碳金融市场下基于模糊测度和Choquet积分的碳期权估值

于倩雯，吴凤平，沈俊源，程铁军

（1.河海大学 商学院 河海大学规划与决策研究所，江苏 南京 211100；2.南京邮电大学 经济学院，江苏 南京 210023）

温室气体排放量增加以及全球气候变暖等问题正受到全世界的广泛关注[1-2]。在欧盟排放交易计划（EU-ETS）出台后的相当长一段时间内，中国作为世界上最大的CO2排放国，一直面临着较大的国际减排压力[3]。自2011年以来，中国一直在试验区域性碳市场试点，探索基于碳排放权交易的低碳经济发展模式。2017年12月19日，中国国家发展改革委印发了《全国碳排放权交易市场建设方案（发电行业）》，标志着全国碳排放交易体系正式启动。随着碳排放权交易的实施，减排企业在碳配额有限的情况下为完成减排指标任务，必须通过碳市场交易购买碳排放权。然而，由于碳排放权的不可储存性以及碳金融市场碳价的波动性，基于现货的碳排放权交易模式使得减排企业无法避免价格波动带来的损失。碳期权的存在为减排企业提供了对冲碳排放权交易市场未来现货价格的不确定性的新机制，同时激励企业加强对碳减排技术的投资，有利于增强碳金融市场的操作灵活性和交易活跃度。因此，对于CO2减排和碳金融市场的发展来说，研究合理的碳期权定价方法至关重要。

一、文献综述

传统的金融期权定价最早始于法国Bachelier的“投机理论”[4]，其基于纯标准布朗运动过程的严格数学描述，对股票到期日看涨期权的预期价格进行了计算。但该理论对股票价格为负的假设脱离了实际情况，与现实交易过程相悖。继Bachelier之后，Sprenkle[5]、Kassouf[6]、Boness[7]和Samuelson[8]对金融期权定价模型进一步拓展，相继给出看涨期权定价方法，丰富了金融期权定价理论。然而碳期权作为碳金融市场的金融衍生品之一，相对期货等衍生品起步较晚，现有的关于碳期权估值问题的研究尚不多见，限制了金融市场期权商品的发展。目前，国内外已有部分学者针对碳期权定价模型进行了研究，主要集中在三个方面：（1）Black-Scholes（B-S）期权定价法。B-S期权定价法[9]是碳期权定价研究方面的主流定价模型，赵小攀等[10]构建了全国统一市场下的碳排放权B-S期权定价模型，并根据交易成本问题对模型进行了修正。何梦舒[11]提出期权在碳排放权初始分配中的重要性，从金融工程视角探讨了企业有偿获得碳期权的分配模式，并运用B-S期权定价模型进行碳期权的初始分配定价研究。刘鹤和范莉莉[12]、朱跃钊等[13]分析了碳期权定价中的蒙特卡罗模、二叉树、B-S模型的优缺点，最终选用B-S定价模型作为无红利的碳排放欧式看涨期权的定价方法。徐静等[14]分析了碳期权的避险作用，建立基于条件异方差的波动率的B-S估计模型，提出完备市场条件下基于欧盟配额的碳期权定价法。（2）分形布朗运动期权定价法。分形布朗运动[15-16]由于能够很好地刻画金融资产的实际特征，逐渐被应用于解决期权产品的估值问题。目前，该方面的学者大多采用广义自回归条件异方差（GARCH）与分形布朗运动相结合，构建碳排放期权定价模型。Chevallier等[17]分析了期权引入对EUA期货市场的潜在不稳定影响，通过GARCH模型的估计结果发现衍生品的引入对于能源和商品市场的相关影响较为显著。张晨等[18-19]研究了基于GARCH分形布朗运动期权定价方法，运用广义自回归条件异方差模型预测碳期权价格的收益率波动率，并与传统的B-S期权定价法进行比较，前者的预测精度相对后者有显著提高。（3）二叉树期权定价法。二叉树方法[20]是由期权的未来值回溯期权的初始值。余一卿和王泽霞[21]从操作难易角度出发，根据影子价格法对碳期权的二项式模型进行改进，建立碳排放权价格的二叉树示意图，并计算出电力行业碳排放权的买方和卖方期权价值。由于二叉树期权定价法计算繁琐，在研究中未得到广泛应用。

现有文献关于碳市场期权问题的研究为中国碳期权定价提供了良好的理论指导，但总体来看，当前研究具有以下特征：（1）研究理论多趋同于传统资产定价思想。传统的资产定价思想偏向于假定投资者能够清楚预知未来可能出现的不确定事件，且广泛运用单一概率测度来描述这种不确定风险事件发生的概率，据此来进行投资决策，但在充满不确定因素的碳金融市场中，这个假定具有局限性。碳期权投资者的决策容易受到金融市场中潜在意外和诸多不可知环境因素的影响，其行为选择或投资偏好不能运用单一的概率进行描述。（2）研究方法多依赖于一些可观测的变量，对碳期权估值中的模糊变量缺乏定量研究，测量投资者对碳期权价值度量的模糊不确定性的研究更是鲜见。

本文旨在提出一种基于碳金融市场的不确定性环境下的碳期权定价方法，对以往期权定价模型进行了拓展，在存在一个经济行为人的经济环境中，运用Choquet期望积分与λ-可加模糊测度表示该经济行为人对碳期权价值的模糊度量差异，避免了单一的概率测度刻画投资人行为选择不确定性的局限性。通过构建碳排放权的欧式看涨期权定价模型，对不同因素对碳期权价格的影响进行了数值模拟，增加了对投资者的投资偏好和碳排放权交易中一些现实约束的思考。本文的贡献为进一步研究不确定环境下碳期权及其他衍生产品的定价提供了新的研究视角，与此同时，为实现中国碳金融期权交易的科学定价提供了借鉴意义。

二、模型设计与基本假设

（一）模型设计思路

碳金融市场的新兴发展为利用市场机制解决环境问题提供了一种有效的减排手段。通过碳期权的引入，碳金融市场内的碳期权所有者可以根据需求随时执行期权合约，不但减少了市场上的交易费用，同时有效缓解了碳金融市场交易价格波动，对活跃碳金融市场具有重要作用。

碳期权定价作为碳金融市场定价机制研究的核心环节，其理论研究具有现实意义。本文着重探讨如何刻画碳金融市场中投资者对碳期权价值的模糊度量差异，以及分析投资者的投资偏好对碳排放期权价格的影响，同时对如何在碳期权交易定价过程中满足碳排放权需求合理分配、投资者资金合理控制、卖方利益保障等现实约束问题进行了研究，以期促进碳金融市场中期权交易活动的有效展开。碳期权定价模型设计思路主要分为三个部分：基于模糊测度和Choquet积分的投资者期望收益度量,无约束条件下基于期望效用最大化的期权定价分析,现实约束下基于期望效用最大化的期权定价模型。其中，碳期权的定价公式通过最大化Choquet期望效用获得，根据数值计算中的模型参数分析，可以有效测量不同因素对碳期权定价模型的影响，为现实定价研究提供理论指导。

（二）基本假设

由于碳期权定价所涉及的影响因素较多，为方便研究碳期权投资者的投资偏好对碳期权定价的影响，本文对研究问题进行部分简化，作出如下假设：假设碳期权投资者在0时刻有可用资金F用于碳排放权投资。其中，用于购买欧式碳排放权看涨期权合约的资金为f（f≥0），其余资金F-f用于无风险资产投资。在期权合约到期T时，投资者可以决定是否行使看涨期权，本文假设在期权合约到期T时投资者行使看涨期权。假定每个碳期权合约都有q个单位的期权，碳期权合约价（即期权定价）为C0，期权的执行价格为K，在0时刻碳期权的现货价格为S0，在期权合约到期T时刻碳排放权的现货价格为ST，无风险利率为r，年收益波动率为σ。根据“经济人”假设，每个投资者都会对未来碳排放权现货价格和碳期权合约价格作出合理评估。本文选择效用函数U（·）反映投资者个体的投资风险偏好，并根据U（·）评估期权到期T时投资者的期望效用。此外，在现实交易中，碳排放权交易目的在于促进减排而不是单纯用于投资获利，因此买方即碳期权投资者应在满足其碳排放需求D时，投入适量资金用于碳期权投资，不损害卖方利益。在此基础上，投资者在Choquet期望效用最大化的情况下，应选择最优期权价格和排放期权合约数量。

三、Choquet期望效用最大化下碳期权定价模型构建

（一）基于模糊测度和Choquet积分的投资者期望收益度量

模糊测度是日本学者Sugeno于1974年提出的一个正规的、单调的、连续的集函数，其作为经典测度的延拓，不仅能够有效描述模糊事件中可用信息的模糊性或不确定性，而且具有主观评估客观信息和描述信息差异的优势。随着模糊测度在经济学和金融学中的广泛应用，Cherubini[22]突破了传统模糊测度的局限即模糊测度的非可加性，提出了λ-可加模糊测度，克服了经济代表人在经济行为活动中统一理性的应用局限。因此，本文根据碳金融市场中投资者对碳期权的投资行为，运用λ-可加模糊测度来解释碳金融市场中的现实交易活动，量化投资人对碳期权价值模糊度量的异质特征。

定义：（λ-可加模糊测度）[23]，设可测空间〈X，Ω〉，p（[a，b））为〈X，Ω〉上的概率测度，-∞＜a≤b<+∞，λ∈（-1，+∞），若集函数 μ（p[a，b）），A→[0，+∞）满足：

1）μ（p[a，b））是〈X，Ω〉上的有限半测度；

2）若∀A，B∈X，A∩B=Ø，那么

则定义集函数 μ（p[a，b））：A→[0，+∞）为正规的 λ-可加模糊测度为

结合上述定义，本文运用λ-可加模糊测度以表征不确定环境下碳期权投资者个体的主观情绪：即在碳金融交易市场中，可将概率测度p（[a，b））看为市场风险事件发生的客观概率。通常情况下，投资者个体无法知道未来市场风险事件的客观概率的全部信息，可通过模糊测度参数λ对该概率测度进行替换[24-25]。当λ≠0时，碳期权投资者面临着风险不确定的情况；当λ＞0时，投资者个体对碳金融市场的市场信息获取程度较低，对碳排放权投资过程中的不确定性表现出主观厌恶，且λ值越大，投资者个体的投资心态越悲观；当-1＜λ＜0时，投资者个体对碳金融市场的市场信息获取程度较高，对碳排放权投资过程中的不确定性表现出主观偏好，且λ值越小，投资者个体的投资心态越乐观。因此，λ值体现了碳排放权投资个体对碳金融市场的市场信息获取程度，同时，λ值的大小也可以反映出碳金融市场波动时投资者心理指数的衡量。当碳金融市场活跃时，投资者个体的投资态度较为乐观，λ值逐渐减小；当碳金融市场低迷时，投资者个体态度较为悲观，λ值逐渐增大。

通过碳排放权投资者对期权价值信息主观评价的模糊度量[26]，基于Choquet积分[27-29]构建考虑投资者偏好的期望收益函数 ρ（ST，K）为

其中，p（ST＞x）表示碳排放权看涨期权被执行的概率，相当于 B-S 定价模型中的，N（·）表示正态分布下的累积概率分布函数。

（二）无约束条件下基于Choquet期望效用的期权定价分析

根据“边际替代率”理论，在Choquet期望效用价值达到最大化的情况下，碳期权合约的交易价格的增加不会为投资者投资于衍生资产的财富增加额外的效用。当碳期权买家只是出于投资目的时，期权价格可以通过Choquet期望效用最大化来推导。根据上文的基本假设，期权到期时碳排放权的现货价格为ST，碳期权的执行价格为K，到期时间为T，[0，T]内的无风险利率为r，投资者在0时刻可用资金为F，用于购买欧式碳排放权看涨期权的资金为f，其余资金F-f投资于无风险资产，在期权到期T时投资者行使看涨期权。本文中效用函数被用来代表投资者对投资财富和风险的偏好。在投资组合策略下，构建期权到期时投资者的期望效用 U（·）为

其中，U（·）表示期望效用函数，投资者可以根据自己的偏好选择不同的效用函数。

命题：若碳期权买方只是出于投资目的，且假设效用函数为U（x）=ln x时，可得欧式碳排放权看涨期权的价格为

证明：根据优化理论，对于无约束优化问题，可以通过求解函数来寻找最优解C0。首先，对Choquet期望效用U（·）求一阶和二阶偏导为

代入效用函数 U（x）=ln x，令 U′（·）＝0 构建零和方程为

若 U′（f0）＝0，根据 Choquet期望效用 U（·）的二阶偏导可知小于 0，U（·）可在f0处取得极大值使得期望效用最大化。求解方程（8），得到此外，由于投资者的初始可用资金F非负且会随着投资行为逐渐减少，即的情况不成立，则结合式（3）中的基于 λ-可加模糊测度和 Choquet积分的期望函数ρ（ST>K），命题得证。

推论：根据前文投资者为“经济人”基本假设，由于碳金融市场风险的存在，假设投资者采取谨慎的投资态度，投入资金额不超过原始资金额的一半时，期权价格C0在f＝0处取得最小值为

（三）现实约束下基于Choquet期望效用的期权定价模型

碳排放权作为不可存储的无形资产，其购买主要用于社会生产和生活需要，而不仅仅是投资[31]。上文仅分析投资者出于投资目的时碳期权的定价方法，而在现实生活中，投资者往往期望利用可用资金在满足基本碳排放需求时同时使得投资效用最大化。因此，碳期权的定价问题可从无约束优化问题转化为约束优化投资问题。本文考虑到碳市场中投资者对碳期权的基本需求，以及投资者个体谨慎的投资心态和卖方的利益，从碳排放权需求合理分配、投资者资金合理控制、卖方利益保障等方面设定碳期权定价的现实约束条件：

1.通过期权合约交易的碳排放权和进入碳权现货交易市场的碳排放权总和应不低于期权合约到期时投资者对碳排放权的基本需求量，即

2.投资者出于碳金融市场潜在风险的考虑，出于谨慎的投资心态不会将所有资金用于购买碳期权，因此，本文假设投资者的投入资金额不超过投资者初始可用资金额的一半，即

3.在碳期权定价时，不应过度考虑投资者的收益最大化而损害期权卖方的利益，从而导致市场失衡。因此，对于卖方而言，期权合约到期后卖家承受的价差经济损失（反言之投资者的期望收益），不应超过碳期权金与为规避价格波动风险购买期权产生的损失之和，即

基于以上分析，本文构建现实约束条件下基于Choquet期望效用最大化的碳期权定价模型

四、数值计算和参数分析

（一）数值计算

由于中国碳金融市场仍处于发展阶段，碳排放权交易的场内数据相对不够完善[32]。因此，本文以发展较为成熟的欧盟碳配额案例进行计算分析。假定在基于欧盟配额的短期期权中，用于碳排放权投资的可用资金F＝50 000欧元，碳排放需求D＝15 000吨，合同交易碳排放量q=2 000吨，期权到期T=1年，期权执行价格K=16.65欧元，0时刻碳期权的现货价格S0＝16.79欧元，年收益波动率σ＝0.13，无风险利率r=0.05。假设期权合约到期 T 时刻碳排放权的现货价格为{ST}={16.63，16.67，16.68，16.69，16.73，16.77，16.78，16.78，16.80，16.80}。这组预测值的平均值为16.73欧元。假设λ-可加模糊测度的参数λ＝1，根据式（2），可得

将上述参数代入式（8），得到现实约束下基于Choquet期望效用最大化的期权定价模型非线性规划模型为

（二）模型参数分析

根据上述分析，模型（9）制定的碳期权价格是给定效用函数和λ-可加模糊度量下最优投资组合策略所对应的公平价格。假设投资者选择效用函数为U（x）=xα（0＜α＜1），为分析不同因素对碳期权价格的影响，本文通过一组数值案例来分析效用函数、模糊测度参数λ和现实约束变动下碳期权价格的变化情况。

1.效用函数对碳期权价格的影响

为分析效用函数对碳期权价格的影响、固定模糊测度参数λ＝1和现实约束条件，改变效用函数参数α的大小。效用函数参数α变动下碳期权的期权价格C0，最优投资金额f和效用值Z的变化情况如表1所示。

表1 效用函数α变动下相应期权价格C0，投资资金和效用值Z

由表1可知，随着指数α的增大，投资者用于购买欧式碳排放权看涨期权合约的资金f逐渐增加，反映了投资者对于投资风险态度的变化。若将投资者的风险态度分为风险规避、风险中性、风险寻求三种类型（如图1所示），当α变大时，投资者对于碳期权投资风险的态度由风险规避趋于风险寻求状态。当投资者处于风险规避态度时，碳期权价格变化曲线几乎持平，未曾受到效用函数参数变化的影响；当投资者处于风险中性态度时，碳期权价格随着效用函数参数增大明显逐渐增加，说明此种类型的投资者对效用函数更为敏感，碳期权价格的估值容易受到所选效用函数变化的影响；当投资者处于风险寻求态度时，投资者的投资资金最大，碳期权价格处于最高状态，且价格曲线趋于平稳，但投资者投资财富效用随着效用函数参数变化仍然持续上升。因此，投资者选择不同的效用函数会改变其对碳期权的投资风险态度，从而改变其在市场上的投资资金和Choquet期望效用，影响碳期权价格。效用函数参数变化对于风险中性类型的投资者的影响最大，对于风险规避和风险寻求类型的投资者来说，效用函数的选择对于碳期权估值的影响较小，且投资者处于风险寻求状态的期望效用高于其他状态。

2.模糊参数对碳期权价格的影响

根据上文所述，λ-可加模糊测度是碳排放权投资个体对碳金融市场的市场信息获取程度的表征，以及对碳金融市场波动时投资者心理指数的衡量。模糊参数λ值的不同，体现了投资者在主观判断期权价值上的差异性，进一步决定投资者对碳期权的期望收益值。本文假设碳期权投资者面临着风险不确定的情况，投资者个体对碳金融市场的市场信息获取程度较低，为分析模糊参数λ变动对碳期权价格的影响，给定效用函数U（x）=xα（α＝0.7）和现实约束条件，改变参数λ的数值，计算结果如图2所示。

由图2可知，随着模糊测度参数λ值的增加，基于Choquet期望效用最大化的碳期权价格不断减小，表示碳期权投资者个体对未来不确定性程度逐渐增加或者投资者个体对未来碳市场所掌握的信息越来越模糊，投资者的投资金额下降，而期权的价格也随之降低。因此，在碳期权定价研究中，投资者对于碳期权的信息掌握程度或投资情绪对于碳期权价格具有推动作用。

3.现实约束对碳期权价格的影响

如上文所述，碳期权的购买不应仅处于投资的目的，作为碳金融市场的金融衍生品，其存在发展的最终目的是为促进碳排放权的合理高效减排。在分析碳排放需求合理分配、投资者资金合理控制、卖方利益保障等现实约束条件对碳期权价格影响时，本文给定效用函数 U（x）=xα（α＝0.7），分析现实约束和无约束下碳期权价格C0随参数λ的变化情况，计算结果如图3所示。

图3中，实线描述当效用函数为U（x）＝x0.7时，现实约束下随着模糊参数λ变化的碳期权价格；虚线描述无约束条件下的碳排放权的参考期权价格。由图3可以看出，实线和虚线之间存在斜线阴影部分，该阴影部分表示有无现实约束条件对碳期权价格的影响，说明现实约束信息导致碳期权投资的隐含价值存在显著损失，但为保证碳排放权的合理分配和碳期权交易双方的利益，现实约束条件的存在要求投资者不得不放弃该部分的投资隐含价值。

五、结论与建议

本文基于模糊测度参数和Choquet积分构建了Choquet期望效用最大化下的碳期权定价模型，并考虑碳排放权合理分配、投资者资金合理利用、卖方利益保障等现实约束条件对碳期权定价的影响，并进行数值计算。研究表明：（1）投资者选择不同的效用函数会改变其对碳期权的投资风险态度，期望效用随着风险态度的转变不断增大。相对于风险规避和风险寻求态度，风险中性态度的碳期权投资者对碳期权估值易受所选效用函数的影响。（2）模糊测度参数值可以反映投资者个体对未来碳金融市场的信息获取程度和主观情绪，随着参数值增大，碳期权价格越低，投资者所掌握的信息程度越来越模糊且投资心态越消极。（3）有无现实约束条件对碳期权价格存在影响，现实约束的存在会迫使碳期权投资者损失部分投资的隐含价值。

基于上述研究结果，本文就中国碳金融市场碳期权定价机制的发展提出以下建议：（1）构建多层次的碳排放交易市场和多元化的碳金融服务体系，提高碳排放金融市场投资参与主体的交易活跃性，促进风险规避投资者投资态度的转变，保障投资者投资财富效用最大化。（2）逐步放宽碳交易市场准入标准，促进市场交易信息的流动和互通，避免因信息闭塞和滞后而导致碳交易需求缩减和交易价格过低，给予碳金融市场投资参与主体套期保值的机会和套利空间。（3）建立系统的碳排放配额和金融衍生品的交易制度，规范和约束碳交易双方的交易行为，避免交易一方谋取私利和破坏交易市场，促进社会经济的绿色可持续健康发展。

本文克服了现有定价模型计算复杂、缺乏碳期权价格异质性，忽略投资者的投资偏好和碳排放权交易中一些现实约束等方面的不足，为引导碳期权交易提供理论指导。但仅从单一投资者的投资偏好视角考虑碳期权的定价、数据和方法具有一定的局限性，未来的研究中可以考虑动态定价问题，构建多投资者博弈环境下的均衡定价模型。