也谈巧用隐形圆解题

郭敏

摘  要：在近几年初中数学中考压轴题中，常涉及到隐形圆，这些题目难度较大，得分率低。本文通过归纳了能构造隐形圆的三个条件，使学生对这类问题找到突破口，从而提升数学思维能力和解题能力。

关键词：定点;定长;定角;构造;隐形圆;四点共圆

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1992-7711（2020）35-045-02

在近几年不少地区的初中数学中考题中，有一些压轴题，呈现方式多样、入手较难、得分率低，但深入挖掘题目中的隐含条件或潜在信息，通过一定的转化或变形，反而可以转化为与圆有关的问题，最终利用圆的知识来解决，我们称这类问题为隐形圆问题。因此，为了提高学生的数学思维能力和解题技巧，在第二轮中考复习中，笔者在讲隐形圆这个专题时，给学生歸纳了构造隐形圆解题的三种思路。

一、由定长构造隐形圆

当题目中的条件出现“定长”这个条件时，可考虑作隐形圆，然后利用圆中相关性质来解题，达到化难为易、事半功倍的解题效果。

分析：观察题目中的条件EA=EB=EC，既A、B、C三点到点E的距离相等，这就联想到圆的定义：到定点的距离等于定长的所有点的组成的图形叫做圆。则以点E为圆心，EA长为半径作出隐形圆，如图2，由圆的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠AEC=2∠ABC=140°，然后再通过四边形内角和，就可以得到∠DAE+∠DCE=360°-∠AEC-∠ADC=360°-140°-70°=150°.

该题的难度不大，比较容易从条件EA=EB=EC中构造出隐形圆，先让学生进行一个热身，再进入难度稍大的题目，这样学生就比较容易理解了。

分析：由条件AC = BC = DC，可以构造出以点C为圆心，AC为半径的隐形圆，如图4.再延长AC交⊙C于E，连接DE.因为AC = BC = DC= 4，所以AE=2AC=8，又因为AC=DC，所以∠DAC=∠ADC.又因为AB∥CD，则∠BAD=∠ADC，所以∠DAC=∠BAD.根据在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，可得弧BD=弧ED，所以BD=ED.又因为AE是直径，由直径所对的圆周角是直角，所以∠ADE=90°。在Rt△ADE中，由勾股定理可得ED=  82-62 =2  7，所以BD=2  7 .

学生在理解了例1后，做这题时可以很快构造出隐形圆，再利用圆的相关性质就可以求出BD的长了。

归纳：当题目条件中出现一个定点，并能找到这个定点的距离等于定长的这些条件时，就可以根据圆的定义构造出隐形圆，再结合圆的相关性质，化繁为简，化难为易，从而提升学生的数学综合思维和解题能力。

二、由定角构造隐形圆

当题目中出现 “定角”这个条件时，可考虑构造隐形圆来解题。这是根据圆中的任意一条弦长确定后，则所对的圆周角也确定而来的。

例3：如图5，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，P是△ABC内部一动点，且∠APB=90°，求线段CP的最小值。

分析：由P是△ABC内部一动点，且∠APB=90°，这个条件中可以看到：P点在运动过程中，始终保持∠APB=90°。因此，点P在以AB为直径的圆上运动，作出此圆，圆心为O，如图6.连接OC，交⊙O于点P，由“两点之间线段最短”就可以得知此时的CP长度最小。因为AB=6，所以OB=OP=    AB=3.在Rt△OBC中，由勾股定理可得OC=  32+42  =5，所以CP=OC-OP=5-3=2.

本题由“P是△ABC内部一动点，且∠APB=90°”可知∠APB是一个定角，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出点P的运动轨迹是以AB为直径的圆弧上，从而构造出隐形圆。

例4：如图7，在四边形ABCD中，∠B=60，∠D=30，AB=BC.

（1）求∠A+∠C的度数

（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由;

（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2。求点E运动路径的长度。

归纳：根据定理“同弧或等弧所对的圆周角相等”，当题目条件中存在“定角”时，可知这些问题中的动点的运动轨迹在某个圆上，从而构造出隐形圆，使问题中隐晦不清的关系清晰展现出来。

三、由四点共圆构造隐形圆

当题目中的条件有“对角互补”这样的条件时，可考虑构造隐形圆来解题。

分析：由条件∠ACB=∠ADB=90°，则可由四边形的一组对角互补可证得A、B、C、D四点共圆，从而构造出隐形圆，如图11，再利用同弧所对的圆周角相等，得∠ADC=∠ABC=25°。

例6：已知四边形ABCD是正方形，AB=4，点E在AD边上，点F在AB的延长线上，∠DCE=∠BCF，AE= 1 . 求：tan∠ACE.

分析：由正方形ABCD可得∠DAB=∠DCB=∠D=∠ABC

笔者在讲隐形圆专题时，根据学生的实际能力，设计的习题由浅入深，逐步巩固强化。使学生对存在类似这三种条件的题目，知道入手方向，更好地借助圆的相关性质来解题。

在数学教学中，构造隐形圆来解决数学问题是一种广泛的解题技巧。解题时，需要我们通过分析探索，发现这些隐形圆，运用数形结合、逻辑推理、特殊与一般结合等思想方法。这也要求在平时的教学中教师多引导学生善于从复杂的几何图形中抓住图形的本质特征，抽象出常用的数学模型，化繁为简，化难为易，从而不断提高数学思维能力和解题能力。

参考文献：

[1]沈萍华.道是无“缘”却有“圆”──构造隐形圆解题的几种思路 [J]. 中学数学月刊，2018（3）：59—61.

[2]蔡卫兵.“隐形圆”模型的探究与运用[J].中国数学教育，2017（4）：56—59.

[3]王运思.图中无圆，心中有圆，“圆”来真好 [J] .数理化学习，2018（5）：3—4.

（作者单位：广州市花都区新华街云山学校，广东   广州   510000）