回首过去 展望未来——严士健先生数学教育访谈录

刘晓曼 罗艺灵 保继光

(1.北京师范大学附属中学 100052；2.重庆南开中学 400030；3.北京师范大学数学科学学院 100875)

编者按严士健教授是一位在数论、概率论和数学教育等领域做出突出贡献的数学家和数学教育家, 曾担任过北京师范大学数学系主任、数学与数学教育研究所所长、中国数学会概率统计学会理事长、中国数学会副理事长兼教育工作委员会主任、国务院学位委员会数学评议组成员、国家教委高等学校数学与力学教学指导委员会副主任等职务. 上世纪90年代起，严先生开始关注我国中小学数学教育，先后担任过教育部《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》顾问、《普通高中数学课程标准(2003年版)》研制组组长，为我国的数学教育做出了突出的贡献. 《严士健谈数学教育》作为其数学教育观点的结晶广受读者称赞.

教育部于2018年1月16日颁布了《普通高中数学课程标准(2017年版)》，标志着历时四年的普通高中数学课程标准修订工作的结束，开启了数学课程以核心素养为目标的新征程. 上一次高中数学课程改革的十几年既有收获又有教训，为中国数学教育的发展积累了长足的经验.

我们有幸拜访到严士健先生，就过去数学教育的棘手问题和当下数学教育的热点问题进行了访谈. 与严先生的交流让我们受益匪浅，让我们站在更高的角度去看待和思考中国的数学教育. 同时，严先生心系中国数学教育的情怀深深地打动着我们. 经过整理，形成以下四方面的内容，与大家共享.

1 数学价值的三层面

新一轮数学课程标准中数学核心素养的提出顺应了时代的发展潮流. 在国务院常务会议上李克强总理曾强调过理论数学等基础学科对提升原始创新能力的重要意义. 他在会上说，“数学，特别是理论数学是我国科学研究的重要基础，无论是人工智能还是量子通信等都需要数学、物理等基础学科作为有力支撑. 我们之所以缺乏重大原创性科研成果，‘卡脖子’就卡在基础学科上了. ”他还指出：数学等基础学科研究要着眼于未来，但必须从教育抓起；要求教育部门和科技部门加强合作，以此营造良好氛围，让一批有志者能够潜下心来把‘冷板凳’坐热. 同时, 大学及一些重点基础研究院所要对理论数学等重点基础学科给予更多倾斜. 这是我国发展的长远大计，也说明国家开始重视数学以及数学基础研究.

数学的重要性归功于数学的价值，数学的价值可以从三个层面理解. 第一个层面是数学知识本身，作为知识分子，数学核心的理论知识是应该掌握的，这也是最基本的层面；第二个层面是数学知识的应用，比如，数学在工程、物理、计算机、经济、人工智能等领域的应用；这两方面李克强总理已经从根本原则讲清楚而且强调了. 数学价值最重要的层面就是数学对于一般群众在社会生活中素质的培养和提高，严先生认为目前数学这一层面的价值是最容易被忽视的，普遍的现象是，一个人如果参加工作的内容与数学无关，他就会把数学完全丢掉、忘掉，遇到问题时也不会想到找数学帮忙，但是人们能感觉到数学学习好的人，相对来说在生活上更能抓住问题的本质以及来龙去脉，更会发现问题之间的关系从而解决问题. 如果能将人们在日常生活中的表现与数学联系的现象普遍推广，那就不仅能普遍地提高人民群众的素质，而且对于全社会重视数学、促进国家数学及科学水平的发展具有巨大作用，下面深入探讨这(第三)个层面的问题.

严先生倾向从最后人们对所学课程中的知识、原理的掌握和对应用认同的层面来衡量学习成果，即从人在所学课程中获得的学识和修养能为之后的工作、生活等做出的贡献，亦即从真正的素养这个角度来衡量. 他认为任何一门学科都不应该和社会割裂开. 现在很多家庭为什么送孩子上学读书？简单来说就是认为读了书将来能挣更多的钱，实际上应该说孩子学到了知识，能够为社会做贡献，社会根据他的贡献给他报酬. 也就是说，孩子先凭借知识为社会做出贡献，然后才能挣到钱；不是学到知识，就自然可以挣到钱. 现在反而是倒过来了，人们普遍认为掌握了知识就一定能为社会做贡献，这是似是而非的，“掌握知识”是“为社会做贡献”的必要不充分条件，是为社会做贡献的前提. 严先生认为做教育就时常遇到这样的问题，知识竞赛类的节目层出不穷，并且深受广大观众的喜爱. 知识竞赛这种以知识问答、知识比拼为主要内容的比赛把单纯的知识看的太重要了. 试问，数学中学生仅仅知道“三角形三条中线交于一点”这一知识点又能怎样？不知道又会怎样？更不用说微积分、微分方程等更高深的数学知识. 现在有些事情倒过来了，单独把知识的获得独立于社会，并作为一种评价标准，成为获得社会支持与报酬的一个理由.

2 让数学走进文化传统主流

数学作为基础学科，极大地促进了社会的发展和民族复兴，但是数学甚至科学重要性的具体体现，除了它在科学技术方面的巨大作用以外，在社会生活中的广泛重要性并不是大众群体很容易看得见的，也不是简简单单就能阐述清楚的. 比如数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析这六大核心素养，如果没有扎实的数学知识储备、适当的数学修养和正确的认识是很难体会和掌握的，但即使这样，严先生认为我们也应该让学生以及大众感受到数学的重要性. 这个事很难！但是有解决的途径，那就是我们整个社会、整个民族应该重视数学，换句话说就是让数学融入我们的文化传统主流.

中国和西方在文化传统的根本出发点、基本思维方式上有根本的不同. 著名数学家陈省身认为：“人往往从两个方面思考自己在世界上的位置：人和自然的关系以及人与人之间的关系. 西方多考虑人和自然的关系，而中国人多考虑人与人之间的关系，西方人讲人与自然的关系，人要改造自然，就要求社会和自然不断地变化、进步，这样就造成了社会的不稳定. 中国的孔子、儒家主要讲人际关系、讲稳定，不愿讲自然的基本规律以及人和自然的关系，想不到、也不鼓励讨论这些问题. 所以在科学、哲学方面的发展不多，即使有，也多在应用方面.”[1]古希腊和文艺复兴以后，西方的文化传统中把数学看作关键点之一，而数学在中国固有的文化传统中是没有地位的，即使在现代，数学在中国也更多的被看作是一门技术科学甚至只是一门有用的工具课程. 下面就拿中国和西方固有的文化传统做一下比较.

中国古代数学发展得很好，有很多突出的成就. 第一部数学专著《九章算术》标志着中国古代数学完整体系的建构. 祖冲之(429—500)最早把圆周率π精确计算到小数点后七位，比西方早一千年. 中国古代数学有优良的算法传统，但是没有发展成完整的数学理论体系，这固然和当时的统治阶级不重视数学科学有重大关系；同时也和我国古代数学发展到一定阶段后，没有抓住其中一些规律性的问题深入探讨、没有上升到逻辑体系有关，以至中国古代数学缺乏进一步发展的坚实基础. 另一方面，由于数学没有形成逻辑体系，条理不是很清晰，因而比较难于理解，比较难学. 优秀著作《缀术》的失传就是一个例证，史书记载该书在唐朝曾被列为算学科目的教材，但到后来“学官莫能究其深奥，是故废而不理”. 数学在中国古代只是一些有兴趣学者研究的对象，在社会上只是一些简单问题的应用，其在文化中的地位是不受社会重视的，出版的数学书也少得可怜. 虽然唐朝曾经在科举中设有明算科(以后没有)，但是社会上几乎没有称道过谁是数学家. 数学家在正史中只有祖冲之一人有传，并且也不是因为他数学家的身份. 中国伟大数学家刘徽(约225—约295)连生卒年月都不清楚. 凡此种种，可见中国古代数学(其实其它自然科学也一样！)在文化上并没有进入中国文化主流，没有社会地位.

如果我们站在历史长河的尽头，从宏观上回顾西方数学的发展，就会看到其“周期性”的发展规律. 而恰恰第一个周期就是“从实践中提出问题——解决问题——积累知识——形成有结构的算法，然后在这个基础上，找出基本出发点，形成逻辑的演绎体系，使得数学的理论与应用相结合”. 从埃及、巴比伦时期到古希腊末期欧几里德(Ευκλειδηζ，公元前330—公元前275)《几何原本》体系的形成都是这样一个周期. 这其中与我国古代数学的一个显著不同就是哲学与逻辑对数学的渗透以及在研究自然现象中的应用. 然后在此基础上，以更高级的方式，再进行类似周期性的发展.

从文艺复兴到17、18世纪，西方数学得到了蓬勃发展. 首先是哲学家笛卡尔(René Descartes，1596—1650)以其深刻的思想，在发展哲学的同时，发明了解析几何(费马(Pierre de Fermat，1601—1665)也独立地发明了). 随后牛顿(Isaac Newton，1643—1727)、莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716)独立地发明了微积分. 微积分的出现，几何、代数的继续发展加之微积分的促进，使得新的数学分支和方法不断发展，形成更加丰富、完整的学科体系，到19世纪微积分的严格化直至20世纪前半期纯粹数学的空前发展，使得数学进入了更高级、现代化的发展周期. 数学自身迅速、系统发展的同时，也推动了科学、技术的发展，进而促进了工业的建立和发展，而且其思维方式影响到了经济、政治以及社会生活的各个方面(下面还将就这一方面加以说明). 还有一些“细节”值得一提，就是西方对数学人物的社会地位特别重视. 在英国，牛顿一直受到社会的极大尊崇，连死后英国的勋爵都为之抬灵；为了确定是牛顿还是莱布尼兹先发明的微积分，还进行了长期、公开、广泛的争论.

上述情况说明中国和西方数学在历史发展中的作用是不同的，对数学的尊重程度迥异；也充分说明历史上数学进入了西方的文化主流，但数学没有进入中国的文化传统主流，应该看到的是，即便是在今天数学也没有，或者说没有完全进入中国文化传统主流. 一般来说文化是包括科学和数学的，但是人们在专门谈论文化时(特别在社会活动或一般生活中)实际上是忽略科学和数学的. 在此严先生强调数学没有(准确地说是正在)进入我国文化主流是想说明，这种情况会影响数学在我国和社会发展中的作用以及影响我国数学教育的深入发展.

3 数学(特别是其思维方式)对西方社会生活的深刻影响

严先生没有谈论文艺复兴以后数学在西方巨大而系统地发展，以及它在促进和推动自然科学、技术方面广泛系统的影响和应用. 因为这些已广为人知而且被无数次论证，无需赘述. 而是着重谈了一些文艺复兴以后，数学及其思维方式在西方对其经济、政治以至群众的生活等诸多方面的深刻影响，严先生深知自己在这方面是外行，所谈的情况可能片面、零碎、不得要领甚至错误，但欢迎行家指教. 其目的是想着重说明，他对上述数学第三个层面价值所涉及的数学教育问题的思考，即应该在让学生扎实掌握数学基本知识、弄懂数学思想、关心数学应用以及所谓核心素养等方面的同时，还要关心数学(特别是其思维方式)对提高青少年在社会生活中素质的作用. 这应该是数学教育的一项重要任务，严先生更欢迎和有兴趣者研讨，使之具体化.

首先在德国，严先生认为马克思(Karl Heinrich Marx，1818—1883)是运用数学的思维方式从商品的特性、交换出发，分析出剩余价值(公理)，演绎出资本主义经济发展的过程和重要结论的. 实践证明，马克思的《资本论》是有生命力的，尽管其中一条数学定理都没有用到，却说明了数学思维的威力. 实际上，马克思对数学是爱好而且有研究的，他对数学有独到的见解，并且著有《数学手稿》，所以从此来看，这些伟大理论的诞生受到了公理化思想、数学思维的影响. 另外，人们经常说德国人普遍思维缜密、严谨，办事条理清楚，所生产的产品质量也比较好，因此人们认为他们整个民族的素质较高. 严先生认为这可能是受数学及其思维的影响，因为德国很尊重莱布尼兹，他把逻辑应用到数学中建立了数学体系. 另外，德国伟大的哲学家，如黑格尔(Georg Wilhelm Friedrich Hegel，1770—1831)，康德(Immanuel Kant，1724—1804)等也都很重视数学，德国人尊重他们就像中国尊重圣人孔子(公元前551—公元前479)一样，因而德国整个国家深受数学和哲学的影响.

其次法国，法国大革命的理性思维深受数学的影响. 伏尔泰(François-Marie Arouet，1694—1778)主张“人依其理性以认识自然，也依其理性以改造社会，发扬理性，就是推动历史；蒙蔽理性，就是阻碍进步”，把理性作为标准衡量. 著名的哲学家笛卡尔开拓了“欧洲理性主义”哲学思想，他的解析几何就是在《方法论》的三个附录之一《几何学》里讲的. 达·芬奇(Leonardo di ser Piero da Vinci，1452—1519)也很重视数学，曾说过“不是数学家请不要读我的基本著作”，他们的思想可能对法国以至欧州社会都有影响.

然后英国，英国的数学比较接近应用且受到重视. 这与英国十分尊重牛顿有关，牛顿被封为爵士. 牛顿利用数学思想从他归纳出来的著名牛顿三大定律出发，演绎出经典力学系统，并且他还希望把微积分用类似于欧几里得《几何原本》的方法表示出来.

最后在美国，《独立宣言》开宗明义地讲：“我们认为这些真理是不言而喻的：人人生而平等”. 这里直接运用了欧几里德原本的语气庄重地表述了他们的基本政治主张，可见对数学的尊崇，而独立宣言对美国立国的早期起到了很好的作用.

4 数学教育任重道远

严先生认为目前我国的基础数学教育有相当进步，也确实存在着一些问题，甚至是重大问题，相当多的数学教师只关心学生数学课本知识点的掌握情况，以学生的数学考试成绩为其工作目标，而没有把眼光放远一些——从培养学生将来成为社会有用人才的角度着想——数学教育最后还应该落实到学生核心素养的培养，让数学核心素养和扎实的数学知识、准确熟练的技能有机联系起来.

这就涉及到数学教育培养目标的三个层面，第一个层面是知识和技能的培养. 数学知识是硬的，任何数学教育都是首先以受教育者学会准确扎实的数学知识和熟练的演算、证明技能为目标，这是所有数学学习者的基本要求，也是文明社会成员在生活和工作中的必需. 只有具备了这个基础才能真正具备其它进一步的数学修养，但是数学知识并不只是知识点的简单记忆和直接运用，还应该了解问题的来源和解决问题的思路从而得到相应的结论、方法或公式以及运用的要诀，就是说要掌握数学知识的来龙去脉和思路，这也是《普通高中数学课程标准(2017年版)》强调数学核心素养的理由之一. 第二个层面是学生数学应用意识的培养. 现在的中学生相当多部分毕业后升入大学并不进入数学系，但是他们中大部分人将进一步学习数学并应用数学. 至于未来，随着社会现代化的发展，数学应用的范畴和深度必将空前地扩展，充分发挥数学的作用将大大加快社会现代化的进程，特别是提升我国在国际竞争中的地位，这就要求更多的人具有应用数学去解决实际问题的能力. 然而在实际的教学中，数学教师只能用简单的几个例子进行讲解，实际例子讲不了多少，否则影响正课，真刀真枪地讲应用是不可能的，但要让学生树立应用意识、应用信念，思考数学怎样去应用. 比如导数在力学中是速度，在经济问题中就是边际效益，即单位投资里的收益，还有密度，等等. 因此严先生认为在帮助广大接受数学教育的人员在学习数学知识的同时，树立应用数学的意识也很重要. 第三个层面，也是最难的层面，是通过数学教育培养人在生活、工作等各个方面中的一种思维和素养. 严先生认为数学发展的动力主要来源于人类认识自然以及人类社会活动中的各种计算需要，但同样不可忽视的是它的思维方式. 他认为，数学思维方式最简单的说法就是欧几里德几何的原则：从一组无矛盾的自明论断(公理)出发，运用逻辑逐个演绎出后面的论断(命题)，只要公理正确，该体系中的一切命题都正确. 演绎过程中，也可以添加与前面公理不矛盾的公理，由此形成论理体系. 现在社会几乎都没有意识到数学思维的重要性，一个人如果数学素养高的话，他在生活中碰到的问题即使不是数学问题，也能发现问题的本质，以及它与别的问题的关系，从而分析怎样解决.

下面的例子虽然不是数学知识也不是数学应用，但能很好地说明数学思维在生活中的重要性.2016年武汉发生特大洪水事件，其实两年前，国家就拨款100多亿修建排水系统，但是拨款没有花出去，这次又被洪水淹了.归根结底，那个地方原来是个湖，填湖建房本身就是问题.还有个例子就是贵州扶贫，驻村干部给老百姓提议养鸡生蛋，鸡苗很好，鸡在山上放养，环境也很好.一年后鸡蛋很多，但是卖不出去，这就说明干部虽然想的好，但是没有想到山里鸡蛋的销路.也就是说，人们总是只看一步，没有多看几步.其实不仅生活中的问题涉及到数学思维，政治决策中也涉及这种数学思维.据报道，某地政府有一次建楼房，建了好多套，结果却销售不出去，为什么呢？因为很多基础设施如学校、医院、商店附近都没有.简单一句话就是日常生活中要多看几步，虽然不是数学，但这是一种数学思维.

总之在数学教学中，数学教师要把数学的重要性解释出来. 社会也要花力量去认识“数学的重要性”. 从上一轮课程改革就开始强调数学的三个维度：知识与能力，过程与方法，情感态度价值观. 但是，如果数学知识掌握不好，情感态度价值观就是空谈. 学习数学知识总是讲究技巧，反而数学思维没理解，所以首先严先生强调数学的“来龙去脉”，数学不仅仅是知识点，我们更应该了解数学是怎样来的？数学问题是怎样来的？要解决什么问题？为了解决问题需要什么方法. 其次，严先生认为上次数学教育改革的过程并没有结束，核心素养的培养是以后的重点. 我们现在的弱点还是国家的数学水平，这方面要急于努力. 最后严先生觉得目前迫切需要解决的是提升数学在我国文化传统中的地位. 学的人把数学当做技术，社会上就会当做技术，而数学对于民族的整个发展、对于国家的实力、对于人的培养等都是有影响的，技术的训练远比对于人民素养的培养更容易些. 如果在社会上数学重要性被承认的不多，基础数学的研究就很难有所突破，所以我们的数学教育任重而道远.