人教版与沪教版初中数学教材函数例题难度比较研究

计双艳 刘云

教材作为课程的载体与教师教学、学生学习的一个范本，愈来愈影响和决定着教学教育的质量。教材中的例题作为初中数学教材的三大组成部分(正文、例题、习题)之一，承载着示范知识和技能、传递思想和方法、分析综合检验和运用的作用[1]，是联系教材正文和习题的桥梁，它的设置情况和难易程度将对教学和学习产生影响。而函数是“数与代数”的重要内容，也是义务教育阶段学生比较难理解和难掌握的数学概念之一，函数例题的难易度设置，对于学生学习及教师教学尤为重要。目前人教版教材是使用最为广泛的教材之一，它是在教育部制定的《义务教育数学课程标准(2011年版)》的指导下编写的教材；而沪教版教材仅仅在上海使用，是上海市教育委员会以国家基础教育的相关文件为基础，结合本市教育发展的需求颁布了《上海市中小学数学课程标准(试行稿)》，并以此标准为指导编写的教材。考虑到两个版本的教材分别以不同的标准文件为指导进行编写，而上海市学生在历年国际学生评估项目(PISA)测试中取得了较好的成绩，研究认为通过对这两个版本初中数学教材例题的比较，可以为教材的修订以及广大初中学校的教材选取带来数据支持。因此，以初中数学教材函数的例题为例，采用鲍建生构建的初中数学题综合难度模型为研究工具，对人教版与沪教版初中数学教材函数的例题难度进行比较研究。

一、研究设计与结果分析

(一)研究对象

人教版和沪教版初中数学教材函数内容主要包括：一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，它们在教材中的分布见表1。

表1函数在人教版和沪教版初中数学教材中的分布

版本教材出版社出版时间内容人教版义务教育教科书八年级(下)义务教育教科书九年级(上)义务教育教科书九年级(下)人民教育出版社2013年第十九章 一次函数(19.2.1 正比例函数;19.2.2 一次函数)第二十二章 二次函数第二十六章 反比例函数沪教版九年义务教育课本八年级(第一学期)(试用本)九年义务教育课本八年级(第二学期)(试用本)九年义务教育课本九年级(第一学期)(试用本)上海教育出版社2007年第十八章 正比例和反比例函数第二十章 一次函数第二十六章 二次函数

选取人教版和沪教版初中数学教材函数章节的全部例题进行比较研究。人教版初中数学教材中函数章节的例题用 “例”或“例×”明确标识，沪教版初中数学教材中函数章节的例题用 “例题”或“例题×”明确标识。

(二)研究方法

采用鲍建生建构并由王建磐等修订的初中数学难度综合模型为研究工具，以定量和定性相结合的方法对人教版和沪教版两个版本的初中数学教材函数内容例题设置的难度进行比较。

(三)研究工具

2002年，鲍建生在其博士毕业论文中建构了“五难度因素多水平”的综合难度模型，于2009年正式出版《中英初中数学课程综合难度的比较研究》[2]，该模型得到学界的广泛认可和运用，常常被用来对课程、例题、习题的难度进行比较研究。2014年，王建磐、鲍建生[3]对鲍建生建构的“五因素多水平”的综合难度模型进行修正，在保留背景、运算、推理、知识综合四维度综合难度因素的基础上，根据青浦实验得出的数学认知水平框架，对数学认知难度因素进行细化，最终得到修正后的难度模型，见表2。

表2数学习题的难度因素与水平

难度因素等级水平1234A背景无背景个人生活公共常识科学情境B数学认知计算—操作概念领会—说明分析—探究C运算无运算数值运算简单符号运算复杂符号运算D推理无推理简单推理复杂推理/E知识综合一个知识点两个知识点多个知识点/

采用新修正后的综合难度模型对人教版和沪教版初中数学教材例题的综合难度进行比较研究。在上述框架的基础上，根据鲍建生综合难度计算公式，对每个因素进行量化，分别得到两套初中数学教材例题在五个因素上的加权平均值，计算公式为[4]：

其中，di(i=1,2,3,4,5)依次分别表示“背景”“数学认知”“运算”“推理”“知识综合”五个难度因素上的第i个难度因素上的加权平均值，dij表示第i个难度因素的第j个水平的权重，nij则表示这组题目中属于第i个难度因素的第j个水平的个数，其总和等于该组题目的总数n，即：对任何i，都有∑jnij=n。

(四)研究过程

1. 编码

为了提高分析过程的效率及研究结果的准确性，现将表2数学习题的难度因素和水平中的难度因素和等级水平进行标记：(1)难度因素：背景—A，数学认知—B，运算—C，推理—D，知识综合—E；(2)等级水平：1、2、3、4分别表示该难度因素下所包含内容由易到难的程度。

2.统计编码结果

依据表2数学习题的难度因素和水平划分框架，对人教版和沪教版两个版本初中数学教材中函数内容的所有例题进行分析、编码和统计，再根据难度因素加权平均公式，分别计算人教版和沪教版两个版本教材在各难度因素上的加权平均值，最终得到人教版和沪教版初中数学教材函数例题在各难度因素上的量化数据，见表3。

表3人教版和沪教版初中数学教材函数例题在各难度因素上的量化数据

难度因素等级水平人教版沪教版题量百分比/%题量百分比/%A—背景无背景1359.093772.55个人生活313.6423.92公共常识522.731223.53科学情境14.5400A加权平均1.731.51B—数学认知计算—操作1860.002433.33概念930.004055.56领会—说明26.6779.72分析—探究13.3311.39B加权平均1.531.79C—运算无运算311.5447.41数值运算13.8511.85简单符号运算2284.614888.89复杂符号运算0011.85C加权平均2.732.85D—推理无推理1979.173969.64简单推理416.671425.00复杂推理14.1635.36D加权平均1.251.36E—知识综合一个知识点1568.182039.22两个知识点418.181223.53多个知识点313.641937.25E加权平均1.451.98

(五)研究结果

对表3从背景、数学认知、运算、推理、知识综合五个因素分别对人教版和沪教版初中数学教材函数例题的量化数据进行分析。

1.背景

整体而言，在“背景”因素上，人教版和沪教版初中数学教材函数例题在各水平上设置较相似。在“无背景”水平上，两个版本教材的例题大部分都不含背景素材即采用纯数学语言设置例题，其中沪教版教材中无背景的例题所占比例多些；在“个人生活”水平上，沪教版教材例题的设置比例明显低于人教版教材；在“公共常识”水平上，两个版本教材例题的设置比例大致相当；在“科学情境”水平上，人教版教材例题占4.54%，沪教版教材例题不涉及。

2.数学认知

整体而言，在“数学认知”因素上，人教版和沪教版初中数学教材函数例题在各水平上差异较大。在“计算—操作”水平上，人教版占60%，而沪教版占33.33%，说明人教版更加重视对学生计算能力的培养；在“概念”水平上，人教版占30%，沪教版占55.56%，这说明沪教版教材更加重视对学生概念理解能力的培养，对学生的数学思维及能力有更高的要求，这也体现了沪教版教材编制所具有的特色；在“领会—说明”和“分析—探究”两个水平上，两个版本教材例题设置比例相当。

3.运算

整体而言，在“运算”因素上，人教版和沪教版两个版本初中数学教材函数例题在各水平上设置较相似，且两套教材都在“简单符号运算”水平上设置的例题较多，所占比例分别都超过了80%，这也比较符合数学课程设置的基础性原则，即重视培养学生的数学基础。

4.推理

整体而言，在“推理”因素上，人教版和沪教版两个版本初中数学教材函数例题都呈逐渐下降的趋势，两个版本的教材例题在“无推理”水平上，所占比例分别都超过65%。在“简单推理”和“复杂推理”水平上，沪教版教材的例题分布比例略高于人教版教材，但两者差距较小。

5.知识综合

整体而言，在“知识综合”因素上，人教版和沪教版两个版本的初中数学教材例题所涉及的知识点差异较大，但两者在“一个知识点”水平上所占比例都较大。在“一个知识点”水平上，人教版教材所占比例超过65%，沪教版教材所占比例仅有39.22%；在“两个知识点”水平上，两个版本教材设置比例相当，沪教版所占比例略微高于人教版教材；在“多个知识点”水平上，人教版所占比例为13.64%，沪教版所占比例为37.25%，这说明沪教版教材函数例题在整体水平上难于人教版教材。

6.例题的综合难度

根据表3计算得出的人教版和沪教版初中数学教材五个难度因素的加权平均值，由此绘制出人教版和沪教版函数例题综合难度的直观模型，见图1。

图1 人教版和沪教版函数例题的综合难度比较

整体而言，沪教版初中数学教材函数内容例题的综合难度要高于人教版，具体体现为人教版教材例题仅在“背景”因素上略占优势，而沪教版教材例题难度在“数学认知”“运算”“推理”和“知识综合”四个因素上均高于人教版教材的例题难度。人教版和沪教版两个版本的教材都较侧重于“运算”因素，这显然与两个版本教材在函数内容的设置上有紧密的联系。人教版和沪教版两个版本教材的函数内容包括一次函数、二次函数、正比例函数和反比例函数，主要包含的知识点是函数的图象和性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性)及实际问题方面，以上知识点主要是通过数值运算进行考查。因此，人教版和沪教版两个版本的初中数学教材函数内容例题的综合难度偏向“运算”因素。

二、结论与启示

(一)结论

通过对人教版和沪教版初中数学教材函数内容的例题难度的比较研究，得出以下结论。

(1)沪教版初中数学教材例题的综合难度要高于人教版教材。

(2)人教版教材例题仅在“背景”因素上略占优势，而沪教版教材例题难度在“数学认知”“运算”“推理”和“知识综合”四个因素上均高于人教版教材的例题难度。

(3)人教版和沪教版两个版本的教材都较侧重于“运算”因素。

(4)在“运算”因素上，两者整体设置趋势一致，各水平间差异较小，且两者在内容设置上都较偏重于设置“简单符号运算”水平的内容。

(5)两者在“背景”“推理”因素上各水平间存在一定的差异，但整体设置趋势一致，且两者在内容设置上都较偏重于设置“无背景”和“无推理”水平的内容。

(6)两者在“数学认知”“知识综合”因素上各水平间差异较大，在“数学认知”因素上，人教版较注重设置“计算—操作”水平的内容，而沪教版较注重设置“概念”水平的内容，两者在例题内容的设置上侧重点完全倒置；而在“知识综合”因素上，虽然两者整体趋势差异较大，但其重点都偏重于设置“一个知识点”水平的内容。

(二)启示

(1)选取有意义的例题背景素材，让学生既能学习数学知识又能增添个人常识，提升学生学习及教师教学的效率。

例题是数学思想和数学方法的集中体现，为教师练习知识、示范书写、提炼数学思想方法和学生模仿学习提供巨大作用，而例题的背景素材在很大程度上吸引学生学习的注意力及兴趣，因此例题背景素材的选取具有重要作用。从函数例题的综合难度模型可以看出，人教版教材在例题背景的选取方面涉及的知识面较广，不仅涉及纯数学符号、学生的个人生活，还涉及公共常识和科学情境，从而使学生学习完本节内容后收获的不仅是数学知识本身，还有自己对生活的认知，提升教育的质量。

(2)适当增加变式题，让学生能灵活运用例题。

通过对人教版和沪教版两个版本初中数学教材函数内容例题难度比较，发现两个版本教材例题的设置都较基础，都是以“无推理”“简单符号运算”等为主，建议在进行教材例题设置时可适当增加部分变式题，让学生能灵活运用知识和课本，提升学生的思维高度，而不仅仅停留在模仿学习层面。