对“切线法”证明不等式的一种新拓展

储百六

(安徽省岳西中学 246600)

定理1(1)若f(x)在区间D上二阶可导,且f″(x)>0，则对任意x,x0∈D，有f(x)≥f′(x0)(x-x0)+f(x0)；

(2)若f(x)在区间D上二阶可导,且f″(x)<0，则对任意x,x0∈D，有f(x)≤f′(x0)(x-x0)+f(x0).

该结论较为常见，故将证明略去.

注(1)(2)的几何意义是凸(凹)函数的图像在其切线的上(下)方.

证明(1)因为f(x)为凸函数，由定理1知，对任意xi,yi∈D，有

f(xi)≥f′(yi)(xi-yi)+f(yi)，

于是aif(xi)≥aif′(yi)(xi-yi)+aif(yi)，

将这n个式子累加可得

(2)可类似证明凹函数的情况，此处略.

下面举例来说明这种方法，相信读者能从中得到启发.

证明令f(x)=xn，当n<0或n>1时，

因为f″(x)=n(n-1)xn-2>0，

于是f(x)在(0,+∞)上为凸函数，

依照定理2，下面寻找一组正数yi，

当01时相类似，此处略.

注例1与郭要红老师在文[3]中用Hölder不等式得到的推广3结果一致.

例2设x,y,z均为正实数，k0为方程2xyzk3+(x2y2+y2z2+z2x2)k2-x2y2z2=0的正根，则对于任意△ABC，有

xsinA+ysinB+zsinC

证明令f(x)=sinx,x∈(0,π)，

因为f″(x)=-sinx<0,

由定理1可知对X,Ai∈(0,π),

sinx≤cosAi(X-Ai)+sinAi，

所以xsinA≤xcosA1(A-A1)+xsinA1，

ysinB≤ycosB1(B-B1)+ysinB1，

zsinC≤zcosC1(C-C1)+zsinC1；

令xcosA1=ycosB1=zcosC1=k0且

A+B+C=A1+B1+C1=π，

由三角形中熟知的恒等式

cos2A1+cos2B1+cos2C1+2cosA1cosB1cosC1=1

令g(k)=2xyzk3+(x2y2+y2z2+z2x2)k2-x2y2z2，

显然g(k)在(0,+∞)上为增函数，

又g(0)=-x2y2z2<0，

g(x),g(y),g(z)均大于0，

由零点定理可知存在符合条件的唯一正根k0，

且k0

于是将上述三个不等式相加可得

xsinA+ysinB+zsinC

≤xsinA1+ysinB1+zsinC1

注本题是2011年大学生数学竞赛试题的推广，原题为：“在△ABC中，求3sinA+4sinB+18sinC的最大值”.在文[4][5][6]中给出了它的其它各种证法，也用柯西不等式给出了它的另一推广，但配凑需要很好的技巧，读者可自行查看.

例3在△ABC中，求证：

证明当C为钝角时，显然成立.

当C为锐角时，考查函数f(x)=lnsinx,g(x)=lnsin 2x的凸性，

因为f″(x)=-(1+cot2x)<0,

g″(x)=-4(1+cot22x)<0，

A+B+C=x1+x2+x3=π，

由三角形中常见恒等式

tanx1+tanx2+tanx3

=tanx1tanx2tanx3

可得

所以 lnsinA+lnsinB+lnsin 2C

≤lnsinx1+lnsinx2+lnsin 2x3，

于是 sinAsinBsin 2C

注此不等式来自文[7]，利用此方法还可类似证明出文[6]中的另外两个不等式：

(1)在△ABC中，有

(2)在△ABC中，有

读者可自行证之.

例4已知a,b,c为正实数，求证：

证明设f(x)=lnx，因为

由定理1可得对任意x,xi∈(0,+∞)，有

x1+x2+x3=a+b+c，

代入上述三个不等式再累加可得

(a+b)lna+(b+c)lnb+(c+a)lnc

≤(a+b)lnx1+(b+c)lnx2+(c+a)lnx3,

从以上例子中可看出，本文的方法极大的拓展了切线法，使其不仅可解决对称不等式问题，也可解决不对称的不等式问题.此法非常类似于拉格朗日乘数法，能将多元函数的极值问题转化为解方程组的问题，将不等式转化为等式来解决.