于任意多比特混合态ρ ∈HA⊗HB1⊗···⊗HBN−1,如 果CABi≥CA|Bi+1···BN-1, 其 中i = 1,2,··· ,m, 且CABj≥CA|Bj+1···BN−1, 其 中j = m + 1,··· ,N −2, 存 在1 ≤m ≤N −3,N ≥4,并发度服从单配性关系式[21]

式中µ≥2。下面介绍几个相关概念[22]。

引理1 假设k 为实数,且0

证明: 首先讨论公式f (m,x) = (1+x)m−xm, 其中x ≥1/k, m ≥1。对公式求一阶导数f′(m,x) =m[(1+x)m−1−xm−1],结果显而易见为非负,即函数为增函数。所以

令x=1/t,可得(6)式;同理,若0 ≤n ≤1,公式f (m,x)=(1+x)n−xn一阶导数为非正,即函数为减函数。综上,不等式证明完毕。

下面利用引理1 知识,给出并发度的新型单配性关系。

定理1假设k 为实数,且0< k ≤1。对于任意2 ⊗2 ⊗2n−2混合态ρ ∈HA⊗HB⊗HC,如果CAB≥CAC,当α ≥2,可得

证明:对于任意2 ⊗2 ⊗2n−2混合态ρABC∈HA⊗HB⊗HC,如果CAB≥CAC,则

式中第一个不等式利用并发度的单配性不等式;第二个不等式利用引理1。接下来将定理1 扩展至多体量子比特系统中。

定理2假设k 为实数,且0 < k ≤1。对于任意多比特混合态ρ ∈HA⊗HB1⊗···⊗HBN-1,如果kBi≥|Bi+1···BN−1,其中i = 1,2,··· ,m,且Bj≤k|Bj+1···BN−1,其中j = m+1,··· , N −2,存在1 ≤m ≤N −3,N ≥4,并发度满足关系式

式中α ≥2。

证明:由定理1,可得

结合以上两式,证明完毕。

考虑将该单配性关系应用于一个三比特态|ψ〉,则

假设k = 0.5,显而易见,可以判断该单配性关系优于以前给出的单配性关系,即(13)式结果优于(3)～(5)式的结果。

3 基于非广延熵纠缠平方的严格单配性关系

两体量子比特纯态|ψ〉AB非广延熵纠缠的定义为[11]

⑯刘绪贻、李存训:《富兰克林·D．罗斯福时代，1929 ～1945》(刘绪贻、杨生茂总主编:《美国通史》第五卷)，人民出版社2002年版，第71页。

式中q>0 且q ≠1。ρA=trB(|ψ〉AB〈ψ|)为子系统A 的约化密度矩阵。非广延熵纠缠参数q 趋向于1 时,收敛于形成纠缠

其中最小值取遍所有可能的纯态分解ρAB=Pi|ψi〉AB〈ψi|。

对于非广延熵纠缠单配性研究,Kim[20]构建了非广延熵纠缠与并发度的解析表达式

式中参数1 ≤q ≤4。通过研究发现当且仅当参数q ∈[2,3]时,非广延熵纠缠服从单配性关系。

类似地,在文献[11]中,非广延熵纠缠与并发度平方的函数解析式表示为

式中

之前文献[1] 给出一个新型的单配性关系: 对于任意多比特混合态ρ ∈HA⊗HB1⊗···⊗HBN-1, 如果CABi≥CA|Bi+1···BN−1,其中i=1,2,··· ,m,且CABj≤CA|Bj+1···BN−1,其中j=m+1,··· ,N −2,存在1 ≤m ≤N −3,N ≥4,非广延熵纠缠满足关系式

下面利用并发度的新型单配性关系,讨论基于非广延熵纠缠的新型单配性。

其中第二个不等式利用了并发度平方的单配性关系,第三个不等式利用了文中引理1。

对应的单配性关系为

假设公式中k=0.5。较之前单配性关系(22)式和(23)式,本结论(24)式更加严格。

通过以上论证可以发现,所提出的基于多体量子比特系统的单配性关系较文献[1]和文献[12]结果更加严格。

4 结 论

量子纠缠的分布特性不同于经典关联,量子纠缠不能在多体之间任意分享,纠缠单配性不仅是多体量子比特系统中一类重要的物理性质,同时有助于了解多体量子比特系统的纠缠结构。提出了基于非广延熵纠缠服从的新型纠缠单配性不等式,此结论优于文献[1]和文献[12]的结果,有助于推动量子纠缠的描述和量化,但仍需进行进一步研究,特别是还需进一步解决对于量子动力学中单配性的证明。