基于Copula函数的渡槽结构地震动易损性分析*

张建伟， 张 帅， 张翌娜， 黄锦林, 李兆恒

(1.华北水利水电大学水利学院 郑州，450046) (2.水资源高效利用与保障工程河南省协同创新中心 郑州，450046)

(3.河南省水工结构安全工程技术研究中心 郑州，450046) (4.黄河水利职业技术学院土木与交通学院 开封，475004)

(5.广东省水利水电科学研究院 广州，510635)

引 言

地震易损性是指在不同强度的地震作用下，预测某一结构或构件超过某一损伤程度的条件概率，是基于性能抗震设计的基础，也是结构地震风险分析的主要组成部分[1]。随着我国南水北调工程等水利工程的建设，修建了一系列规模大、技术难度高的渡槽工程，针对渡槽的地震易损性分析就显得尤为迫切。

关于地震易损性的研究方法一般有两种表达：离散形式的易损性指标矩阵和连续形式的易损性曲线[2]。易损性曲线受限条件少，使用方便，应用更加广泛。目前关于地震易损性的分析常以单一构件的易损性曲线来表达整个系统结构的损伤状态，不考虑各构件之间的相互联系，该方法虽简单，但不能对整个系统的易损性进行准确评估。如果要准确考虑各构件的影响，则需要充分了解结构构造细节以及各构件之间的相关关系，建立各构件之间的联合分布函数模型。引起结构损伤的因素众多，这些因素不仅本身机理复杂，且各部分之间相互影响，不同结构都有自己所特有的细节，直接建立系统的易损性曲线较为困难[3]。Tavares等[4]采用1阶界限法，不考虑构件损伤概率之间的相关性，得到上界和下界来估计整个系统的易损性，但界限范围较宽，结果误差较大。Nielson等[5]通过Monte Carlo法得到整个系统结构的地震易损性曲线，但其需要大量的数值抽样，工作量较大，操作麻烦，且假设构件间的地震需求是线性的，与实际非线性不相符。

近些年，数学领域发展的Copula理论为不完备概率信息条件下相关变量的联合分布函数建立提供了一种新的途径[6]。Copula作为边缘分布函数的连接函数，边缘分布函数的形式不会对其产生影响，故Copula函数可以和边缘分布函数分开考虑，能够有效解决构件需求之间的相关性[7]。Copula函数理论最先在金融领域中得到应用[8]，在水文学[9]以及结构工程[10]中也得到了进一步的应用和发展。笔者基于Copula函数将构件地震需求间的相关性和构件的边缘分布函数分离，建立橡胶支座和排架地震需求的联合分布模型，在得到橡胶支座和排架的地震易损性曲线后，通过Copula函数，得到渡槽系统的易损性曲线，并将其与1阶界限法结果比较，证明该方法的准确性和优越性。

1 基于Copula函数的联合分布函数构造方法

二维Copula函数定义为：在[0,1]2定义域内，边缘分布函数在[0,1]内为均匀分布的二维联合分布函数，变量X1和X2的联合分布函数F(x1,x2)[11]可表示为

F(x1,x2)=C(F1(x1),F2(x2);θ)=C(u1,u2;θ)

(1)

其中：u1，u2为X1,X2的边缘分布函数F1(x1),F2(x2)；C为Copula函数；θ为Copula函数所对应的相关参数。

若F1,F2为连续函数，则C是唯一的。若x1,x2对应的边缘密度函数分别为f1(x1),f2(x2)，则x1,x2所对应的联合概率密度函数为

f(x1x2)=f1(x1)f2(x2)c(F1(x1),F2(x2);θ)

(2)

c(F1(x1),F2(x2)；θ)=∂2C(u1,u2；θ)/∂u1∂u2

(3)

其中：c为Copula函数的密度函数。

若已知X1和X2的边缘分布函数以及Copula函数，则可以建立X1,X2的二维分布模型。Copula函数的相关参数θ可以通过Spearman秩相关系数τ求出，变量X1,X2间的相关系数τ与Copula函数的C(u1,u2；θ)存在如下对应关系

(4)

对于Gaussian Copula函数来说，相关参数θ可由下式解得

(5)

对于Clayton和Cclayton Copula函数，相关参数θ可由下式解得

(6)

2 地震易损性曲线

2.1 构件易损性

渡槽是由排架以及橡胶支座等基本构件组成，基本构件的易损性是求解渡槽系统易损性的基础。在地震作用下，构件的易损性[12]可以用构件的地震需求Sd超过构件的抗震能力Sc的概率来表示

Pf=P(Sd≥Sc)

(7)

目前关于地震需求分析中，认为各构件的抗震能力和地震需求均服从对数正态分布，即构件的抗震能力Sc和地震需求Sd[13]可表示为

(8)

由概率地震需求分析可知，构件地震需求Sd与地震动参数IM服从指数关系

Sd=a(IM)b

(9)

将式(9)转换为对数空间，得

ln(Sd)=bln(IM)+ln(a)

(10)

由中心极限定理可知，在某一极限状态下，构件纵向与横向的失效概率为

(11)

将式(10)代入式(11)，得构件纵向与横向的失效概率

(12)

单个构件纵向与横向的地震易损性曲线，其实现流程如图1所示。

图1 单个构件纵向与横向的地震易损性曲线实现流程

根据橡胶支座和排架的横向与纵向的失效概率，将两个方向地震作用效应进行耦合，可以得到橡胶支座和排架的失效概率

(13)

其中：P1，P2分别为橡胶支座和排架的失效概率；PX1，PX2分别为橡胶支座和排架的纵向失效概率；PY1，PY2分别为橡胶支座和排架的横向失效概率。

将式(12)得到的结果代入式(13)，可得排架、橡胶支座的地震易损性曲线。

2.2 系统易损性及Copula函数的积分方法

渡槽在地震作用下，排架和橡胶支座的损伤较为普遍，且两者都会影响渡槽功能的发挥，可将渡槽结构看作由排架和橡胶支座构成的串联系统，故考虑构件相关性的渡槽系统失效概率为

Pfs=P(g1≤0∪g2≤0) =P(g1≤0)+

P2(g2≤0)-p(g1≤0,g2≤0)=

Pf1+Pf2-C(Pf1,Pf2)

(14)

其中：g1和g2为橡胶支座和排架所对应的功能函数；Pf1,Pf2为橡胶支座及排架所对应的失效概率。

将橡胶支座和排架的失效概率代入式(14)，得到整个渡槽系统的易损性曲线，其中Copula函数是整个渡槽系统易损性求解的关键一步。数学中存在多种Copula函数可以描述变量间的相关性，由似然函数赤池信息准则(Akaike information criterion，简称AIC)可知，Gassian Copula函数和Frank Copula函数能够较好地反映构件地震需求间的相关性，故选择上述函数来计算渡槽系统的易损性。

Gaussian Copula函数二维表达式为

(15)

Frank Copula二维函数表达式为

(16)

其中：Φ-1(·)为标准正态分布函数的逆函数。

3 计算实例

3.1 模型建立

以某工程总干渠5#渡槽中的一跨为例，对渡槽进行易损性分析。该渡槽为钢筋混凝土U形薄壁结构，两端采用盆式橡胶支座，渡槽一跨长度为12 m，基础底端到槽顶高度为16.5 m，槽内设计水深3.05 m，排架横截面的尺寸为1.1 m×1.4 m。

渡槽槽身混凝土采用C30，密度为2 484 kg/m3，弹性模量为3.11×104MPa，泊松比为0.167；渡槽排架及基础混凝土采用C20，密度为2 425 kg/m3，弹性模量为2.56×104MPa，泊松比为0.167；钢筋密度为7 800 kg/m3，弹性模量为20×104MPa；盆式橡胶支座的密度为2 500 kg/m3，弹性模量为0.386×104MPa，泊松比为0.35。算例模型采用ANSYS有限元软件建模，渡槽槽身采用壳单元SHELL63模拟；排架及基础采用实体单元SOLID185模拟；橡胶支座采用弹簧单元模拟，水平向采用COMBIN40单元，垂直向采用COMBIN14单元；渡槽顶梁及拉杆采用梁单元BEAM188模拟；动水压力采用附加质量MASS21施加。渡槽有限元模型如图2所示，计算工况为设计工况。

图2 5#渡槽有限元模型

3.2 模型不确定性

影响渡槽易损性分析的不确定性因素可分为结构参数不确定性和地震动不确定性，在对渡槽进行易损性分析时，必须考虑这些不确定性因素带来的影响。

结构参数不确定性是指由于知识缺乏或建模误差所导致的不确定性，主要包括构件尺寸、材料、质量、阻尼和边界条件等。本渡槽模型考虑的结构参数不确定性与分布如表1所示，根据结构参数的分布特征，将每个参数的取值等概率分为12组，去掉其中1组最大值和1组最小值，保留10组，然后通过拉丁超立方抽样法，得到10个综合考虑结构参数不确定性的渡槽样本，从而避免大量数值抽样。

挑选合适的地震动输入是地震易损性分析的基础。地震动不确定性主要包括地震动本身的随机性、方向效应、入射角和空间变异性。为了能够准确得到渡槽地震需求，充分考虑地震动的随机性，首先从太平洋地震工程中心强震数据库中选择50条地震动记录，所选地震动的峰值加速度(peak ground acceleration，简称 PGA)分布如图3所示，然后将拉丁超立方抽样所得的10个渡槽模型和50条地震动记录进行随机匹配，进行地震时程分析计算。进行地震动力计算时，动弹模取值为1.3倍的静弹模，地基模拟采用局部人工边界无质量地基，并考虑三方向地震对结构影响，用APDL编程语言，从地基底部及四周输入地震波数据的峰值加速度进行等效应力输入。

表1 结构参数不确定性及其分布

Tab.1 Uncertainties and their distribution of structure parameters

参数名称分布类型均值变异系数方差排架混凝土容重/ (kN·m-3)正态分布24.750.106.12槽身混凝土容重/ (kN·m-3)正态分布25.250.106.37支座弹性模量正态分布 3.860.160.38阻尼比/MPa正态分布 0.050.012.5×10-7

图3 地震动的PGA分布

3.3 构件地震需求

地震作用下，渡槽的橡胶支座和排架较易发生损伤。为有效地描述渡槽的损伤状态及损伤程度，以排架纵、横向位移延性比(μL，μT)以及橡胶支座纵、横向位移(bL，bT)作为构件的地震需求参数。

根据时程分析结果，通过最小二乘法对构件的地震需求和地震动参数进行回归分析，得到构件地震需求模型。排架纵向地震需求模型如图4所示，总结如表2所示。

图4 排架纵向地震需求模型

表2 渡槽构件地震需求模型

3.4 构件损伤指标

结构在地震作用下的损伤程度可分为4个等级：轻微破坏、中等破坏、严重破坏和完全破坏[14]。为了对各损伤状态下的易损性进行准确评估，需要定义各损伤状态下构件的损伤指标。

对于排架而言，各损伤状态下的位移延性比μd[15]可表示为

(17)

其中：Δ为墩顶极限位移；Δcy1为纵向钢筋首次屈服时的墩顶位移。

排架在地震作用下的4种损伤程度的定性描述和损伤指标定量描述如表3所示。其中：μcy1为单根

表3 排架损伤状态及损伤指标描述

Tab.3 Damage status and description of damage index of column of bent

损伤状态损伤描述损伤指标轻微破坏混凝土发生轻微剥落,有微小裂缝产生μcy1<μd≤μcy中等破坏混凝土发生开裂,裂缝不断扩展,结构抗力不断降低μcy<μd≤μc4严重破坏局部混凝土压碎,形成较大裂缝μc4<μd≤μcmax完全破坏核心混凝土压碎,发生倒塌μd>μcmax

钢筋首次屈服时位移延性比；μcy为等效屈服位移延性比；μc4为截面边缘钢筋混凝土压应变达到0.004时的位移延性比；μcmax为最大破坏位移延性比。

通过弯矩-曲率分析和Pushover方法可得到各损伤状态下排架的损伤指标，结果如表4所示。

橡胶支座是渡槽结构中的一个重要构件，同时也是较容易发生损伤的构件。支座的损伤状态与其变形大小密切相关，一般采用其变形大小作为损伤指标[16]。本研究橡胶支座的4种损伤状态，用其允许相对位移与剪应变为100%时的相对位移之比来定义，4种损伤状态的相对位移比分别为1.0，1.5，2.0和2.5。由橡胶支座的物理参数与几何尺寸，可得橡胶支座在4种损伤状态下的损伤指标，如表4所示。其中：μL，μT为排架纵、横向位移延性比；bL，bT为橡胶支座纵、横向位移。

表4 构件损伤指标

由结构参数不确定性可知，在不同损伤状态下，结构的抗震能力也具有不确定性。参考Nielson[17]提出的变异系数(V)来描述构件抗震能力的不确定性。对于前2种损伤状态变异系数取值为0.25，对于后2种损伤状态变异系数取值为0.5。当构件的抗震能力服从对数正态分布时，对数标准差和变异系数存在如下关系

(18)

由式(18)便可求得橡胶支座、排架在各损伤状态下的抗震能力对数标准差，如表4所示。

4 计算分析

4.1 构件易损性

将排架和橡胶支座的地震需求模型和损伤指标代入式(12)、式(13)，可得排架和橡胶支座的易损性曲线，如图5所示。

图5 渡槽构件易损性曲线

由图5可知：在地震动峰值加速度小于0.1g时，排架、橡胶支座发生损伤的概率均较小；橡胶支座在4种损伤状态下的失效概率明显大于排架；橡胶支座与排架相比，在4种损伤状态下的失效概率变化幅度较小。

4.2 渡槽系统易损性

4.2.1 Copula函数方法

利用Matlab的Copulafit函数计算Gassian Copula和Frank Copula函数中的相关参数，绘制Gassian Copula和Frank Copula的密度函数图和分布函数图。通过式(14)～(16)可得整个渡槽系统的易损性曲线。

4.2.2 1阶界限法

为检验Gassian Copula函数和Frank Copula函数的准确性，将其与1阶界限法结果进行比较。采取1阶界限法计算渡槽整体失效概率的上界与下界，来逼近整个系统的易损性。整个渡槽的失效概率[18]可表达为

(19)

其中：Pfs为整个渡槽的失效概率；Pi为第i个构件的失效概率；n为构件个数。

假设结构系统的各种失效模式是正相关的，即相关系数ρ>0，则下界为单个构件易损性的最大值。为直观比较，将其与Copula函数得到的渡槽系统易损性曲线放在同一图中比较，如图6所示。

由图6可知，通过Copula函数得到的渡槽系统失效概率在整个地震动强度内都处于1阶界限法的上界和下界之间，且更靠近于上界。用下界描述系统的易损性会明显降低整体结构的易损性。两种Copula函数结果对比可知，通过Frank Copula函数和Gassian Copula函数计算得到的渡槽系统易损性结果接近，4种破坏状态下的最大偏差分别为3.1%，4.2%，5.1%和4.6%。随着地震动强度的增大，通过1阶界限法所得到的上、下界的差值变的越来越大。因此，当地震动强度较大时，采用1阶界限法的下界来估计渡槽系统的易损性较为保守。

5 结 论

1) Copula函数不仅能准确地描述橡胶支座和排架的非线性相关特性，还能简化多元联合概率密度函数的建模过程，为研究渡槽构件地震需求之间的相关性提供了一种新的思路和方法。

2) 通过Copula函数得到的渡槽地震易损性曲线与1阶界限法相比较，发现其位于1阶界限法的上下界之间，表明渡槽系统的易损性大于单个构件的易损性。通过1阶界限法得到的系统易损性曲线，上下界最大偏差分别为26.1%，27.0%，26.8%和26.2%，上下界带宽较大。如果单纯采用构件易损性作为渡槽整体的易损性会导致较大误差。

3) 本研究采用的是二维Copula函数来描述渡槽排架和橡胶支座的易损性曲线。将二维Copula函数扩展为多维Copula函数，从而构造多元混合Copula函数描述多个构件的相关性，以便对更复杂的系统进行相关性分析，需要进一步研究，可以尝试选用其他对随机变量之间尾部相关关系变化较为敏感的Copula函数。

图6 渡槽系统易损性曲线