案例分析融入常微分方程教学的探讨

摘 要：常微分方程是数学专业核心基础课程之一，针对传统常微分方程教学中存在的问题，尝试将有实际社会、生活背景的几个案例，包括传染病传播问题、星星之火可以燎原的论断、糖尿病检测问题，融入到一阶微分方程及线性微分方程组的教学中，从而可以提高学生学以致用的能力和学习兴趣，以达到更好的教学效果。

关键词：常微分方程;案例分析;教学

常微分方程是伴随着17世纪微积分的发展而兴起的一门历史悠久的学科，是高等学校数学与应用数学专业的基础必修课程之一[1-2]。常微分方程既是数学分析、高等代数、解析几何的后续课程，也是进一步学习泛函分析、数理方程、微分几何的先修课程，因此，在本科教学中起着承上启下的作用。常微分方程在自然科学与社会科学领域如物理、力学、工程、化工、乃至生物、医学、经济等各领域都有着广泛的应用。

一、传统常微分方程教学中存在的问题

在传统的常微分方程教学内容上，往往只讲理论部分，不讲微分方程的来源和对当今社会问题的应用。

有的教学内容让学生误认为微分方程只来源于自然现象，没有强调这门学科不仅可以描述自然现象，还可以描述社会现象以及日常生活中的实际问题，导致学生认为常微分方程这一学科只是求解的技巧和提示的汇集，并说它之所以重要，是因为它能解决物理学、工程学方面的问题。比如多数高校所使用的常微分方程教材里首先提到的就是物理和力学中的例子RLC电路和数学摆问题，这些具有较强抽象性的知识一般很少会出现在人们生活实际当中，对相关专业外学生来说有很大的难度，很多学生对这些问题望而生畏，也大大降低了后續学习热情和兴趣。

另外有的教学内容选题过于陈旧，除了讲解18世纪的案例外，没有讲述任何与当今社会和科技热点有关的例子，使得同学们怀疑它对现实生活的应用型，从而失去了继续学习的兴趣。

有的教学内容过分偏理论，开课就是微分方程的概念和一阶微分方程的解法定解问题，结果学生感觉到从数学分析课程到常微分方程的衔接不够好，跳跃太大，导致学生们没有信心和兴趣深入学习，即使有极少数同学对细节能推导、能运算，但仍然不能理解这些理论与实际问题的联系。

二、常微分方程教学中案例教学探索

常微分方程中许多模型都是为了解决实际问题而产生发展起来的，所以在讲解具体方程（组）求解时先介绍实际背景，就能更好地引导学生从实际问题出发去学习相关理论，并用相关理论解释、解决实际问题，可以学以致用，同时提高学生的学习兴趣，增加学习的积极性和热情，达到更好的学习效果。我们通过以下几个例子做初步探讨。

（一）传染病传播问题

下面基于微分方程的基本理论就一般的传染规律讨论传染病的数学模型。

从式（5）可知方程的解是一个指数函数，不管开始时火星数量有多少，经过一段时间后，就会产生巨大的火星数量，以至于可以燎原。

（三）糖尿病检测问题

糖尿病是新陈代谢疾病，因病人体内不能提供足够的胰岛素，从而不能消耗完体内所有的糖，使病人血液和尿液中含有过多的糖。检测糖尿病的常用方法是葡萄糖耐量检查（GTT），通过禁食后输入大剂量葡萄糖然后在不同时间检测葡萄糖浓度（G）和激素净浓度（H），视他们变化情况做出判断。20世纪60年美国生物学家Ackerman提出简易检测模型，如下图：

三、结语

上述案例有实际应用背景，贴近生活，容易为学生所接纳，通过模型假设和分析将实际问题转化为常微分方程问题，将常微分方程与实际生活紧密联系起来，使学生了解微分方程源于生活实践又应用于生产生活实践，可以激发学生的求知欲与探究欲，提高了学习兴趣。同时培养学生分析问题和解决问题的素养，有利于提高学生的数学思维能力和数学应用能力。

参考文献：

[1]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[2]王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

基金项目：2019年9月江苏理工学院教改项目“大学数学课程案例式导入教学模式探索”（11611211946）

作者简介：孟凤娟（1982— ），女，汉族，山东单县人，博士研究生，副教授，研究方向：非线性泛函分析。