高师概率论教学中化归思想渗透探究

李荣玲

（滇西科技师范学院数理学院 云南·临沧 677099）

0 前言

义务教育数学课程总目标强调“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，其中的基本思想就是数学思想。为了让高校培养的师范生更快地适应未来的中小学数学教育教学工作，在教师专业化成长的第一个阶段——师范教育阶段的相应课程教学中，教师要重视进一步渗透相关数学思想。而作为高师小教理本专业课程设置中一门以自然界中的随机现象为研究对象的课程，概率论与人们的现实生活密切相关，教学过程当然离不开问题解决。前苏联著名数学家C.A.雅诺夫斯卡娅说过“解题就是把问题归结为已经解过的问题”。这里的归结就是化归，所以，解决任何一个问题的过程都是一个化归的过程。化归思想是本课程最根本的数学思想。概率论的核心思想—随机思想是从个别到一般的转化。概率论的基本思想—集合与映射思想、数形结合思想、公理化思想、分类思想、函数与方程思想和数学建模思想等。其中集合与映射思想、分类思想体现的是局部与整体的互化；数形结合思想思想是数与形之间的互化；函数与方程思想是函数、方程与不等式之间的互化；公理化思想、数学建模思想是从特殊到一般，从具体到抽象的转化，因此，化归思想统揽着本课程其他数学思想方法。毛泽东同志论述方法论时有一段名言：“我们的任务是过河，但是没有桥或没有船就不能过。不解决桥或船的问题，过河就是一句空话。”可以这样说，数学思想就是教师教授概率论的“桥”和“船”。倘若高师教育不重视发展学生的化归意识，未来的数学教师自己很缺乏对化归思想的认知，当他们去执教时又教出对化归思想无知无畏的下一代，这于基础教育改革是非常不利的。基于此，高师概率论教学不应该只局限于传授基础知识和基本技能，而更应该重视数学思想的教学，特别是化归思想的渗透。让化归思想的渗透贯穿于概率论教学的全部过程，使我们培养的未来教师有丰富的化归意识能适应基础教育的改革与发展。

1 化归思想概述

化归就是转化和归结，客观事物是不断发展变化的，事物之间的相互联系和转化是现实世界的普遍规律。数学中充满了矛盾，如：已知与未知、复杂与简单、熟悉与陌生、困难和容易等。实现这些矛盾的转化、化未知为已知，化复杂为简单、化陌生为熟悉、化困难为容易就是化归思想实质。[1]在对问题作仔细观察的基础上，展开丰富的联想，以求唤起对有关旧知识的回忆，开启思维的大门，顺利地借助旧知识、旧经验来处理面临的新问题，这种数学思想就是化归思想。[2]它的基本思路是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个问题，而问题是相对较易解决或已有固定解决程序的问题，且通过对问题的解决可以得到原问题的解答。

2 高师概率论教学中渗透化归思想的几点策略

2.1 在概率论教材中充分挖掘蕴含的化归思想，化隐为显

概率论的知识可分为表层知识和深层知识，像概念、公式、定理、法则这些知识，看得见，摸得着，是外显的，叫表层知识；像数学思想、数学意识看不见，摸不着，是隐含的，叫深层知识。表层知识在明处，教学中较容易把握，深层知识在暗处，教学中把握起来较困难。[3]这就需要任课教师全面熟悉和掌控本课程知识结构，感知课程知识的整体内容、内在联系，充分挖掘蕴含在表层知识中的数学思想方法，特别是统揽着本课程其他数学思想方法的化归思想。比如，概率性质5：对于任意事件，都有是表层知识，但此性质中蕴含着的化归思想，教师要把其充分挖掘出来，即当人们遇到的随机事件越复杂时，他的对立面就越简单，因此，当正面求解一个事件的概率很难或不能求得时，往往转而关注其对立面，像又如，分布函数法中，反复涉及化归思想，教师应该把其挖掘，化隐为显。应用分布函数的概率意义，建立等式把未知的用概率值转化出来，这是第一次化归；根据关系式得到在不等式中求出，找到与的联系式，即用已知的表示未知的这是第二次化归；求导固定这是第三次化归；根据的分布，确定出的解析表达式，这是第四次化归。通过这样层层挖掘，化归思想逐渐明朗。

2.2 在表层知识的教学中逐步渗透化归思想，发展学生的数学认知结构

教授表层知识时，因为其是外显的，教师可以引导学生利用观察、试验、、猜测、直觉、归纳和类比等思维形式，顺利地将旧知识、旧经验与将要学习的新知识联系起来，将新知识转化为旧知识，顺利渗透化归思想。例如随机事件概念教学时，教材里是这样解释随机事件的：在随机试验中，我们把可能发生也可能不发生的一些结果堆放在一起构成一个整体，这个整体就称为该随机试验的随机事件。教师通过引导学生联想发现：任何一个随机事件都是由随机试验的一个或者多个不能再分解的结果所组成的，也就是说，随机事件是将一些具有共同特征的研究对象堆积在一起构成的一个整体。因此随机事件就是集合，把事件化归成集合后，事件之间的关系、运算和运算律这些新知识全部化归为集合之间的关系、运算和运算律这些旧知识。运用化归思想对表层知识进行消化、整理、归纳，将零散的新知识纳入原有的数学知识结构中去，最终发展师范生的数学认知结构

2.3 在典型例题的解答中反复运用化归思想，深化师范生化归意识

解答典型例题的过程，就是化繁为简、化难为易、化未知为已知、化新为旧的过程。这一过程就是反复运用化归思想的过程，解题时，通过观察、联想、分析、类比题目的条件、已知信息、要达成的目的，联想到与之有关的概念、定理、法则、公式、其他数学思想或之前会解的具有相同或相似已知量或未知量的问题，通过化归，建立起已知信息和要达成的目的之间的联系，从而找到解决典型题的思路或方法。例如，期望的性质后的典型例题：用表示掷1500个骰子时的点数和，求。根据题意，虽然是一个离散型随机变量，但的分布非常复杂，难以得到。利用期望的原始计算公式计算行不通。实际上，如用表示掷第 个骰子时出现的点数，把进行分解，则转化为的和。联想到期望性质3，归结为和的期望，而的概率分布已知，其期望易得，所以，化归为已知的的和，问题完美解答。

2.4 在课外作业的求解中让师范生内化化归思想，提升数学能力

课外作业的求解关键在于寻找解法，此时，学生可以向自己提出一系列问题：见过这个问题吗？见过类似的问题吗？见过与之相关的问题吗？通过不断变更问题，寻找到解决问题的方法，而变更就是化归，学生通过课外探索，不断内化化归思想，最终提升数学能力。例如，中心极限定理课题后的课外作业：（1）拉普拉斯的研究结果表明，自然状态下妇女受孕后生男婴的概率为51.2%，今年某市有6000名产妇，试求出生男婴数超过3100人的概率。（2）一个复杂系统由100个相互独立的零件组成，每一个零件的可靠性（即零件正常工作的概率）为0.9，为使整个系统可靠，至少须有85个零件正常工作，求整个系统的可靠性。（3）某心理学家研究6岁儿童的智商，他利用去估计智商的均值，若为使对的估计精度在±10之间的概率不低于0.95，问他至少要测试几个儿童？这些实际问题的解决无疑都要利用化归思想，通过课外作业不断内化化归思想，提升数学能力。

3 结语

在高师概率论课程教学中继续渗透化归思想，既是当前高等教育的任务，又符合基础数学课程改革和社会发展的需求。形成数学能力固然离不开数学知识，但仅有数学知识是不可能形成数学能力的，知识仅仅是能力的基础，具有转化为能力的潜在性，有丰富的数学知识，未必有相应的能力，因而在数学知识与数学能力之间还应有数学思想方法的作用。本文结合笔者的教学经验探讨了概率论教学中渗透化归思想的几点策略。通过在概率论课程教学中不断渗透化归思想，发展学生的数学认知结构，提升学生数学能力，为未来教师专业和终身学习提供动力。