基于学科核心素养的2019高考全国卷立体试题分析

宋建辉

(福建省福州格致中学 350001)

透过2019年高考全国3套试卷立体几何试题，读到了命题人对数学知识、数学思想以及数学核心素养考查的新理解、新思考，对即将实施的“文理不分科”新高考模式背景下的高中数学教学有积极的指导意义.总体而言，2019年的立体几何试题总体还是比较平稳的，但是也有明显的变化.具体来说体现在以下两个方面.

1 保持风格，突出重点

试题继续保持以往的全国命题风格和考查重点，考查空间点、线、面的位置关系以及线线角、线面角、二面角、空间向量的应用等基础知识、推理论证能力、空间想象能力和运算求解能力，并且文、理科试题有同也有别.

2019年全国3套试卷立体几何统计

从表中可以看出：

选填题，除全国1卷外，全国2卷和3卷文、理科试题相同，且题次也相同；考查的内容保持了全国卷的风格，如全国1卷理科的求外接球的体积，全国1卷文科的求点面距，全国2卷的面面位置关系的判定，全国3卷的异面直线的判定和计算两点间距离.

解答题，3套试卷文、理科试题背景一致，分别是直四棱柱、长方体、斜三棱柱(图形翻折)，且第1问3套试卷文、理科试题也一致，分别考查了线面平行、线面垂直、四点共面与面面垂直思维的证明，第2问均体现了文理科的差别，3套理科试卷集中考查了二面角的计算，文科试卷分别考查了几何体的体积和表面积的计算，全国1卷文科再次考查了点面距的计算，实质是体积法的应用，值得注意的是全国1卷和2卷均为直接求二面角的正弦值，回避了二面角锐角或钝角的判断“争议”问题.

2 稳中有变，突出素养

立体几何试题更加突出了对能力与素养的要求，比如向量法的应用，基本图形的理解，立体几何作图的要求等能力要求均有所提高，加大了立体几何的难度和重视程度.具体体现在以下几个方面：

(1)分值的变化

除全国2卷和3卷继续保持“两小一大”的传统风格外，全国1卷的文理科均只考查了“一小一大”，分值为17分，比以往少了5分，这种情况是全国卷历史上第一次出现，其中一个原因是新课程剔除了三视图的内容.

(2)题型的变化

2019年全国2卷文理科第16题，试题首次设计了两个空，从过去的一题一空发展到一题两空，目的是为了更精确地区分考生，从而分出了难度梯次，使得不同层次的考生都有展示自己的平台，加大了试题的区分度，也为文理合卷后的试题结构变化做了有益探索.

(2019年全国2卷理16文16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．

图1

图2

试题要求考生能根据条件作出正确的截面，将立体几何问题转化为平面问题，正确分析出图形中的基本元素及其相互关系，是立体几何教学的核心内容以及处理空间问题的核心方法之一.试题融数学文化于其中，侧重于知识的理解和运用，对立体几何的教学有积极的引导作用.

(3)难度的变化

难度的变化之一体现在题目的次序上.从上表的统计可以看出，2019年全国3套文理试卷均有一道立体几何试题在选填题“压轴”位置上，解答题的位置也有所变化，部分试卷的立体几何试题在解答题的第19题位置上，可以反馈出一个重要信息，命题者对于立体几何的重视程度.

难度变化之二体现在注重综合考查，关注知识交汇，深度考查数学思想和数学方法.

(2019全国1卷理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E,F分别是PA,AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

试题要求考生能根据条件推理论证出该三棱锥的线面特征，进而判断球心与三棱锥的位置关系，从而找到两者间的数量关系，进而将空间问题转化为平面问题来进行运算求解. 既考查了考生的推理论证能力、空间想象能力以及立体几何作图能力，也考查了考生的建模化归能力，深度考查了考生的数学核心素养.

由题意先画出图形，如图1所示，根据已知条件证明三棱锥P-ABC为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，这是解决问题的切入点、关键点.其次，利用补形法，如图2，将该三棱锥嵌入长方体，直接求得外接球的半径；或者利用重新“作图”，如图3所示，利用球的截面性质，确定球心与三棱锥的位置关系，进而求得球的半径，最终根据球的体积公式解决问题．

图1

图2

图3

立体几何问题总是以各种棱锥(柱)作为载体，考查线线、线面与面面的位置关系，而各种棱锥(柱)都可以由一个外接的长方体切割而成，因此找到对应的外接长方体(立方体)，就犹如搭好了脚手架，让问题的解决变得一目了然，正所谓“识得棱锥真面目，只缘身在立体中”.

(4)考点的变化

2019年全国3套文理科试卷在立体几何考查上，知识点宽度明显拓宽，“遗漏”的知识技能再次呈现. 如全国3卷的异面直线判断以及四点共面的证明，那些看似不考的内容被一部分教师忽视，但这次给了这些教师们一个警示，所谓的“遗漏”知识技能并不是不考了，教学与高考复习中不能存在“侥幸”心理.重视基础知识落实和数学基本技能、方法的灵活应用依然是当今新课改的主题思想.

(2019全国3卷理19文19)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．

图1

图2

(I)(文理同问)证明：图2中的A,C,G,D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(II)(理)求图2中的二面角B-CG-A的大小．(文)求图2中的四边形ACGD的面积．

本题考查考生对基本几何图形的变形、组合和折叠变换的想象、掌握程度.试题设置空间图形变换的情境，考查数学推理能力，主要考查考生的理性思维，题型基础性和综合性.

试题的命制是从矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC入手，将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连接DG，从而构建一个确定的空间图形.文理科背景一致，均有3个小问，其中两问不偏不难、中规中矩，而证明A,C,G,D四点共面是全国高考几乎没有考查过的内容，虽然不难，但也有不少学生不适应.

实质上该题是通过折叠前后图形中的某些位置关系的不变性，认识四点共面，证明它既可以根据基本事实1的推论“两直线平行确定一个平面”，也可以运用空间向量知识，通过向量运算来实现证明，该题给广大考生充分发挥和展示自己能力的机会.

(5)强调应用

强调应用是高考命题的指导思想之一，体现了新课标的“在玩中学、在学中思、在思中得”的新理念，既有利于培养考生的探究意识和创新意识，又能够很好地提升考生的数学核心素养.如全国3卷文理第16题是以学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型为背景命制的与空间几何体的体积有关的问题.

(2019全国3卷理16文16)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1，挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g．

本题一改以往直接求解空间几何体的体积的命题方式，以劳动实践为背景，考生只要认真审题，认真计算 ，就能得到正确的结果.本题主要考查考生应用基本图形的相关知识解决实际问题的能力，考查了直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养，也是近年来少有的将立体几何与实际问题相结合的应用题.

(6)凸显选择性

笔者研究发现，2019年全国3套试卷的立体几何试题，无论理科试题还是文科试题，基本上都既能运用综合(几何)法推理论证解决，也可以运用向量法计算求解解决，充分体现了起点低、入口宽、有梯度的特点，给广大考生充分发挥和自主选择的机会.

(2019全国3卷理8文8)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则

A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线

D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

所以BM≠EN.

连接BD,BE，因为N为正方形ABCD中心，所以N在BD上，且BN=DN，所以BM,EN是△BDE的中线，所以BM，EN是相交直线，故选B.

解法3：将图形补成长方体，如图所示.设AB=2，则ED=EC=2.

由于每种方法都可以归结为原理选择的不同，从而对应逻辑推理能力、空间想象能力和运算能力的难度也不尽相同.若用几何法，则凸显空间想象能力；若用建立空间直角坐标系的代数法，则凸显运算能力；若用补形法，则凸显了对基本图形的深刻理解，体现了数学建模思想和意识，这说明试题命题者充分尊重学生个体差异，求同存异，体现公平性原则，也体现了高中数学核心素养的本质.

3 教学启示

通过以上分析，我们可以得到如下教学启示.

3.1渗透立体几何研究方法 发展直观想象的数学素养

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养.在立体几何的教学中，认识基本立体图形，认识基本图形的位置关系，发现和探索直线、平面平行(垂直)关系的判定和性质等过程中，要立足从整体到局部，从一般到特殊，构建立体几何的研究路径，渗透立体几何的研究方法，发展学生直观想象的数学素养.

3.2 重视“基本图形”的作用 形成完善的知识与思想方法体系

立体几何问题，对于学生来说，总感到图形线条多，又处在不同平面内，难以发现要素之间的关系.实际上，空间图形有一些简单的“基本图形”，把这些基本图形的组成元素的位置关系搞清楚了，再解决其它问题时，就很容易排除干扰，提炼出本质特征来.因此，教学中要重视基本图形的作用，立足从“基本图形”到“变式图形”再到“综合图形”，尤其要特别关注长方体这一最基本的立体图形，充分发挥它在研究立体图形及其位置关系中的作用，从而形成完善的知识与思想方法体系.

3.3 循序渐进地安排推理训练 发展逻辑推理的数学素养

逻辑推理是数学素养的核心，立体几何则是发展学生逻辑推理素养的重要载体，而立体几何定理的掌握和理解是推理论证的保障.

立体几何定理的学习既需要理解，也需要记忆，记住定理是运用定理的基础.但是，当下学生对几何定理记忆的意识和习惯比较差，许多学生到了高三仍对立体几何的基本定理说不清楚，谈何运用.因此，对立体几何定理教学在重视理解的同时，还要强化表述和记忆，特别是“三种语言”—文字语言、符号语言、图形语言之间的灵活转换. 以笔者之见，文字语言有助于记忆，符号语言有助于推理过程的正确书写，图形语言有助于从复杂问题情境中提取定理的基本模型，从而发展逻辑推理的数学素养.

3.4 重视向量法的过程性教学 提高数学运算的数学素养

向量的核心价值就是向量的运算，向量法就是通过向量的运算研究空间基本图形的位置关系和度量关系.在向量运算以及运用运算解决几何具体问题的教学过程中，应立足让学生理解建立在这些运算对象上的各种运算及其运算律的内涵及其背景、作用，在横向联系与比较中感悟“运算”的本质，体会并领悟运算律在处理运算中的价值与意义，在借助直观、经验构建运算思路，设计运算程序，实施运算获得正确结果的过程中，提高运算技能与能力，体会与领悟运算对于问题解决的价值与意义，提升数学运算素养．

2019年高考全国3套试卷的立体几何试题，粗看与往年的试题是“一样的风景”， 但命题稳中有变，立意鲜明，体现了“考知识，重推理，注运算，显素养”的命题原则，并且文、理科难度有“接近”的趋势，对即将实施的“文理不分科”新高考模式背景下的高中数学教学有积极的指导意义，也是在为今后新高考方案——数学“文理合卷”作铺垫.