立足学情·立意素养·立德树人——以“网格型计算问题”专题复习为例

孙 凯

（江苏省苏州市阳山实验初级中学校）

以正方形网格为背景的试题是近几年比较热门的中考新题型，其具有立意新颖、综合性强、思维含量高的特点.这类试题从考查形式层面来看，主要是画图操作和计算求解两种形式；从考查知识层面来看，主要涉及勾股定理、锐角三角函数、全等三角形、相似三角形、圆等知识；从考查技能层面来看，主要是考查学生的计算、作图、推理等能力；从考查数学思想方法层面来看，表现为数形结合、模型思想、迁移化归等方面；从考查数学核心素养层面来看，主要体现在直观想象、数学建模、逻辑推理、数学运算等素养上.因此，这类试题对学生的观察、分析、建模、化归等能力的要求较高，在中考复习中应引起重视.笔者曾在区教研室组织的中考数学专题复习活动中开设了一节“网格型计算问题”的中考二轮专题复习课，教学效果良好.现整理成文，以期与各位同仁交流探讨.

一、内容和内容解析

内容：网格型计算问题.

内容解析：所谓网格，是指由若干个单位长度为1的正方形（或菱形）组成的网格图.苏科版《义务教育教科书·数学》中有很多以网格为背景的数学问题.例如，利用网格的特殊性，用无刻度的直尺画已知直线的平行线、垂线，在网格中画出将已知图形平移、翻折、旋转、位似后的对应图形，等等.网格的特殊性表现为直观性、操作性、内隐性，这种特性有利于考查学生的识图、操作、分析、归纳、想象、探究等能力，因此受到中考命题者的青睐.以网格为背景的中考试题，多以计算的形式呈现，如求线段的长度或求角的锐角三角函数值等.

二、目标和目标解析

目标：（1）认识网格的特殊性，正确进行画图操作，在操作中体验网格的特殊性；（2）应用网格的特点，会合理建构直角三角形解决实际问题，在主动完成学习任务的活动过程中，积累数学经验，发展数学能力.

目标解析：在有关网格型中考试题的教学中，笔者发现学生不能巧妙地利用网格进行分析、操作、化归，面对待解决的问题，常常出现束手无策的现象.研究发现，导致这一现象的本质原因是学生对网格的特殊性认识不足，无法将题目中提供的网格信息与待解决的问题建立有效关联，无法突破认知障碍，导致学习困惑.网格型计算问题作为中考二轮复习的一个专题，其关键词有两个，分别是“网格”和“计算”.显然，解决网格型计算问题的首要任务是认识网格.只有充分认识并理解网格的特殊性，才能解决好计算问题，而计算问题的关键是求线段长度，能求出网格中线段的长度，图形的相关问题也会迎刃而解.因此，本节课通过认识网格、操作体验、应用网格、网格拓展等环节，引导学生在数学活动中完成学习任务，实现引思解惑、提升能力、立德树人的复习目的.

三、教学问题诊断分析

学生对网格有一定的认知基础，对网格中数量、位置关系有初步认识，能借助网格解决较为简单的画图操作类任务，但对于复杂情境下的图形问题，应对能力不足，利用网格分析和解决问题的策略欠缺.其中部分学生具备整体上的建构意识，会尝试性地建构直角三角形解决相关问题.但是在如何建构合适的直角三角形时，常常遇到困惑，难以有效突破认知障碍.

四、教学过程设计

1.认识网格

问题1：如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.从几何图形的视角，说一说从网格上能获取哪些直观的信息？

图1

追问：还能获取哪些间接的信息？

【设计意图】网格问题为几何直观提供了有效载体.呈现正方形网格，以问题引导学生从直观上认识正方形网格上的外显信息，如点（格点）、线（平行线、垂线）、面（正方形、矩形）等，并以单个正方形的特殊性作为起点，引领学生感悟正方形网格特殊性的本质属性.再通过追问，诱发学生对网格中内隐信息的思考，如格点线段（对角线、相交线、平行线）、格点三角形（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）等，以帮助学生从外显与内隐两个层面进一步认识正方形网格的特殊性，解决“什么是网格”的首要问题，为后续计算的探索做好充分的准备.

2.操作体验

问题2：如图2，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.

（1）任意连接两个格点，可以得到一些线段，并说出它的长度；

（2）在正方形网格中，画出一个直角三角形，使其三条边长都是无理数；

（3）在正方形网格中，画出一个平行四边形，使其四条边长都是无理数.

图2

【设计意图】网格背景下的作图，给了学生多角度探究的空间.根据具体的学习任务，动手操作，体验正方形网格中的格点线段（内隐型）的求解方法，感受直角三角形在网格计算中的重要作用.在正方形网格中画出满足条件的直角三角形和平行四边形，意在让学生回顾在网格中建构垂直与平行的基本方法，实现在操作体验中认识网格、理解网格、掌握方法的目的.

3.应用网格

问题3：如图3，在正方形网格中，每个小方格单位长度为1，点A，B在格点上，在网格图找出格点C.

图3

（1）使△ABC是以AB为腰的等腰三角形；

（2）使△ABC的面积为2个平方单位.

【设计意图】借助问题驱动学生自主完成找格点的学习任务，培养分类讨论思想，使学生学会有序地分析与思考，有条理地表达与展示.在自主参与的操作活动中，体会网格中的平行线、矩形对角线的使用价值，学会运用辅助线分析和解决问题.

问题4：如图4，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C均为格点.（教师先让学生试着提出一些计算的问题并解决，然后再出示以下问题.）

图4

（1）试画出△ABC外接圆的圆心，并写出外接圆的半径r的值为______.

（2）求sin∠ACB和tan∠CAB的值.

（3）将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A1B1C，试画出△A1B1C.

（4）若用扇形CAA1围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径长为______.

【设计意图】预设学生提出的计算问题为求△ABC的周长、面积，求sin∠ACB，画△ABC的平移、旋转后的图形等.通过采用开放性的问题设计，有利于培养学生发现和提出问题的能力，深化对网格型计算问题的认识.网格型计算问题涉及的数学知识比较多，既没办法也没必要逐个呈现.在教学中，教师可以设计一些具有代表性的计算问题，让学生解决具有典型性、关联性的关键问题即可.例如，此题第（2）小题，要求sin∠ACB的值，需要找直角三角形，此题中的直角三角形比较直观，相对简单.接着求tan∠CAB时，没有直接可以用的直角三角形，此时应引导学生思考怎样建构直角三角形（格点直角三角形），同时，思考为什么这样建构，还可以怎样建构，并思考非格点直角三角形的建构方法，学会求网格中锐角三角函数（线段）的通解、通法.

问题5：如图5，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，AB，CD相交于点O.

求：（1）tan∠AOD的值为______；

（2）∠BAC+∠EFG的值为______.

图5

【设计意图】问题4中，三角形两个锐角的顶点都在格点上，而此题中∠AOD的顶点不是格点，求tan∠AOD的值的难度更大.此时，学生需要解决两个问题：一是把∠AOD的顶点转移至格点上；二是围绕∠AOD建构直角三角形.教师引导学生思考：如何转移？为什么这样转移？还可以怎样转移？同时，鼓励学生尝试不同的转移方案及构造直角三角形的方法，最终归纳为线段平行和垂直的本质问题.此题第（2）小题是关于两个角的拼合问题，意在引导学生思考“面”的平移方法.

4.网格拓展

问题6：如图6，由形状、大小相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角（∠O）为60°，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值为____.

图6

【设计意图】网格型计算问题多以正方形网格为背景，此处把学习任务拓展至菱形网格，使问题更具挑战性.学生在问题解决过程中，需要掌握解决网格型计算问题的一般策略.

5.小结思考

问题7：想一想，解决网格型计算问题的关键是什么？试以边长为1的正方形网格为背景（如图7），创编一道计算问题.

图7

【设计意图】引导学生回顾整节课的学习流程，鼓励学生进行反思性总结，聚焦计算网格问题的关键点，即求直角三角形中的线段长，解决了关键点，其他计算问题都可以顺利完成.最后让学生经历正方形网格背景计算问题的创编过程，真正把“学为中心”的教学理念落到实处，培养学生的应用意识和创新意识，让不同层次的学生在原有认知基础上都有不同程度的发展.

6.检测反馈

略.

五、教学反思

1.立足学情，引思解惑助重构

专题复习课的教学设计应做到“眼里有学生”，也就是常说的“学为中心”的教学理念.以网格型计算问题作为专题复习的主题，缘起于2017年江苏省无锡市数学中考试卷第18题，学生在解决这个问题时感到困惑，束手无策，这引起了笔者的注意.

题目（2017年江苏·无锡卷第18题）如图8，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，AB，CD相交于点O，则tan∠BOD的值为____.

分析发现，学生主要困惑于如何转移∠BOD，以及转移后如何构造直角三角形两个关键问题上.另外，两条比较长的格点线段在一定程度上干扰了学生的思考，导致大部分学生难以正确解答此题.基于以上学情分析，笔者以网格型计算问题为专题，从低起点的认识网格活动开始，引导学生逐步经历操作体验、应用网格等活动环节，呈现螺旋上升式的教学设计，使学生从低阶思维向高阶思维发展，鼓励学生反思解决问题的策略，挖掘网格型计算问题的内在属性，帮助学生重构知识结构，把握网格型计算问题的数学本质.

图8

2.立意素养，立德树人促成长

网格型计算问题的专题复习涉及的知识点比较分散，教师不可能讲的面面俱到.专题复习课不是对知识点的简单回顾与堆砌，也不是大量练习的组合再现，这会使专题复习课缺乏人文性和教育性，索然无味.网格型计算问题的教学设计应立意于数学核心素养，努力使学生在完成专题学习任务的过程中，通过观察、想象、操作、归纳、分析等活动，发展学生的直观想象、数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，实现立德树人的教学目的.例如，在问题5的教学中，通过让学生经历独立思考、主动操作、积极展示等活动过程，探索“角”转移的不同方法及路径，一题多解，方法灵活多样，最终实现方法归一，即都要通过建构直角三角形解决边、角计算的问题，整个过程有效培养了学生的数学建模素养.又如，在整节课的计算问题解决过程中，学生明晰运算对象，探究运算思路，依据勾股定理、相似三角形、锐角三角函数等知识，求得运算结果的过程，就是发展学生数学运算素养的过程.

总之，网格型计算问题的专题复习课是为了解决学生的困惑而开设的.在学生经历认识网格、操作体验、理解网格，并学会运用网格解决实际问题的复习过程中，发展学生的数学核心素养，落实立德树人的复习目标.