随机模型预测温度条件下复合材料横向拉伸刚度 *

李 帅，温卫东，张宏建

(南京航空航天大学 能源与动力学院，南京 210016)

0 引言

复合材料具有比刚度高、比强度大、可设计性强、抗疲劳性能好等优点，广泛用于航空航天、空间技术、武器装备、能源工程、交通运输和民用建筑等诸多领域。在复合材料层合板中，横向铺层提供了必要的强度和刚度，维持了结构完整性。复合材料在横向载荷下的力学性能对于复合材料层合板的整体力学性能与失效模式有重要影响。在加载过程中，横向失效往往最先出现，并可能导致层合板其他铺层的进一步破坏。通过试验方法对复合材料横向性能进行研究具有成本高、分散性大的缺点。随着计算机技术和有限元方法的发展，模拟复合材料性能的细观力学方法得到广泛使用[1]。由于复合材料制备方法的限制，很难制备纤维体积含量60%甚至更高的复合材料单向板；目前针对2.5维机织复合材料的研究其包含的纤维束体积含量达到70%以上，很难通过制造同样体积含量的单向板来试验获得纤维束性能，更凸显了有限元方法在预测复合材料横向力学性能方面的重要性[2-3]。

国内外早期的研究一般假设横截面上的纤维呈规则阵列分布，如规则的四边形或规则六边形分布。但实际固化过程中，基体中的纤维分布是离散随机的，形成了富树脂区和贫树脂区。Trisa D等[4]发现采用规律分布模型与随机模型相比，低估了基体开裂和损伤的初始发生，Wangsto等[5]通过随机模型获得的复合材料单向板横向拉伸模量和剪切模量显著高于规律模型得到的结果。目前，常见的纤维随机分布生成方法包括纤维图像重构法[6]、硬核法(HCM)[7]、随机扰动法(SRP[5]循环碰撞法(MDA)[8-10]等。

复合材料横向性能主要受基体性能影响。在温度条件下，相比于纵向性能，复合材料横向性能退化更加明显。目前，通过随机模型对复合材料横向拉伸性能的研究主要集中在常温条件下，对高温环境下的力学性能研究较少，国内外鲜有报道。

本文通过随机碰撞法建立细观模型，对20、160及200 ℃下不同纤维体积含量的T300/QY8911-IV树脂基复合材料横向拉伸刚度进行了模拟。通过与实验数据和拟合理论公式的对比，验证了随机模型对温度条件下复合材料单向板横向力学性能预测的可靠性。

1 循环碰撞法

本文通过matlab语言编写循环碰撞算法，生成纤维随机分布的几何模型，详细流程见图1所示。

图1 循环碰撞法流程图

首先，输入参数f(纤维体积含量)、d(纤维直径)、n(列数)、m(行数)、 Δt(时间步长度)，并给定碰撞循环数N。生成初始六方密排分布的纤维点，如图2所示。然后，给定纤维的初始速度，计算每一时间步后的纤维位置，见式(1)：

式中xt，yt，xt+Δt，yt+Δt为t时刻和t+Δt时刻纤维的横坐标与纵坐标；ut、vt为纤维在t时刻沿x轴和y轴的速度；Δt为时间步长度。

确定位移后进行速度修正，主要包括纤维弹性碰撞的速度修正和纤维/壁面碰撞的速度修正。纤维弹性碰撞的速度修正见式(2)：

纤维/壁面碰撞的修正见式(3)：

式中lmin是给定的极小距离值。

通过碰撞速度修正，防止壁面纤维之间和纤维与壁面之间的距离过近，影响网格的划分。

图2 纤维密排六方分布

此外，为便于后续周期性边界条件的施加，要求满足几何的周期对称性。当有纤维从某一边出去时，同时有一根纤维从对边进入，使窗口区形状对称。经过足够循环数，打破初始纤维排布的规律性，最终得到纤维的随机分布点位。

为验证改进循环碰撞算法的可靠性，可用多种统计学函数对纤维分布的随机性进行定量评价[11]。通过对比纤维实际分布与循环碰撞纤维分布的最临近距离函数、最临近方位函数、二阶强度函数、对分布函数，可认为数值仿真的结果能较好模拟纤维的真实随机分布[8,10]。

图3 纤维碰撞示意图

2 有限元模型

2.1 周期性边界条件

Xia等[12]证明了当满足唯一连续条件时，应力连续条件自然满足。在此基础上，提出了一般周期条件的显式表达式，如式(4)所示：

在二维分析中，为防止过度约束，对定点和对边分别进行周期位移边界条件的施加[13]。

对于边，存在式(5)：

对于顶点，存在式(6)：

式中u、v为x向和y向位移；lx为AB间距；ly为BD间距。

2.2 热应力计算

温度载荷条件下，结构是自平衡的，即RVE的等效合外力为0，即

2.3 考虑温度的横向刚度计算

单向板的横向刚度由式(9)得到：

3 温度条件下T300/QY8911-IV复合材料横向拉伸刚度

3.1 纤维随机分布模型

纤维随机模型的输入参数很大程度上影响了几何模型的准确性，包括纤维体积含量，纤维数量和纤维半径等。

Llorca等[14]认为，30根左右纤维的单胞模型可准确地模拟复合材料的横向随机分布。针对循环碰撞法，令m=6，n=6可获得36根左右的纤维。对于纤维直径，考虑到纤维直径对横向力学性能的影响较小[15]，本文碳纤维半径取为3.5 μm[1]。图5为纤维体积含量为42.39%的纤维随机分布。

图5 纤维随机分布

利用Ansys软件进行有限元分析。采用Plane182单元进行网格划分。如图6所示。

3.2 组分材料性能

Lu等[16]认为，造成横向性能预测误差的原因主要是无法获得准确的组分性能，包括纤维的横向性能，界面性能以及其它力学性能。因此，准确获得组分性能是复合材料细观力学的关键问题。

本文对材料进行线弹性分析，获得复合材料横向初始拉伸时的刚度。组分材料力学性能见表1、表2。

图6 网格划分

Fig.6 Meshing of FE models

表2 QY8911-IV树脂力学性能[17]

Ef2是纤维横向刚度，μf23是纤维横向泊松比，αf2是纤维横向热膨胀系数，Gf23是纤维横向剪切刚度 ，Em是基体拉伸刚度，μm是基体泊松比，αm是基体热膨胀系数。

T300碳纤维看作横观各向同性材料[19]，因此在二维有限元计算中按各向同性材料分析，且假设性能随温度变化保持不变。另外，碳纤维横向剪切模量由式(10)得到：

树脂按各向同性材料处理。其中，由于泊松比对复合材料横向拉伸刚度影响不大(见下文)，假设树脂泊松比随温度保持不变。

3.3 结果与分析

对有限元模型施加周期性边界条件和温度载荷进行热应力求解。图7为纤维体积含量为42.39%的T300/QY8911-IV复合材料在160 ℃和200 ℃条件下复合材料内部热应力图。图8为刚度-温度变化图。

(a)160 ℃

(b)200 ℃

图8 刚度-温度变化图

由于材料的线弹性，在不同温度下热应力分布基本一致，只是大小不同。由于树脂和纤维热膨胀系数的差异，在贫树脂区、纤维间距较小处的材料性质差异最大，因而热应力最大，图中红色区域；而在富树脂区，由于材料热膨胀系数的均匀性，热应力很小，如图中蓝色区域。

表3给出了不同温度下采用随机模型计算得到的复合材料横向拉伸刚度。宋健[17]给出了在41.53%、42.39%和44.22%等3种纤维体积含量不同温度条件下的复合材料横向刚度。试验按照ASTM D3039在南京航空航天大学MTS809液压伺服试验机上完成。可发现不同批次的、纤维体积含量差别不大的复合材料横向拉伸刚度试验值可能差别很大。本文选取了分散系数的纤维体积含量为42.39%的复合材料试验数值作为对照。

本文针对每一温度条件进行了5种随机模型的有限元分析，标准差都在2%附近离散系数在0.5%以下。与试验值比较，160 ℃时误差最大，为17.28%，200 ℃时最小，为9.29%。在低温时，复合材料横向拉伸刚度预测值偏大，而高温时偏小。从图7中可看出，这是因为在高温时，部分基体的热应力很大，已经进入塑形区[17]，其刚度减小，造成预测结果偏大。

总体而言，误差可能来自于三方面：一是依靠试验得到的复合材料力学性质的离散性；二是模型中组分材料性能的准确性，尤其是树脂与复合材料固化成型后力学性质的改变以及纤维在温度条件下的性能退化[10]；三是基体塑形和界面性能的影响[20]。图8显示了T300/QY8911-IV 复合材料横向拉伸刚度与树脂拉伸刚度随温度升高而下降的趋势基本一致。这表明复合材料在温度条件下的横向性能变化主要是由树脂在温度条件下的性能退化引起的。另外，预测模型得到的结果基本与基体的试验值趋势相同，与横向刚度的试验值有差距。因此，要得到准确值，还需要考虑除基体性能下降外更多的因素。

表3 不同温度下T300/QY8911-IV复合材料横向拉伸刚度

4 复合材料横向拉伸刚度的影响因素

4.1 泊松比对复合材料横向拉伸刚度的影响

由于复合材料单丝难以获得准确的泊松比，以及树脂泊松比在温度条件下保持不变的假设可能存在的误差，有必要对泊松比对复合材料横向刚度的影响进行研究。通过对比20 ℃纤维体积含量为42.39%的复合材料在不同纤维横向泊松比和树脂泊松比条件下的仿真结果，如表4、表5所示。可发现，泊松比对单轴拉伸状态下复合材料的横向拉伸刚度预测影响很小。由此证明了泊松比不变假设的适用性。

表4 纤维横向泊松比对T300/QY8911-IV复合材料横向拉伸刚度的影响

表5 树脂泊松比对T300/QY8911-IV复合材料横向拉伸刚度的影响

4.2 不同纤维体积含量的复合材料横向拉伸刚度

图9描述了不同纤维体积含量的复合材料横向刚度在不同温度条件下的变化趋势。通过对比宋健[17]提出的同时考虑两种因素的复合材料横向刚度拟合公式，可发现在给定准确的组分材料力学性能的条件下，随机碰撞模型能较好地预测复合材料横向拉伸刚度。其中，20 ℃时预测值与理论公式最为吻合；160 ℃和200 ℃时，预测值较理论值大。一方面，由于树脂高温时在低外载荷下就进入塑形区，造成刚度下降；另一方面，与理论公式拟合依据的试验值准确性有关。

图9 温度条件下不同纤维体积含量的复合材料横向拉伸刚度

5 结论

(1)通过随机碰撞法建立纤维随机分布的有限元分析模型，能较好地预测复合材料在温度条件下的横向拉伸刚度，尤其是在200 ℃时，误差在10%以内。

(2)针对不同温度下复合材料横向拉伸刚度随纤维体积含量的变化，随机模型得到的预测结果与公式拟合值在室温条件下吻合较好，而在高温条件下预测结果偏低。

(3)高温条件下随机模型横向刚度预测值偏小。应进一步考虑基体塑性和热应力产生的初始损伤等因素对复合材料力学性能的影响。