“分”“合”“联”，整体设计三角形单元教学

徐 颖

（上海市浦东教育发展研究院）

单元教学设计就是教师对学科教学内容进行完全的解读、剖析后，从一章或者一个单元的角度出发，对教学内容进行重组、整合，转化成符合学生实际的教学单元.教师要根据章节或单元中不同知识点的教学需要和学生的特点，综合利用各种教学形式和策略，让学生完成对一个相对完整的知识单元的学习.教材解读、整体规划，以及基于学生学习的教学设计是单元教学设计的关键所在.

单元教学设计是介于宏观的课程设计与微观的课时设计之间的中观层面的教学设计.有学者指出，在中观层面上应引导学生以数学概念的发生、发展过程为载体，经历完整的数学思考过程，从而掌握研究一个新的数学对象的“基本套路”，具体包括：明确研究的问题，获得研究的对象，确定研究的内容，选取研究的方法，建构研究的过程，获得研究的结论，等等.

在初中的教学内容中，平面几何的内容占了很大的比重.几何学习对于学生来说确实是一个难点，而现有初中教材中的平面几何内容分散在多册多章节中.因此，在教学中很容易产生磕磕绊绊的情况，主要表现为：在学习与应用过程中对基础知识的本质理解不到位，知识应用的连贯性不好，等等.教师教得累，学生学得也累.

结合《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求以及教参的建议，将单元教学从学生学习的方法或者认知特点的一致性角度进行整体的设计，并基于整体单元设计进行课时的设计，是解决当前初中平面几何教学窘境的有益探索.本文以沪教版《九年义务教育课本·数学》七年级第二学期（以下统称“沪教版教材”）第十四章“三角形”为例，探讨单元视角下三角形内容的教学设计.

“三角形”一章围绕着三角形的六个基本元素，研究三角形的基本概念、表示方法和基本元素之间的关系.一个三角形主要研究角之间的关系：内角和，外角和，内、外角之间的关系；边之间的关系：任意两边之和大于第三边；边角之间的关系：大边对大角（等边对等角）.研究几个三角形之间的关系，即全等，主要是对应元素之间的关系（数量、位置）.针对特殊三角形，研究三角形的分类（按边分、按角分），以及某些特殊三角形的判定与性质.另外，还对与三角形有关的线段进行研究.在单元教学中，教师需要对这些教学内容进行适当整合.在本章中主要有三个小节的内容，可以将这三个小节规划为“三角形”大单元中的三大专题，即三角形的有关概念与性质、全等三角形和等腰三角形.下面具体探讨单元视角下对三角形内容进行分解、整合，并通过设计单元活动进行联结贯通的思路.

一、分解内容，合理规划

对于“三角形的有关概念与性质”专题的部分内容，学生在小学就曾经接触过，但是学习的内容、本质、学习要求均与初中有所不同.因此，在该专题的教学中，做好知识的再现与深化，引导学生关注学习方法的差异与提升是关键.

“三角形的有关概念与性质”的内容主要可以分解为6个小专题，如表1所示.

表1

对于“三角形的有关概念与性质”专题，沪教版教材的编写顺序为：①→②（任意两边的和大于第三边），④（画三角形的中线、角平分线、高）→⑥，⑤，④（三角形的中线、角平分线、高的位置特征）→③；人教版《义务教育教科书·数学》的编写顺序为：①→⑤，⑥，②（任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边）→④→②（三角形的稳定性）→③；北师大版《义务教育教科书·数学》（以下统称“北师大版教材”）的编写顺序为：①→③→⑤，⑥→②→④.北师大版教材的各个小专题之间是没有重叠的，将每个小专题都比较完整地呈现出来.

从内容和学生的认知角度来看，③⑤研究的是等量或者定量关系，②研究的是不等关系，⑥在研究的过程中如果能够得到③的支撑，则是一个比较容易获得的结论且说理比较清楚的.初中生对于等量关系的理解能力远大于对不等关系的理解.

通过对教材内容和学生学情的分析，建议教学时可以将“三角形的有关概念与性质”这一专题内的小专题与课时适当地调整为①→③→⑤，⑥→②→④，即三角形的概念→三角形的内角和→三角形的分类（按角分类、按边分类）→三角形的三边关系→三角形的有关线段.

这种先分解再组合的规划方式在单元确定之后的专题与课时设计过程中是比较常用的方法.

二、整合内容，突出重点

“全等三角形”是三角形单元中的重点内容.与上海市一期课改初中数学教材相比，二期课改教材有一个明显变化，其中多了一节“画三角形”的内容.在教材配套教参中指出：通过画三角形来探究确定一个三角形的形状和大小需要给定这个三角形的几个元素，让学生初步感知判定两个三角形全等的条件，体会分类的思想；让学生通过尝试和分析，知道要给定三角形的三个元素且其中至少有一边，才有可能画出一个确定的三角形；再将条件按“一边两角”“两边一角”“三边”分类讨论，然后根据提出四种情况分别具体画三角形.但是如何通过学生的活动体现画三角形与全等三角形判定之间的关系是需要探讨的重点问题.

在教学实践中，通过对如何画三角形，以及三角形全等条件的探究，笔者将三角形全等部分的内容进行了调整与整合，如表2所示.

表2

上述整合内容的重点放在三角形全等判定方法的探究上，将三角形形状的唯一确定性放到了画三角形部分，集中探究具有相同条件的确定的三角形之间的关系，即三角形全等的条件.在探究完三角形全等的条件后进行合理选择判定方法、规范书写的教学，并进行应用.

从整合的内容与课时来看，调整后的课时设置与教材给出的课时设置基本相同，还将关于“‘边边角’能判定三角形全等吗？”的阅读材料整合到本专题的教学中.

从整合的教学实践来看，对于如何画三角形，不仅仅是在给定条件的画法探究上，对于给出怎样的条件可以画三角形的探究也有所涉及，从而使教学问题的设计及教学的过程更开放，使问题更有思维含量，对于分类讨论思想方法的渗透比较明显，从特殊到一般的思考问题的方式也有更明显的体现.

从整合的效果来看，将探究判定条件与合理选择判定方法前置，注重了学生在解决三角形全等问题时的思维逻辑，在新课的学习中避免了单一知识的重复训练，提高了思维的品质，对于知识的综合掌握和合理应用有比较大的帮助.

三、联结内容，活动贯通

沪教版教材中给出了“阅读材料：‘边、边、角’能判定三角形全等吗？”“探究活动一：七巧板问题”“探究活动二：分割等腰三角形”，笔者以这三个内容为主要活动，结合单元内容的特点，设计三角形单元的系列探究活动，如表3所示.

表3

续表

从探究活动的内容、时间、地点及形式确定活动所处的专题，以活动的实施串联专题内容并进行一定程度的单元目标分解.

以探究活动八和探究活动九为例，“分割等腰三角形”是教材上的探究活动，对于很多学生来说阅读理解、分类研究、形成结论的整个探究过程有一定的难度，教师必须设计好探究的问题串.而设计的新的探究活动“探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件”可以从学生画图、举例、归纳入手，探究出一个三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件，并以此为基础进一步探究出具有哪些条件的等腰三角形可以被分割成两个等腰三角形.这两个探究活动可以看成是特殊与一般的两个活动，也可以看成是对同一个活动的两个不同的研究角度.在实际操作的过程中，这两个探究活动对于学生学习准备的要求及主要采用的方法不同，但是对于分类讨论思想，以及等腰三角形判断与性质的综合应用等维度的目标要求是一致的.

这样的活动设计与实施，最后呈现的形式可以是简单的问题回答，也可以是数学小报或者小论文的形式，主旨是展现探究的过程.在活动设计时，教师需要整合、细化活动，对整个单元中的基础知识、基本技能、基本数学思想等要进行整体布局式的合理设计，这样的活动设计在丰富学生的基本活动经验的同时，能大大提升教师“理解数学、理解学生、理解教学”的水平.

“分割等腰三角形”和“探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件”这两个活动设计，所呈现出来的不同解决问题的角度和方法，对于学生后续解决一些常规的问题也是很有帮助的.例如，如果一个等腰三角形能被分割成两个等腰三角形，求这个等腰三角形顶角最大可能的度数.在解决这个问题的过程中，学生可以从两个不同的角度思考问题：在探究活动八的结论中找到可以被分割成两个等腰三角形的等腰三角形，并从中找出最大的顶角；在探究活动九中，从可以被分割成两个等腰三角形的三角形所具有的特征中加上等腰的条件后找到最大的顶角.学生经历过活动的探究，自然会对单元整体有更深入的理解.

综观教学理念下的单元教学设计，需要关注的不仅仅是“合”“分”的问题，“联”是在单元设计中更需要关注的问题.单元的组织与构成可以采用知识相近的原则，也可以采用方法相近、应用相近的原则.经过一段时间的教学实践表明，将整个初中数学教学以单元教学设计的整体思想来建构，对于学生的数学学习与应用有很好的促进作用.