《概率统计》易错题归类剖析

2020-01-06甘肃省嘉峪关市第一中学卢会玉

中学生数理化(高中版.高考数学) 2019年12期

■甘肃省嘉峪关市第一中学卢会玉

纵观整个高中数学，概率统计在内容方面的变化虽然不大，但是概率统计的地位却提高了不少。要想在高考中得心应手地解决概率统计问题，不仅要通过系统认真的学习，还应注意对易错、易混问题进行辨析，确保此类问题不会出错，杜绝失分现象。所以找准高考易失分点，对易错、易混的高考热点问题进行专项训练就显得尤为重要。

易错题型1：抽样方法概念理解不清致误

例1某校高三年级有男生400人，女生300人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取20人，从女生中任意抽取15人进行调查。这种抽样方法是____。

错解：简单随机抽样法。

失分原因与防范措施：简单随机抽样常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样法常常用于总体个数较多时；分层抽样常常用于总体由差异明显的几部分组成，主要特征是分层并按比例抽样。分层抽样是高考考查的一个热点，因为在实际生活中有差异的抽样比其他两类抽样应用空间大，应引起考生的重视。

正解：显然总体差异明显，并且按比例抽样，所以是分层抽样。

易错题型2：对样本容量概念不清致误

例2 某工厂生产A，B，C，D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A 型号有16件，那么此样本容量n 的值是____。

错解：样本容量

失分原因与防范措施：样本容量为整体，A 型号产品的个数为部分，混淆了整体与部分的关系。在分层抽样中，要注意样本容量，各层所抽样本数，特别是各层的抽取比例，搞清各层与总体的比例关系。

正解：在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的，所以样本容量为88。

易错题型3：基本事件把握不准致误

例3掷两枚骰子，求出现的点数之和等于3的概率。

错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为

失分原因与防范措施：对于公式P(A)和m 分别表示基本事件总数和事件A 包含的基本事件数)，所述的试验结果是等可能出现时才成立。但是上述解法中找到的基本事件却不是等可能出现的，例如，取数值2和3不是等可能出现的，2 只有(1，1)这样的情况，而3有两种情况(1，2)，(2，1)。防范此类问题出错的根本方法是充分理解古典概型的定义，验证基本事件的有限性及等可能性。

正解：掷两枚骰子可能出现的情况：(1，1)，(1，2)，…，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(2，6)，…，(6，1)，(6，2)，…，(6，6)，基本事件总数为6×6=36。在这些结果中，只有两种可能的结果(1，2)，(2，1)，所以

易错题型4：分不清事件的构成致误

例4已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病。下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止。方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2 只中任取1只化验。求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率。

错解：设方案甲所需化验次数为η，则η的所有可能值为1，2，3，4，5。根据方案甲，患有疾病的1只动物在每一次化验时出现的概率是等可能的，由前面分析可知，其概率分布表为表1：

表1

失分原因与防范措施：逐个化验，直到能确定患病动物为止。最多化验次数为4 次。本题易错的地方是没有考虑这是一个实际问题，对于甲方案，患有疾病的1只动物在每一次化验时出现的概率是等可能的，考生易误认为化验次数的可能取值是1，2，3，4，5。事实上，若前4次化验为阴性，第5次不需再化验即可知最后一只是患病动物，所以化验次数只能取1，2，3，4；类似地，对于乙方案，第一次化验呈阳性，再化验3只中的前2 只呈阴性后也不需再化验，或第一次化验呈阴性，再化验另外2只中的第1只呈阴性或阳性后也不需再化验，即ξ 只能取1，2，3。

在求随机变量的概率分布之前，要弄清楚随机变量可能取到的每一个值及取每一个值时所表示的意义，然后再利用所学的概率知识求出随机变量取每一个值时的概率，从而求出概率分布。在写出概率分布后，还要检验所有的概率之和是否为1。

正解：设ξ1、ξ2分别表示依方案甲和方案乙需化验的次数，P 表示对应的概率，则方案甲中ξ1的概率分布表为表2：