数学问题解答

2019年10月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2506在k边形A1A2…AK(k≥3)中，a1,a2,…,ak为其各边长，s为周长，n∈N+且n≥2，0<λ≤1，求证：

(安徽省岳西中学 储百六 246600)

证明先证一不等式：当x∈[0,1]时，

(1)

所以f′(x)在[0,1]上为增函数，

所以存在x0∈(0,1)，使得f′(x0)=0，于是

当0

当x0>1时，f′(x)>0，

所以f(x)在[0,x0]上为减函数，在[x0,1]上为增函数；

所以，当x∈[0,1]时，f(x)≤max{f(0),f(1)}=0，故(1)式成立

再将这k个式子相加可得

2507如图，已知四边形ABCD，E、F、I、J分别是四边的中点，分别连接AJ、IB、DJ、IC交G、H，IJ、EF交O，求证：GH∥EF.

(江西师范高等专科学校 王建荣 335000)

证明如图，设AJ、DJ、IB、IC分别交EF于M、N、K、L，连AO、BO、IM、IN，由梅氏定理,

△IKO、△ILO分别被直线GMJ、HNJ所截,

如果

2508在锐角△ABC中，有

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

证明首先证明两个必要的不等式

(2)

(3)

即有

(4)

同理有

(5)

(6)

(4)+(5)+(6)整理即得(2)式成立.下面再证(3)式成立.

利用熟知的三角恒等式

tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,

我们可得

⟺(cosA+cosB+cosC)tanAtanBtanC

≥3(sinA+sinB+sinC)

⟺(cosA+cosB+cosC)(tanA+tanB+tanC)

≥3(sinA+sinB+sinC)

记以上最后一式为不等式(7),即有(3)⟺(7).

由于不等式(7)的全对称性,不妨设A≥B≥C,

则有sinA≥sinB≥sinC，

那么由切比雪夫不等式,立得

≥2(sinA+sinB+sinC)，

即不等式(7)成立,从而不等式(3)也成立.

最后证明不等式(1)成立.

(2)+2×(3)立得

两边开方即得不等式(1)成立.

2509如图1：在△ABC中，∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点R,∠BCX=∠ACY,边BC的垂直平分线交CX于点P，边CA的垂直平分线交CY于点Q，K是BC的中点，L是AC的中点，则△RPK和△RQL面积相等.

图1

(安徽省旌德中学 赵忠华 242600)

证明如图2，如果AC=BC,则△ABC是等腰三角形，则△RPK和△RQL关于角平分线CR是对称的，结论明显成立.

图2

如果AC≠BC,不妨设AC

用O表示△ABC的外心，

注意到Rt△CLF∽Rt△CKE，

则∠CEK=∠CFL=∠OFE,

设l是弦CR的垂直平分线，则l过外心O,

由于△OEF是等腰三角形，

所以E,F是CR上关于l对称两点，

故RE=CF,RF=CE.(2)

又∠REK=∠RFL,所以S△REK=S△RFL.(3)

又∠REP=∠RFQ,所以S△REP=S△RFQ.(4)

由(3)-(4)可得S△RPK=S△RQL.

2510已知a,b,c>1,a+b+c+2≥abc,求证:

(陕西省咸阳师范学院教育科学学院 安振平 712000)

注意到，当a≥b≥c>1,时，有

于是，应用切比雪夫不等式，得

2019年11月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2511已知△ABC的角A,B,C的角平分线分别交边BC、AC、AB的垂直平分线于D、E、F，求证：△ABC的周长≤△DEF的周长.

( 山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 271400)

2512已知正数a,b,c,d满足abcd=1，求证：

(安徽省岳西县汤池中学 杨续亮 苏岳祥 246620)

图1

2513如图1，分别以△ABC边AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABDE和矩形ACFG，CD交BF于点P.若AB=kAE，AC=kAG，直线AP分别交BC、EG于点M、N.求证：

(1)MN⊥BC.(2)点N是EG的中点.

(四川省巴中市巴州区大和初中 李发勇 636031)

(四川省成都华西中学 彭艳玲 张云华 610051)