数学类本科课程《高等代数》教学和实践方法的思考

楚彦军 程俊芳

（河南大学数学与统计学院 河南·开封 475004）

数学类本科专业一年级的基础课程主要有三门，分别是《数学分析》、《高等代数》和《空间解析几何》，也有一部分院校是把《高等代数》和《空间解析几何》课程合为一门课程《高等代数和解析几何》，而且也有教改论文和项目是以大学高等代数和解析几何的融合为主题进行研究。事实上，《高等代数》无论是作为数学类本科基础课程之一，还是本科专业代数系列课程的起始课程，其重要性不言而喻。因此，按照课程教学改革的观点，探索《高等代数》的教学理念、教学内容、教学实践方法是提高《高等代数》课堂教学质量和教学效果，为数学类本科专业的《抽象代数》、《初等数论》的学习打下坚实的基础，对于培养数学专业的大学生的数学素质、抽象思维能力、创新能力等方面意义重大。并在教学过程中有意识地让学生体会和探索研究抽象的代数对象的方法：由具体理解抽象，由抽象加深对具体的认识。

1 教学理念的探索

在《高等代数》的课程教学中，按照传统的观点讲授知识固然重要，但是教学理念上的革新也是尤为重要，我们要以“学生学为中心”，不能只注重传统的知识传授和灌输，更重要的是要教育引导“学生们怎么学、怎么去思考、怎么去积极创新”，这三个问题恰恰对应于数学专业学生数学素质和专业能力培养的三个方面：学习能力、思考能力、创新能力。

考虑到《高等代数》是大学一年级的课程，教师应当充分了解和把握学生在高中的代数知识体系，比如学生学过求解二元、三元的联立方程组的方法，因此在我们讲授行列式和线性方程组理论时，应适当引导学生自己从已有知识体系体会向现有的知识体系的过渡和联系。通过有效的方式致力于在学生的脑海里建立高中的代数知识体系和现学的代数知识体系之间的对比与联系，从而让学生们明白“要学什么、为什么要学？”。同时，在讲授过程中，注重独立思考的引导、学习兴趣的培养。

教学过程中要充分兼顾学生的认知规律，合理安排教学内容。《高等代数》一般是两个学期的课程内容。学生在高中阶段所学的代数内容都是比较具体的对象，我们可以在第一学期讲授《高等代数》研究的具体对象和工具：行列式、线性方程组、矩阵的运算和多项式理论，而在第二学期讲授《高等代数》的抽象部分：二次型、线性空间、线性变换、矩阵的相似理论、欧几里得空间、双线性函数和辛空间等，这样的内容安排更加符合学生从具体到抽象的认知规律。

2 教学内容改革的探索

按照国内大学普遍的观点，《高等代数》的教学内容主要分为多项式理论和线性代数两个部分.很早之前流行《高等代数》优秀教材有多种，其中由北京大学前数学系代数小组于1964年编写的《高等代数讲义》、1966年编写《高等代数简明教程》和1978年的修改版《高等代数》在一般院校使用较为普遍。根据2010年以来若干年我讲授《高等代数》课程的经历，我们陆续使用了北京大学前数学系代数小组编写的《高等代数》第二版—第五版.在这期间，许多院校在多年的教学实践中,根据数学专业的要求和学生数学素质等实际情况自编教材，产生了一大批《高等代数》优秀教材.另一种情况，有一些院校和教材改革项目是将《高等代数》与《空间解析几何》两门课程进行整合为《高等代数与解析几何》课程.主要原因在于空间解析几何所考虑的向量空间是高等代数理论中欧几里得空间中三维的情形，二次曲线、二次曲面的分类恰恰又是二次型理论的应用。我们也在相关的教学改革项目中探索《高等代数》与《空间解析几何》两门课程整合为一门课程的可行性和具体的授课内容、方式方法等方面。

说到《高等代数》的教学内容，李尚志教授曾把线性代数的主要研究对象和研究方法概括为八个字:“空间为体,矩阵为用”。说明向量空间是线性代数研究的主要对象,而研究工具主要是矩阵.

（1）多项式理论主要分为一元多项式和多元多项式，作为数学类的学生，多元多项式理论，特别是对称多项式的概念和初步理论需要掌握的内容，一方面因为多元多项式和二次型的概念有联系，另一方面对称多项式的概念和初步理论和复数域上一元多项式的根的理论有联系，而且这也是代数学中的重要对象之一。由于一年级《高等代数》课程学时安排较为紧张，教学内容改革的一个方面是将多元多项式理论放在大学四年级第一学期的《高等代数选讲》课程内容之中进行讲授。

（2）线性代数部分主要有行列式、线性方程组、矩阵的运算、二次型、线性空间、线性变换、-矩阵，欧几里得空间，双线性函数和辛空间九部分的内容。作为数学类的学生，在学习线性变换、线性空间之时，所用的研究工具皆为方阵。国内许多院校在线性变换、线性空间的做法是讲更广义的线性映射、讲线性空间的同态和商空间。作为数学类的学生，我认为上述内容是需要他们理解和掌握的，而且在理解掌握线性变换、线性空间理论的基础之上，完全可以由老师进行适当的引导，让学生通过探索的方式进行学习。另一方面，考虑到《高等代数》课程学时问题，我们拟在教学内容上进行改革，把上述相关内容调整到大学四年级第一学期的《高等代数选讲》课程内容之中进行讲授。

3 教学方法、教学实践的探索

传统的《高等代数》教学方法围绕“以学习知识为中心”，以教师课堂讲授为主要形式。教学方法和教学实践的改革要以“学生自主学习为中心”，主讲教师在教学过程中主要是通过讲解来引导学生自主学习，自主思考、培养学生的学习兴趣，侧重于学生通过自己的训练和思考掌握对知识的灵活掌握和运用。有了这种教学理念的指导，我们在教学过程中对于教学方法和教学实践的探索可以从一下几个方面：

3.1 明确课程教学目的

《高等代数》课程教学的主讲教师在讲授课程之前需要根据数学与应用数学专业学生的培养方案，制定教学大纲，明确和牢记课程教学目的。《高等代数》这门课程的教学目的主要有：（1）让学生熟练掌握数域上的多项式的基本运算理论；（2）让学生熟练掌握矩阵运算这一工具；（3）学会用矩阵的语言来描述线性空间的问题，并学会将线性空间的问题转化为矩阵运算的问题，学会利用矩阵运算的几何意义来解决线性空间的问题。

3.2 把握课程的特点、有针对性地实施教学方法

《高等代数》学习过程中同学们普遍感觉抽象，主要是集中在概念的抽象上，比如：线性空间的定义、线性相关、线性无关、矩阵的秩等。其实抽象并不神秘，也就是我们从不同的对象中找出共同点而忘掉不同点而已。针对概念的抽象性这一点，我们在教学过程中应透过具体的例子来理解抽象，也即是利用丰富的例子来理解由它们的共同点所给出的抽象概念。比如，我们要理解数域P上的线性空间的概念，这个概念是众多例子的共同点抽象出来的，比如n维向量空间Pn、P上的次数小于n的多项式和零多项式的集合、P上n阶对角阵的全体等等，这些集合上共同点就是可以定义加法和数量乘法，并且满足相应的运算规律。在教学过程中，我们可以有针对性地让学生找出这些集合的共同点，然后给出线性空间抽象的概念。学生明白了这种具体与抽象的关系，在理解这些概念时就会自己从具体例子的共同点去着手，对抽象的概念有一定的把握，同时也会启发学生在理解抽象的概念时可以从具体的例子中找感觉。

作为一名该课程的讲授教师，考虑到《高等代数》课程对于数学类本科学生的重要性，我们应该紧跟时代发展的要求，在教学实践中不断改革、探索《高等代数》教学方法和实践方法。针对《高等代数》的抽象性、系统性的课程特点，我们还要继续在教学理念、教学内容、教学方法和理论实践方法等方面进行不断探索，旨在提高《高等代数》课堂教学质量和教学效果，为该专业的学生积极学习后续的《抽象代数》做充分的准备，积极把这门课程打造成数学类学生的代数学的入门金课。