初中生数学问题提出能力的年级差异研究

洪丽暖，郭玉峰

（广东省深圳市龙岗区龙城高级中学（教育集团）宝龙外国语学校；北京师范大学数学科学学院）

学生发现和提出数学问题的能力日益引起关注.美国《学校数学的标准与原则》（《Principles and Standards for School Mathematics》）指出，数学课堂教学中要重视学生的数学问题提出活动.我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中规定，要让学生学会从数学的角度提出问题、理解问题.

然而，关于数学问题提出的课程设计并不完善，教学实践更多基于经验.虽然《标准》阐释了对学生发现和提出问题能力的课程目标要求，说明了三个不同学段的不同发展要求，但仍然缺乏对这些课程目标设置合理性的论证，也缺乏对不同学段学生发展要求的合理性和可行性的论证.初中教材中涉及数学问题提出的活动很少，在一线教学中，研究者和教师更多的是侧重于将数学问题提出作为工具融入课堂.

究其原因，是对数学问题提出能力内在机制的研究并不成熟，有研究关注于数学问题提出的内在心理，但缺乏一个明确的类似于波利亚数学问题解决四个步骤的数学问题提出框架，更多研究侧重了解某一个年级学生的数学问题提出能力，或研究小学生和高中生数学问题提出能力的发展.

本研究在借鉴已有数学问题提出能力测试及评价的基础上，选取同一套测试题对某中学初中三个年级的学生进行测试，了解初中生数学问题提出能力是否存在年级差异.虽然该测试题不能考查学生数学问题提出能力的所有方面，且样本数量有限，但是能在一定程度上反映初中生的数学问题提出能力，以及不同年级的差异情况.希望本研究能为《标准》初中学段数学问题提出能力的目标设置提供实证依据和参考.

一、基本概念的界定与研究问题

国外对问题提出的内涵的阐述较为主流的有以下两种：Stoyanova侧重于已有的问题情境结构，认为数学问题提出是学生基于数学经验，建构起对具体情境的个人理解，并将其表达为有意义的、结构良好的数学问题的过程.Silver基于数学问题提出与问题解决的关系，指出数学问题提出是对新问题的产生和给定问题的再阐述（re-formulation）.

在《〈义务教育数学课程标准（2011年版）〉解读》中，对发现问题与提出问题的内涵的定义如下：发现问题是经过多方面、多角度的数学思维，从表面上看起来没有关系的一些现象中找到数量或空间方面的某些联系，或者找到数量或空间方面的某些矛盾，并把这些联系或者矛盾提炼出来；提出问题是在已经发现问题的基础上，把找到的联系或者矛盾用数学语言、数学符号集中地以“问题”的形式表述出来.

《〈义务教育数学课程标准（2011年版）〉解读》对数学问题提出的内涵的定义更贴近问题提出内在的思维过程，所以本研究基于《标准》对数学问题提出的定位（问题提出能力是创新意识的体现），将“数学问题提出能力”界定为：学生经过多方面、多角度的数学思维，从表面上看起来没有关系的一些现象中找到并提炼出数量或空间方面的某些联系或者矛盾，并进一步用数学语言、数学符号以“问题”的形式表述出来的能力.

由此定义出发，研究从三个指标——流畅性、灵活性、深刻性来进一步刻画学生的数学问题提出能力.数学问题提出能力的评价框架如表1所示.

表1

根据以上框架，本研究使用相应的测试工具进行测试，旨在回答以下问题：初中生数学问题提出能力是否存在年级差异，即初中生数学问题提出能力在流畅性、灵活性、深刻性三个方面是否存在年级差异？

二、研究方法

1.研究对象

测试调查的样本取自北京市东城区的一所区重点初中.该学校每个年级有6个班级，从每个年级随机抽取两个班级参加测试.样本总计229人，其中七年级为78人，八年级为84人，九年级为67人.测试时间是2018年11月.三个年级的班主任都在班会课上发放问卷，并监督学生完成.答题时间为30分钟.

2.研究工具

研究使用两道半结构化情境下的测试题.Stoyanova将数学问题提出情境分为开放性情境（free situation）、半结构化情境（semi-structured situation）、结构化情境（structured situation）.有研究表明，情境的类型、变式教学和年级交互影响了高中生的数学问题提出能力.本研究的前期工作也发现不同情境类型下初中学生的表现差异大，所以本研究最终聚焦于半结构化情境下的数学问题提出.选取来源于已有数学问题提出研究的两道测试题，以下分别简称为金字塔情境（如图1）和圆点情境（如图2）.

图1

图2

这两个问题情境的指导语是：根据以上情境，请你尽可能多地提出数学问题，尽可能从多个角度提出数学问题，尽可能提出难的数学问题.

教师引导学生按照二级指标答题.

选择这两个问题情境的原因如下：首先，这两个问题情境对于三个年级的学生都没有知识上的障碍.其次，这两个问题情境满足本研究对学生数学问题提出能力在流畅性、灵活性和深刻性方面的考查.一方面，这两个问题情境具有一定的开放性，满足本研究对数学问题提出能力在流畅性和灵活性方面的测试；另一方面，学生对这两个问题情境可以提出具体的问题，也可以进一步提出抽象的、一般化的问题，满足本研究对数学问题提出能力在深刻性方面的测试.

预测是在北京市海淀区某初中进行，从七年级和八年级两个年级各选取一个班级，其中七年级为35人，八年级为29人.测试结果表明，学生能够根据给定的要求理解题意，并基于一定数量的角度提出问题.大部分学生能在20分钟内完成测试题，但是有个别学生使用时间近30分钟，所以正式研究时将测试时间定为30分钟.

3.编码与计分

根据学生答题情况，去掉以下问题：（1）非数学问题.例如，根据图中的规律你还能提出什么数学问题？为什么这样排序？除了以上的几种排列方式，你还有哪些排列方式？（2）表达不清晰问题.例如，金字塔情境中，用数字组成了一个三角形，这个三角形的第n-2行，所有的高的和是多少？（3）对给出的条件进行提问.例如，金字塔情境中，第2 018个数字是什么？（4）与已知条件矛盾的问题.例如，圆点情境中，第300个圆点会在第几个图？

去掉以上问题后，对其余的数学问题从流畅性、灵活性、深刻性三个方面进行编码和计分（如表2）.借鉴已有研究中对流畅性和灵活性的操作性定义，将表达清晰，且不与已知条件矛盾的、针对给定的问题情境进行提问的数学问题个数计为该学生的流畅性分数.将所有的学生提出的问题进行综合后分类.

表2：数学问题提出能力的三级指标

例如，把学生对金字塔情境提出的所有问题分为了11类（见附录中的表1），统计每位学生提出的问题涉及到的类别个数，记为灵活性分数.如图3为某学生对金字塔情境提出的问题，该学生共提出符合要求的数学问题有4个，涉及第2类问题和第4类问题，类别个数为2，所以该生的流畅性分数为4，灵活性分数为2.

图3

进一步，借鉴已有研究中的编码，把学生提出的符合要求的数学问题分为3类——记忆与操作类、理解与联系类、反思与拓展类（如表3），学生出现反思与拓展类问题的个数记为难度分数D1.由于每位学生提出的问题个数并不相同，将难度分数D1除以流畅性分数，计为单位难度分数D2.如图3，该生提出了2个反思与拓展类问题，即难度分数D1为2，又由流畅性分数为4，则其单位难度分数

表3：数学问题的难度分类（以金字塔情境为例）

为了确保评分客观，从本次问卷中抽取30份学生答卷，请另外一位研究者独立编码.最后得出金字塔情境中的编码的一致性是87%，圆点情境中的编码的一致性是91%.说明本研究有较高的评分者一致性信度.

三、研究结果与分析

根据对数学问题提出能力的界定，通过分析学生在两个问题情境中的表现，分别对七年级、八年级和九年级学生的数学问题提出能力进行分析比较.

1.初中生数学问题提出能力在流畅性上的年级差异

图4和图5给出了初中生流畅性分数的趋势比较和离散程度比较.可见，随着年级的递增，学生的流畅性分数下降且更为集中.

图4

图5

由于初中生的流畅性分数不服从正态分布，进一步使用非参数检验中的克鲁斯卡方-沃利斯检验探究三个年级学生的流畅性分数之间的差异.结果表明：在金字塔情境中，三个年级学生的流畅性分数之间不存在显著性差异(χ2(2，N=229)=2.182，p=0.336＞0.05).三个年级学生在圆点情境中的流畅性分数之间存在显著性差异(χ2(2，N=229)=6.213，p=0.045＜0.05).通过执行曼-惠特尼U检验，可以进一步发现，七年级学生与九年级学生在流畅性分数之间存在显著性差异(U=1 992.5，p=0.013＜0.016 7)，八年级学生与九年级学生在流畅性分数之间不存在显著性差异(U=2 571.0，p=0.358＞0.016 7)，七年级学生与八年级学生在流畅性分数之间不存在显著性差异(U=2 810.0，p=0.116＞0.016 7).

在圆点情境中，七年级学生相对于九年级学生提出了更多的数学问题的原因是，七年级学生提出了更多的第1类问题，平均每个七年级学生提出3.10个第1类问题，而平均每个九年级学生提出1.69个第1类问题.

2.初中生数学问题提出能力在灵活性上的年级差异

对于初中生数学问题提出能力在灵活性上的年级差异，表现如下：一方面，通过灵活性分数从量上来了解年级差异；另一方面，通过每个年级的问题的类别数量占比从质上了解年级差异.

（1）初中生灵活性分数的年级差异.

图6和图7给出了初中生灵活性分数的趋势比较和离散程度比较.可见，在金字塔情境中，随着年级递增，学生的灵活性分数变化不大，分数分布更为集中.在圆点情境中，随着年级递增，学生的灵活性分数分布变化不大.

图6

图7

由于初中生的灵活性分数不服从正态分布，进一步使用非参数检验中的克鲁斯卡方-沃利斯检验探究三个年级学生的灵活性分数之间的差异.结果表明：三个年级学生在金字塔情境中的灵活性分数之间不存在显著性差异(χ2(2，N=229)=0.179，p=0.914＞0.05)，在圆点情境中的灵活性分数之间不存在显著性差异(χ2(2，N=229)=0.672，p=0.715＞0.05).

（2）问题的类别数量占比的年级差异.

表4给出了不同年级学生对金字塔情境所提问题的类型分布.为了解不同年级的学生在提出问题的类别方面存在的差异是否有显著性，进一步使用行列卡方检验探究学生提出问题的类别与年级关系是否独立.结果表明：学生提出的问题的类别与年级关系并不独立(χ2(20，N=979)=76.847，p＜0.05).

表4：不同年级学生提出的数学问题的类型分布

为进一步检验哪些年级之间在具体的类别上存在差异，表5给出了不同类别问题的占比是否存在年级显著性差异的卡方检验结果.

表5：金字塔情境中不同类别问题的占比是否存在年级显著性差异的卡方检验结果

由表4和表5可以看出，对于学生较为常见的问题类型（第1类和第2类），不同年级的学生都提出了大量的第1类问题和第2类问题.

对于某些对抽象思维和观察能力要求高的类别，更高的年级表现更好.对于第9类问题（改条件或添加信息类），八年级与九年级的学生提出这类问题上的占比显著高于七年级的学生(χ2(1，N=685)=7.787，p=0.005＜0.016 7)，(χ2(1，N=576)=17.843，p＜0.016 7)；对于第5类问题（数差类），九年级学生提出第5类的占比显著高于七年级的学生(χ2(1，N=581)=7.178，p=0.007＜0.016 7).

第3类（求和类）和第4类（个数类）的问题相对于第9类问题和第5类问题，对学生的观察能力和抽象思维能力要求低，低年级学生更多地提出了这类问题.对于第3类问题（求和类），七年级学生提出这类问题上的占比显著高于九年级的学生(χ2(1，N=581)=7.924，p=0.005＜0.05/3=0.016 7).对于第4类问题（个数类），七年级学生提出这类问题上的占比显著高于八年级和九年级的学生(χ2(1，N=685)=13.228，p＜0.016 7)，(χ2(1，N=581)=11.823，p=0.001＜0.016 7).

由于圆点情境相对于金字塔情境封闭（如图5），不对圆点情境问题的类别数量占比进行讨论.

3.初中生数学问题提出能力在深刻性上的年级差异

图8和图9给出了初中生单位难度分数D2的趋势比较和离散程度比较.可见在金字塔情境中，随着年级递增，学生的单位难度分数D2递增，且离散程度差异性不大.在圆点情境中，单位难度分数D2在八年级经历了一个下滑后上升，且九年级学生的单位难度分数D2较七年级和八年级的分散.

图8

图9

由于初中生的单位难度分数D2不服从正态分布，进一步使用非参数检验中的克鲁斯卡方-沃利斯检验探究三个年级学生的单位难度分数D2之间的差异.结果表明：三个年级学生在金字塔情境中的单位难度分数D2之间存在显著性差异(χ2(2，N=229)=6.962，p=0.031＜0.05).通过执行曼-惠特尼U检验，可以进一步发现，七年级学生与九年级学生在单位难度分数D2之间存在显著性差异(U=1 989.0，p=0.012＜0.016 7)，八年级学生与九年级学生在单位难度分数D2之间不存在显著性差异(U=2 303.5，p=0.052＞0.016 7)，七年级学生与八年级学生在单位难度分数D2之间不存在显著性差异(U=3 041.5，p=0.423＞0.016 7).

三个年级学生在圆点情境中的单位难度分数D2之间存在显著性差异(χ2(2，N=229)=8.376，p=0.015＜0.05).通过执行曼-惠特尼U检验，可以进一步发现，七年级学生与八年级学生在单位难度分数D2之间存在显著性差异(U=2 496.0，p=0.008＜0.016 7)，七年级学生与九年级学生在单位难度分数D2之间不存在显著性差异(U=2 551.5，p=0.804＞0.016 7)，八年级学生与九年级学生在单位难度分数D2之间不存在显著性差异(U=2 228.5，p=0.025＞0.016 7).

金字塔情境中的结论更符合我们的经验，而圆点情境中的结论并不与金字塔情境一致，所以进一步了解圆点情境中三个年级单位难度分数D2差异的来源.由于圆点情境中，第1类问题是学生提出的主要问题类别（七年级、八年级、九年级学生提出的问题中有67.41%，54.10%，48.09%是第1类问题，见附录中的表2），且八年级学生相对于其他年级提出了较多的第8类（计算类）问题（七年级、八年级、九年级学生提出的问题中有4.18%，12.16%，5.53%是第8类问题）.对以上两类问题的难度类型分布进行分析.由表6可见，七年级学生提出的大量的第1类问题中，反思与拓展类问题多于八年级和九年级的学生，可见这是七年级学生单位难度分数D2高的一个原因.而八年级学生相对于其他年级更多地提出了第8类问题，而该类问题本身不容易提出反思与拓展的难度（如表7，所有的第8类问题中，仅有4%的问题达到反思与拓展难度），这是八年级学生单位难度分数D2相对低的部分原因.

表6：圆点情境中第1类问题的难度分布

表7：圆点情境中第8类问题的难度分布

四、结论与讨论

1.随着年级的增长，学生基于问题角度的个数，以及提出的问题个数无显著性的差异

已有数据表明：在金字塔情境中，流畅性分数不具有年级差异；在圆点情境中，流畅性分数和灵活性分数不具有年级差异.虽然在圆点情境中，七年级学生相对于九年级学生显著地提出了更多的问题，但这是由于七年级学生重复地提出了第1类问题.

这与胡卫平对创造性科学问题提出的研究结论是不一致的.胡卫平的研究结果发现：在初中阶段，八年级学生在创造性科学问题提出方面达到高峰，即学生在八年级时候其科学问题提出能力在流畅性分数和灵活性分数上都比七年级、九年级要好.而在本研究中，学生数学问题提出能力的流畅性分数和灵活性分数并没有显著性的差异.其可能存在以下两点原因：（1）这是在不同的学科领域里涉及的研究，虽然胡卫平的研究里有开放性和封闭性两种情境，但是相对于本研究采用的情境，其实是相对开放的，而本研究里，涉及到代数领域，需要学生有相应的代数知识.例如，需要学生对情境中的数量关系能有所识别和观察，且本研究在编码时会舍弃学生提出与情境矛盾的问题（即不计分）；（2）本研究使用的指导语跟胡卫平的研究有一定的差别，本研究除了要求学生尽可能提出更多的问题，尽可能从多个角度提出问题，还要求尽可能提出难的问题，这跟胡卫平的新颖性的要求不同，有可能是因为尽可能提出难的问题的要求在一定程度上限制了学生的发挥.

2.学生是否基于一般规律去进行提问与年级存在关系

本研究结果中，单位难度分数D2的年级差异存在统计意义上的显著性，样本的数据符合现实中的认识.

然而，这两个问题情境的结论不一致.在金字塔情境中，学生的单位难度分数D2的确随着年级增长，九年级学生在金字塔情境中的单位难度分数D2显著高于七年级学生.在圆点情境中，七年级学生的单位难度分数D2显著高于八年级学生的单位难度分数D2.注意到，八年级学生在两个情境中的单位难度分数D2差异不大，九年级学生也是如此，其可能存在的原因是：圆点情境较多地出现在七年级学生的课后习题里，学生习惯性地模仿这类题目进行提问；学生将问题的“难”理解为计算上的繁杂.

不可否认的是，学生是否能基于一般规律进行提问与年级存在关系.金字塔情境中，高年级学生提出了更多的对抽象思维要求较高的问题，如第9类（改条件或添加信息类）问题.这使得我们要进一步地使用更为可以了解学生在数学问题提出的深刻性方面的试题来进一步测试.

附录：灵活性分类

表1：金字塔情境的灵活性分类与相应例子

表2：圆点情境的灵活性分类与相应例子