从差距分析谈《数学分析》的对分教学

常健 高丽

摘 要：本文介绍了学生在学习过程中，从学习起点到目标的差距类型。以数列极限的内容为例，探讨了对分课堂在《数学分析》课程中跨越各类差距的策略。

关键词：对分课堂;数学分析;差距分析

一、《数学分析》课程介绍

《数学分析》是高校数学类专业重要的一门专业基础课，是连接初等数学与高等数学的桥梁，是进一步学习实变函数、复变函数、泛函分析、微分方程、概率论、微分几何以及数值分析等后继课程的阶梯。

课程的教学目标是使学生获得函数的极限理论、一元函数微分学和多元函数微分学、一元函数积分学和多元函数积分学、反常积分、无穷级数等方面的理论知识。并在学习知识的过程中，训练学生的计算能力、思维能力、逻辑推理能力、应用所学知识的能力、创新能力以及独立工作能力，逐步培养学生良好的数学素养。

当前，学生学习这门课程存在的问题有：与中学数学相比，教学内容较抽象，概念、定理多;数学推理遵循的原则有很大的区别;课程进度快，习题难度大;教师监管与中学不同等等，这些因素使得数学分析学习比较枯燥、无味、难学;学生的学习积极性不高，动力不足，兴趣不浓及畏难情绪普遍存在。

二、差距类型

学习《数学分析》的过程，起点就是学生从高中步入大学阶段的状态，终点是通过课程的讲授与作业的练习，使学生正确理解《数学分析》的基本概念，清楚基础理论，掌握命题的论证方法，获得基本的演算技能，并具备初步的应用能力和解决问题的能力。差距就是学生当前的起点和希望到达的终点之间的距离。

学生存在的差距类型有：（1）知识差距，掌握了知识才能使学生进行有效学习，拥有知识只是学习的第一步，只有在学生使用这些知识分析问题，解决问题时，才能使知识本身具有意义。（2）技能差距，学生从书本或课程里获得知识，但没有获得实际练习和发展技能的机会，学生只有通过训练才能掌握一项技能，而且练习應该是学生学习过程的一部分。（3）动机差距，如果学生知道应该如何去做，但却不愿意去做，这就是动机差距。有很多原因导致动机差距的，有的是学生没有真正地认同其学习的结果或目标;有的是由于对变化的焦虑;有的是学生不想努力;有的是学生缺乏引导自身成功的规划等。（4）习惯差距，习惯是一种经常遵循从而形成自然的后天行为，且并非与生俱来。习惯的养成不容易，而一旦养成，便有很强的惯性，改变更加不易。习惯的养成通常需要实践和反馈。（5）环境差距，环境差距会有许多不同的表现形式，例如，当学生在自己的学习环境，是否能够得到相应的支持，如学习内容，参考资料和辅助工具？学生是否有所需要的相关资源以及技术？学生是否能够从改变中得到相应的鼓励和奖励？改变会随着时间的推移而增强吗？（6）沟通差距，是指无法准确清晰地传达目标，找不到正确的方向和指示。

三、对分课堂

2014年复旦大学心理系张学新教授，融合了讲授式课堂与讨论式课堂的优点，提出了称为“对分课堂”的教学新模式。其核心理念是把课堂一半的时间分配给教师讲授，另一半分配给学生以讨论的形式进行交互式学习，将教学在时间上分离为清晰的三个过程：讲授（Presentation）、内化吸收（Assimilation）和讨论（Discussion）。因此，“对分课堂”也可简称为PAD课堂。

对分课堂是四元教学，即讲授、独学作业、讨论和答疑。对分的讲授原则主要是精讲和留白，对分的精讲就是指框架、重点和难点，提供方法、技巧与策略，让学生能够更为有效地完成课后学习。作业是讲授之后知识的巩固以及小组讨论的准备环节，它的目的是引导和督促学生课后有目的地复习，理解基本内容，补充留白知识，为进行深入且有意义的小组交流讨论做铺垫。对分作业还包括另一个新的部分，称为“亮考帮”。学生在听课、复习、完成常规作业后，要总结出自己在学习过程中感受最深、受益最大、最欣赏的内容，称为“亮闪闪”;自己已经掌握了，但是觉得别人有可能存在困惑的地方，提出问题，用来挑战别人，称为“考考你”。自己不懂、不明白的地方或有思维混乱的内容，提出相关问题，在讨论时需要同学帮助，称为“帮帮我”。讨论要求学生根据作业，特别是亮考帮，针对各自的收获心得和疑难问题，互相切磋交流，共同解决问题。小组讨论时，教师可以巡回督促、指导所有学生认真参与，但不过多进行干涉。答疑，教师解答大多数同学的共性问题，着重讲解学生遗漏的、需要深化、提升的内容。

四、对分课堂解决差距

以华东师范大学数学系编的《数学分析》第四版，第二章“数列极限概念”为例。本节内容的学习目标是：学生能够描述数列极限的定义，会使用数列极限的ε-N定义，证明数列极限的存在性。

（一）知识差距：描述数列极限的ε-N定义，会用ε-N定义证明数列极限的存在性

对分课堂的第一环节——精讲留白，减少知识差距。讲授数列的定义，数列极限的背景，数列极限的ε-N定义，数列极限的几何定义，无穷大数列的定义，选取三个典型例题，难度依次递进，讲解如何根据ε-N定义验证数列极限。留白数列极限定义中ε与N的作用以及两者之间的关系，无穷小数列的定义，正（负）无穷大数列的定义。教师进行框架式的讲授，讲解学习目标、内容的逻辑结构，告诉学生学什么;教师通过典型例题为学生提供相应的方法、解题的技巧和策略，告诉学生如何学，使得学生能够更加有效地掌握学习内容，逐步学会反思和优化自己的学习过程。

第二、三环节——独学、作业以及小组讨论，可以进一步减少知识差距。学生通过课下学习课本及资料，在老师讲解的知识框架的基础上，填充老师的留白内容，完善整体内容，构建自己的知识结构。小组讨论要求学生围绕自己的作业，特别是“亮考帮”，针对各自的收获和疑难问题，互相切磋，交流学习，解决小组内较简单的问题，提出小组的共同疑难问题。通过这两个环节，学生对知识的掌握进一步得到巩固，修正。

第四个环节——答疑，教师邀请全班自由发言，小组代表提出本组的问题，其他小组已经解决的，可以帮助回答。答疑环节的主要目标是发现全班的共性问题，给予透彻解决，保障课堂效率和教学质量。此时，学生解决了自己的疑问，完善了所学的知识内容，基本消除知识差距。

（二）技能差距：解决ε-N定义证明数列极限的问题

提高技能的方法有两个主要组成部分——练习和反馈。对分课堂的第二个环节是独学作业，通过完成作业，练习使用ε-N定义验证数列极限，提高技能，减少差距。为了使实践练习是真正有效的，学生需要有人来检查他们做得正确与否。这对于技能的提高是非常重要的。因为如果实践练习是错误的、不正确的，那还不如不练习，否则只会巩固错误。通过小组讨论，小组成员的沟通与交流，对自己疑虑的解答及解决别人的问题，可以得到同伴的反馈信息;最后，老师的答疑，解决学生们的共性问题，可以获得老师反馈信息，进而提高学习技能。

（三）动机差距，提高学生的学习积极性

对分课堂独学，作业以及小组讨论环节，突出了学生自我学习的过程，学生通过课堂上教师讲授，获得知识的基本框架，理解重点、难点，大大降低了课后复习的学习难度，减轻了学生独学的负担。学生要带着作业及问题参加讨论，受朋辈压力，课下学习会更积极主动，认真思考。课下学习目标明确，但何时学、学多少、如何学，根据学生自身的个体差异，学生自己安排，自主性強。因此，学习过程中给学生一定的权利和自由，让学生主动参与，自我规划，自我掌控，以激发学生的学习积极性。

（四）习惯差距，培养认真听讲，独立思考，沟通协作等良好习惯

对分课堂精讲环节，教师讲授知识的框架、重点和难点，需要学生认真听讲，为独学作业打好基础;学生经过独立思考，完成作业，提出问题，为小组讨论做好铺垫;根据自己的问题，积极参与小组讨论，与小组成员沟通交流，碰撞出思想火花，提出小组共同的疑难困惑，培养了学生的批判性思维、创新性思维，学会了与小组成员协同工作，作提升了沟通与人际交往能力。

（五）环境差距，创造支持学生达到学习目标的环境

对分课堂的评价方式侧重学生对于学习的投入情况，同时承认并且保护学生在独立学习时产生的个性化差异，这一评价方式有助于避免有些学生由于基础薄弱而产生厌学的情绪，保护了学生的自信心，促使学生根据自己的水平设定自己的目标，实现自我突破。另外，对分课堂可以结合MOOC平台或微课，为学生提供学习资源。

五、结语

对分课堂融合讲授法和讨论法，既强调教师必要且不可缺少的指导作用，也充分发挥了学生的主动性，保证知识体系的有效传递。对分课堂解决了学生学习过程中知识、技能、动机、习惯及环境等差距，是学生达到学习目标的有效教学模式。

参考文献：

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[4]王利平，石大为，吴薇，王子鹤.基于对分课堂教学法的“纺纱原理”金课建设[J].纺织服装教育，2020（35）：33-36.

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基金项目：延安大学一流课程建设项目（YDJKXX20-11）

作者简介：常健（1975— ），女，汉族，陕西榆林人，硕士，副教授，研究方向：数学教育。