探究与正方形有关的线段之间的数量关系

正方形作为最特殊的四边形之一，具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，因而，以正方形为背景的几何综合题层出不穷.在题目中可以求线段之间的数量关系、位置关系、线段的长度、角的度数等等，解题时需要特别明确正方形的性质，善于动手操作、大胆猜想，联想学过的几何基本图形，恰当的添加辅助线，运用几何推理方可得出结论.1 与正方形有关的两条线段的相等关系

例1 如图1，在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在线段CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH.

1.依题意补全图1;

2.判断AH与PH的数量关系与位置关系

并加以证明;

分析 1.依题意补全图1，如图2，主要关注：

（1）平移△ADP：平移的方向是沿着DC的方向，平移的距离是DC的长度;

（2）过点Q作QH⊥BD于点H：明确过点Q，作QH⊥BD于点H，垂足是H;

（3）连接AH，PH.

2.判断AH与PH的数量关系与位置关系，这里包含两层意思（1）AH和PH的数量关系，是相等还是不相等，还是几倍的关系.（2）AH和PH的位置关系是平行还是垂直.本题解题时首先应该利用刻度尺和量角器度量后进行猜想，发现AH=PH，AH⊥PH.然后联想学过证明线段相等的方法：三角形全等、等角对等边、平行四边形对边相等.联想证明垂直的方法：直角三角形两锐角互余，矩形四个角为直角.结合本题条件，发现AH和PH所在的三角形，△HAD和△HPQ可以全等.因平移△ADP，使点D移动到点C得到△BCQ，知DC=PQ.由正方形ABCD

可得DA=DC=PQ，∠BDA=∠BDC=45°.QH⊥BD于点H，∠HDQ=∠HQD=∠BDA=45°，HQ=HD，所以△HAD≌△HPQ，HA=HP、∠AHD=∠PHQ.由∠DHP+∠PHQ=90°，所以，∠DHP+∠AHD=90°，∠AHP=90°，HA⊥HP.

反思 本题中正方形ABCD提供了以下重要条件：边相等DA=DC、∠BDA=∠BDC=45°，

然后再充分利用其他条件进行证明即可.2 与正方形有关的两条线段的倍数关系

例2 如圖3，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF.

1.依题意补全图;

2.用等式表示线段BF与AE的数量关系并证明.

分析 1.依题意补全图形，如图4，主要关注：

（1）将线段ED绕点E顺时针旋转90°：旋转中心是点E，旋转方向顺时针，旋转角度是90°;

（2）连接BF.

2.用等式表示线段BF与AE的数量关系.解题时首先应该利用刻度尺度量，发现BF和AE不是相等关系.然后通过计算，猜想BF和AE具有 2倍的关系，因此，可以构造等腰直角三角形，让BF作为斜边，AE的长度作为直角边，可以过F做AB的延长线的垂线，通过证明△DAE≌△EHF从而达到目的.因四边形ABCD是正方形，则AB=AD，∠A=90°.由线段ED绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，则DE=EF，∠DEF=90°.因∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，所以∠2=∠3，△DAE≌△EHF，得出AE=FH，AD=EH，

AB=EH，AE=BH，FH=BH，△BFH是等腰直角三角形，BF=2FH=2AE.

反思 本题中正方形ABCD提供了以下重要条件：AB=AD，∠A=90°，通过做辅助线，然后再充分利用其他条件进行证明即可.

3 与正方形有关的三条线段的关系

3.1 与正方形有关的三条线段的一次关系

例3 如图5，在正方形ABCD中，点E是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF.

1.依题意补全图形;

2.判断线段BF，CF，DF之间的数量关系，并证明.

分析 1.依题意补全图，如图6，主要关注：

（1）过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F;

（2）连接CF.

2.判断线段BF，CF，DF之间的数量关系.

解题时首先应该利用刻度尺度量，发现BF，CF，DF之间没有明确的两条线段之和等于第三条线段关系.然后通过计算，猜想DF大约等于BF加上CF的 2倍的关系，DF=DM+MF=BF+2CF.因此，可以在DF上截取DM=BF，连接CM，构造等腰直角三角形CMF，让CF作为直角边，再证明MF=2CF，从而达到目的.由正方形ABCD知BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°，∠CDM=∠CBF，△CDM≌△CBF（SAS）.则DM=BF，CM=CF，∠DCM=∠BCF.∠MCF=∠BCF+∠MCE=∠DCM+∠MCE=∠BCD=90°所以MF= 2CF

，DF=DM+MF=BF+2CF.

反思 本题中正方形ABCD提供了以下重要条件：BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°，通过添加辅助线，然后再充分利用其他条件进行证明即可.

3.2 与正方形有关的三条线段的二次关系

例4 如图7，正方形ABCD中，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，连接CE.

1.依题意补全图形;

2.求证：PA2+PC2=2PB2.

分析 1.依题意补全图形如图8，主要关注：

（1）将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，旋转中心是点B，旋转方向顺时针，旋转角度是90°;

（2）连接CE.

2.求证PA2+PC2=2PB2，发现是线段的平方关系，而且有2PB2，因此，猜想构造等腰直角三角形是关键.由四边形ABCD是正方形，得CB=AB，∠1=∠2=45°，∠3+∠4=90°.因将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，所以BE=BP，∠5+∠4=90°.PE=2PB，∠5=∠3.△CBE≌△ABP（SAS），因此EC=PA，∠6=∠1=45°.∠PCE=∠2+∠6=90°.得EC2+PC2=PE2，由EC=PA，PE=2PB，PA2+PC2=2PB2.

反思 本题中正方形ABCD提供了以下重要条件：BC=AB，∠1=∠2=45°，

∠BCD=90°，通过添加辅助线，然后再充分利用其他条件进行证明即可.

与正方形有关的线段之间的数量关系不止以上几种情况，在求解过程中，主要是动手操作，大胆猜想，积极验证.结合学习过的相关模型，巧妙运用正方形的相关性质，一定会顺利解题.

作者简介 王献春（1967—），男，北京延庆人，大学本科，正高级教师，主要从事初中教学研究.