新型量子雷达中的光源研究

王刚, 任昌亮

(1 重庆邮电大学光电工程学院, 重庆 400065;2 中国科学院重庆绿色智能技术研究院, 重庆 400714)

1 引 言

雷达因其广泛的应用而备受关注。随着量子技术的发展,物理学家尝试提出基于量子度量下的量子雷达方案,为进一步探索增强目标探测能力的雷达提供了更广阔的前景。然而,以往的量子雷达方案,包括量子照明方案[1～3]等,都只是在测距方面能够体现量子增强的优势,而不能在目标定位的精度方面体现量子度量优势。

新型量子雷达方案实现的一个重要基础是这种特殊纠缠源的制备。本文以最简单的2 比特(2-qubit)纠缠态的制备为例,分析和讨论了利用参量下转换过程制备频率和横向动量正关联纠缠的特点和要求。

2 量子雷达所用光源

量子雷达方案中所需的量子态是频率和横向动量都高度正相关的纠缠态。以2-qubit 的纠缠态为例,这种量子纠缠态可表述为[4]

式中a†(ω,k)是一个具有频率ω 和横向波矢量k 的光子产生算符,其中k=(kx,ky),ψ 是双光子的时空波函数。

对于(1)式描述的最大纠缠态,需要克服无限的测量时间和横向屏幕,这实际上是不可能的,而且实验也不可能制备完全理想的高度关联纠缠态,因此需要更为现实地讨论非理想状况即部分纠缠态的情况。部分纠缠使得光子之间的纠缠度降低,因此会降低分辨率增益,但仍可以提供优于经典的增强效果。部分纠缠的双光子态可表示为[4]式中ωd为两光子之间的频率差,kd为两光子的横波矢量发散,分别由概率振幅γ、ξ 决定。在γ →δ(ωd)、ξ →δ(kd)时,有|φ2〉→|ψ2〉。

3 自发参量下转换简介

制备纠缠光子源的有效和常用方法是自发参量下转换(Spontaneous parametric down-conversion,SPDC),用频率较高的激光作为抽运源,抽运非线性晶体会产生两个频率较低的纠缠光子对,分别为信号光子和闲置光子。利用该方法能够生成频率[5]、偏振[6]和时间-能量[7]等各种光子自由度形式的纠缠源,而且双光子产生的光场具有从抽运光频率到晶格共振频率的宽带光谱分布。Fig.1 为SPDC 过程的示意图,由能量守恒定律可以得到:ωs+ωi=ωp;由动量守恒定律可以得到: ks+ki= kp。其中ωp、ωs、ωi分别为抽运光子、信号光子、闲置光子的角频率; kp、ks、ki分别为抽运光子、信号光子、闲置光子的波矢量。

Fig.1 Schematic diagram of SPDC process

3.1 I 型自发参量下转换

I 型自发参量下转换产生的两个光子的偏振相同,且都与抽运光的偏振方向垂直,其过程描述为:e →o+o,输入的抽运光为e 光,产生的信号光和闲置光都为o 光。Fig.2 为I 型自发参量下转换过程的示意图。从非线性晶体出来的光在空间上以抽运光为轴呈锥状分布。

Fig.2 Schematic diagram of type I SPDC

3.2 II 型自发参量下转换

II 型自发参量下转换产生的两个光子的偏振不同,且相互垂直,其过程可以描述为:e →o+e,输入的抽运光为e 光,产生的信号光和闲置光,一个为e 光,一个为o 光。在非共线匹配且频率简并的情况下,II 型SPDC 过程中信号光和闲置光的空间分布如Fig.3 所示,为两个相交的圆锥面。

在共线匹配的情况下,两个SPDC 环是相切的。当相位匹配切割角逐渐增大时,两个圆锥面都向抽运光靠拢,发生交叠,此时两环交叉的两点可能是o 光也可能是e 光,如果其中一个为e 光,则另一个一定为o 光,这样在两个方向上的一对光子便形成偏振纠缠的双光子态。在频率不简并的情况下,抽运光的能量不是均匀分布,形成的SPDC 环大小不同,频率大的能量就大,所形成的SPDC 环就大。

Fig.3 Schematic diagram of type II frequency degenerate SPDC

4 频率正相关的纠缠光子态

4.1 自发参量下转换生成的双光子态

通过SPDC 生成的纠缠双光子,在满足能量守恒时,有ωi+ωs=ωp。若抽运光为单频的连续光,由于抽运光子的频率ωp是固定的,所以信号光子和闲置光子频率反相关,且纠缠达到最大。频率纠缠源于各种方式的量子叠加,在这种方式下,能量的束缚由属于某个频率区间的信号光子和闲置光子来满足。该频率区间由非线性晶体内的相位匹配函数控制,相位匹配函数由非线性晶体的长度和相位失配(沿其主光轴的折射率)决定。非线性晶体输出的纠缠双光子态为[8]

式中相位匹配函数为

相位失配量为

式中kr(ωr) ≡ωrnr(ωr)/c, (r = p,s,i)为抽运光子、信号光子、闲置光子的光波数。当Δk(ωs,ωi) = 0 时,满足动量守恒定律即相位匹配条件,这时SPDC 的效率达到最大。在这种情况下(5)式为

当非线性晶体SPDC 过程中生成光子对频率简并时, 信号和闲置光的中心频率位于抽运光中心频率的一半[9], 设信号和闲置光的中心频率为Ωs、Ωi, 简并情况下有Ωs= Ωi= ¯Ω, 抽运光的中心频率为Ωp=Ωs+Ωi,所以Ωp=2¯Ω,由此(6)式在中心频率可以写为所以要求非线性晶体满足(7)式的折射率要求。

抽运光线性函数

式中σp为抽运光的频谱宽度。

SPDC 生成的双光子联合光谱为相位匹配函数和抽运光线性函数乘积的平方[10],可表示为

式中S(ωs,ωi)可以看作光子频率的概率分布,体现了联合光谱的强度。直接测量双光子联合光谱,并将其与双光子的频率纠缠特性联系起来,可实现纠缠量化。联合光谱S(ωs,ωi)对其中一频率积分可得到另一频率所对应的光谱函数。

将频率写成对应光场中心频率Ωr与对应光场频偏量(差分频率)vr的和的形式,即ωr=Ωr+vr(r =p,s,i)。将光波数写为kr(vr)=(Ωr+vr)nr/c 并按级数将其展开,忽略二阶及以上项,得[11]

式中Kr为展开式的常数项,满足动量守恒定律(Kp−Ks−Ki=0);µ(Ωr)为沿非线性晶体传播对应光场的光束在中心频率Ωr处测得的群速度。

重写相位失配量即(5)式,将其表达为差分频率vr的函数,即

式中vp= ωp−Ωp= ωs+ωi−Ωp;v−= vi−vs= ωi−ωs+Ω;Ω = Ωs−Ωi为信号光和闲置光中心频率的偏移量;D 为闲置光与信号光在晶体中的逆群速度之差,其与µr(Ωr)之间的关系为D=1/µi(Ωi)−1/µs(Ωs)。D+为信号光和闲置光在晶体中传播的平均逆群速度与抽运光传播的逆群速度差,可表示为

因此相位匹配函数(4)式可以写为

在输出频率简并的情况下,即Ω=0 时,Ωs= Ωi= ¯Ω,又因为Ωp= Ωs+ Ωi,所以Ωp=2¯Ω,此时

由(14)式可得相位匹配函数Φ(ωs,ωi)与信号光差分频率vs和闲置光差分频率vi的关系为

以同样的方式可得抽运光线性函数为

在频率简并的情况下,将(15)、(16)式代入(9)式得到双光子的联合光谱函数为

4.2 扩展相位匹配条件下生成频率正相关的纠缠光子态

如果非线性晶体除了满足常规的相位匹配条件(Δk = 0),还满足群速度条件(信号光和闲置光在晶体中传播时的平均逆群速度等于抽运光传播的逆群速度),即

此时,双光子联合光谱为

根据频率一致纠缠源的判据[12],通过比较纠缠光子对的信号光子与闲置光子频谱之和的频宽ΔΛ+和信号光子与闲置光子频谱之差的频宽ΔΛ−的大小可判断频率的关联特性。在双光子联合光谱上,ΔΛ+为联合光谱图形在正对角线vs= vi上的频率宽度即Δvc(双光子联合光谱的频率宽度,即联合光谱图形在vs= vi轴上的频率宽度),ΔΛ−为联合光谱图形在负对角线vs= −vi上的频率宽度。若ΔΛ+<ΔΛ−,则双光子为频率反相关;若ΔΛ+=ΔΛ−,则双光子为频率不相关;若ΔΛ+>ΔΛ−,则双光子为频率正相关[10]。

当抽运光是单色的连续光(σp→0)以及非线性晶体很短时,ΔΛ+< ΔΛ−,产生的纠缠双光子频率相关特性是由抽运光线性函数决定的,由(20)式可以看出其为差分频率之和(vs+ vi)的函数,双光子频率呈反相关。而当抽运光是宽带(多个频率)的脉冲光以及晶体的长度比较长时,ΔΛ+>ΔΛ−,产生的纠缠双光子的频率相关特性由相位匹配函数决定,在频率简并且满足扩展相位匹配条件时,相位匹配函数是差分频率之差(vi−vs)的函数,此时的纠缠双光子态是频率正相关的双光子态。

5 动量正相关的纠缠光子态

5.1 利用强聚焦过程生成动量正相关的纠缠双光子态

聚焦条件下的抽运光抽运非线性晶体,由SPDC 过程生成的动量纠缠双光子态可以写为[13,14]

式中E(qs+ qi)为抽运光线性函数,H(qs−qi)为相位匹配函数,可以表示为

其中纵向失配Δkz=kpz−ksz−kiz。

假设信号光和闲置光频率单一,纵向波矢在q=0 处的泰勒展开可以表示为[15]

考虑在Ⅱ型非临界相位匹配情况下,波矢失配可以表示为

由于SPDC 过程中动量守恒,有信号光和闲置光的横向动量之和等于抽运光的横向动量,所以其零阶泰勒展开是相位匹配的(kp−ks−ki=0),则沿z 轴的波矢失配(24)式可以写为

式中α=ks/ki。相位匹配函数(22)式改写为

以抽运光为基模高斯光束进行讨论,在非线性晶体中沿z 轴传播时其电场强度为[16]

式中径向距离的平方为ρ2=x2+y2,相位为φ(z)=−arctan(z/z0),波前半径为R(z)=z(1+z20/z2),束半径为ω(z)=ω0(1+z2/)1/2。(27)式可简化为

式中ξ ≡2z/b,b=2z0=ω0kp为抽运光在晶体中的共焦长度,z0为瑞丽距离,ω0为束腰半径。

在强聚焦情况下,束腰ω0很小。聚焦抽运光在动量空间的分布函数[对(28)式进行傅里叶变换]为

将(30)式代入(21)式,强聚焦情况下ω0很小,E(qs+qi)趋于常数。双光子态表示为

可以看出该情况下的双光子态为横向动量正相关。

6 量子雷达所用光源的设计

6.1 使用强聚焦脉冲抽运

2012 年,理论上提出了一种直接生成动量正相关的方法,其在SPDC 中选择合适的聚焦参数[18]。2015 年, 实验上实现了在周期性极化的钽酸锂(Periodically poled lithium tantalate, PPLT) 晶体中通过SPDC 实现动量正相关的纠缠双光子态。在较大的聚焦参数(即强聚焦的抽运光和长晶体)下,将生成动量正相关、位置反相关的光子对[19]。

如Fig.4 所示,将抽运光通过透镜扩束后,再对其聚焦,使其能量更加集中,光束的束腰更小。将强聚焦后的光束作为抽运源抽运非线性晶体。在非临界相位匹配的情况下可以避免空间走离现象,但其只适用某些特定的波长;采用准相位匹配(Quasi phase matching,QPM)技术也不存在空间走离现象,其基本思想是通过利用周期性改变的非线性系数对晶体折射率色散引起的波矢失配进行弥补。通过选择合适的极化周期,可以满足准相位匹配条件Δk = kp−ks−ki−gn=0, gn=n·2π/Λ 为补偿抽运光与信号和闲置光子对之间的动量失配的n 阶互易矢量,Λ 为晶体极化周期。在晶体后利用一个低通滤波器滤除其中的抽运光子,只允许生成的信号和闲置光子通过。

Fig.4 Schematic diagram of obtaining two-photon states by using strongly focused pump light

在晶体中纵向失配为:Δkz=kpz−ksz−kiz−gn,α=kp/(kp−gn)。通过调节晶体极化周期满足相位匹配条件[20,21]。一般gn≪kp,α ≈1,所以有横向动量qs=qi[18]。在该情况下重写相位匹配函数为

强聚焦后,抽运光的线性函数在动量空间可以看作一个常数。频带较宽的脉冲光抽运非线性晶体,在频率简并且满足扩展相位匹配条件的情况下,生成的双光子态为频率正相关的。因此,在滤波片后得到的双光子态关于频率和动量都正相关,该双光子态可以表示为

6.2 对纠缠双光子态进行数值模拟

在6.1 节的基础上, 即使用PPLT 晶体, 在抽运光的中心频率为457 nm 时, 考虑简并情况下, 即D+= 0,信号、闲置光子的逆群速度差D = 1×10−13s/mm,抽运脉冲光的频宽σp= 40 nm,束腰半径ω0= 10µm,ζ = L/(kp) =40.5 为聚焦参数,晶体长度L =5 cm,信号和闲置光的差分频率vs和vi在−5 ～5 THz 变化,横向动量qs和qi在−0.2 ～0.2µm−1范围内变化。

Fig.5 为在所给参数条件下,分别以频率[Fig.5(a)]和动量[Fig.5(b)]为变量的抽运函数、相位匹配函数以及联合双光子谱函数的数值模拟。 Fig.5(a)为当多抽运光是宽带的脉冲光以及晶体的长度较长时,产生的纠缠光子的频率相关特性由相位匹配函数决定,此时的纠缠双光子态关于频率呈正相关;Fig.5(b)所示为在所给条件下抽运函数的带宽远大于相位匹配函数的带宽,此时纠缠光子的横向动量正相关。所以得到的是一个关于频率和动量都正相关的双光子纠缠态。

Fig.5 Results of numerical simulation.(a)Frequency as variable;(b)Momentum as variable

7 结 论

对制备光子频率、动量的纠缠态进行了介绍,采用单色连续光抽运非线性晶体可以得到最大纠缠度的频率反相关纠缠双光子态,在宽频脉冲光抽运下,选择适当的非线性晶体可以得到频率正相关的纠缠双光子态;通过强聚焦抽运光也可以实现横向动量正相关的纠缠双光子态。在此基础上提出了运用强聚焦宽频脉冲光抽运适当长度的非线性晶体,在频率简并利用准相位匹配技术的情况下,获得频率和横向动量都正相关的双光子纠缠态,可以作为新型量子雷达的光源,更精确地获取目标信息。